Matriz de transición de estados

En teoría de control , la matriz de transición de estados es una matriz cuyo producto con el vector de estado en un tiempo inicial da en un tiempo posterior . La matriz de transición de estados se puede utilizar para obtener la solución general de sistemas dinámicos lineales. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

Soluciones de sistemas lineales

La matriz de transición de estados se utiliza para encontrar la solución a una representación general del espacio de estados de un sistema lineal en la siguiente forma

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}$,

donde son los estados del sistema, es la señal de entrada, y son funciones matriciales , y es la condición inicial en . Utilizando la matriz de transición de estados , la solución viene dada por: ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }$

El primer término se conoce como respuesta de entrada cero y representa cómo evolucionaría el estado del sistema en ausencia de cualquier entrada. El segundo término se conoce como respuesta de estado cero y define cómo las entradas impactan en el sistema.

Serie Peano-Baker

La matriz de transición más general está dada por una integral de producto , denominada serie de Peano-Baker.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} &+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}\\&+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}\\&+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}\\&+\cdots \end{aligned}}}$

donde es la matriz identidad . Esta matriz converge de manera uniforme y absoluta a una solución que existe y es única. ^[2] La serie tiene una suma formal que puede escribirse como ${\displaystyle \mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\exp {\mathcal {T}}\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma )\,d\sigma }$

donde es el operador de ordenación temporal , que se utiliza para garantizar que la integral del producto repetido esté en el orden correcto. La expansión de Magnus proporciona un medio para evaluar este producto. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Otras propiedades

La matriz de transición de estados satisface las siguientes relaciones. Estas relaciones son genéricas para la integral del producto . ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$

1. Es continua y tiene derivadas continuas.

2, Nunca es singular; de hecho y , donde es la matriz identidad. ${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I}$ ${\displaystyle I}$

3. para todos . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t)=I}$ ${\displaystyle t}$

4. para todos . ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})}$ ${\displaystyle t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}}$

5. Satisface la ecuación diferencial con condiciones iniciales . ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=I}$

6. La matriz de transición de estados , dada por ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}$

donde la matriz es la matriz solución fundamental que satisface ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}$con condición inicial . ${\displaystyle \mathbf {U} (t_{0})=I}$

7. Dado el estado en cualquier momento , el estado en cualquier otro momento viene dado por la función ${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}$

Estimación de la matriz de transición de estados

En el caso invariante en el tiempo , podemos definir , utilizando la matriz exponencial , como . ^[4] ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}$

En el caso de variación temporal , la matriz de transición de estado se puede estimar a partir de las soluciones de la ecuación diferencial con condiciones iniciales dadas por , , ..., . Las soluciones correspondientes proporcionan las columnas de la matriz . Ahora, a partir de la propiedad 4, para todo . La matriz de transición de estado debe determinarse antes de que pueda continuar el análisis de la solución que varía con el tiempo. ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (t_{0})}$ ${\displaystyle [1,\ 0,\ \ldots ,\ 0]^{T}}$ ${\displaystyle [0,\ 1,\ \ldots ,\ 0]^{T}}$ ${\displaystyle [0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{T}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {\Phi } (\tau ,t_{0})^{-1}}$ ${\displaystyle t_{0}\leq \tau \leq t}$

Véase también

• Expansión de Magnus
• La fórmula de Liouville

Referencias

1. Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike (2011). "La serie Peano Baker". Actas del Instituto Steklov de Matemáticas . 275 : 155–159. doi :10.1134/S0081543811080098. S2CID  119133539.
2. Rugh, Wilson (1996). Teoría de sistemas lineales . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-441205-2.
3. Brockett, Roger W. (1970). Sistemas lineales de dimensión finita . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5.
4. Reyneke, Pieter V. (2012). "Filtrado polinomial: en cualquier grado en datos muestreados irregularmente". Automatika . 53 (4): 382–397. doi : 10.7305/automatika.53-4.248 . hdl : 2263/21017 . S2CID  40282943.

Lectura adicional

• Baake, M.; Schlaegel, U. (2011). "La serie Peano Baker". Actas del Instituto Steklov de Matemáticas . 275 : 155–159. doi :10.1134/S0081543811080098. S2CID  119133539.
• Brogan, WL (1991). Teoría del control moderno . Prentice Hall. ISBN 0-13-589763-7.