Función analítica de una matriz.

Función que asigna matrices a matrices.

En matemáticas , cada función analítica se puede utilizar para definir una función matricial que asigna matrices cuadradas con entradas complejas a matrices cuadradas del mismo tamaño.

Esto se utiliza para definir la exponencial de una matriz , que participa en la solución de forma cerrada de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales .

Extender la función escalar a funciones matriciales

Existen varias técnicas para convertir una función real en una función de matriz cuadrada de manera que se mantengan propiedades interesantes. Todas las técnicas siguientes producen la misma función matricial, pero los dominios en los que se define la función pueden diferir.

Serie de potencia

Si la función analítica f tiene la expansión de Taylor

$${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots }$$

xmatriz cuadradapotencias matricialesmultiplicaciones escalaresAnorma matricial ${\displaystyle A\mapsto f(A)}$ ${\displaystyle |x|<r}$ ${\displaystyle \|A\|<r}$ ${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}$

Matrices diagonalizables

Una matriz cuadrada A es diagonalizable , si existe una matriz P invertible tal que sea una matriz diagonal , es decir, D tiene la forma ${\displaystyle D=P^{-1}\,A\,P}$

$${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &d_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Como es natural establecer ${\displaystyle A=P\,D\,P^{-1},}$

$${\displaystyle f(A)=P\,{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &f(d_{n})\end{bmatrix}}\,P^{-1}.}$$

Se puede verificar que la matriz f ( A ) no depende de una elección particular de P.

Por ejemplo, supongamos que uno está buscando ${\displaystyle \Gamma (A)=(A-1)!}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}.}$$

Uno tiene

$${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~,}$$

$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}~.}$$

La aplicación de la fórmula simplemente produce

$${\displaystyle \Gamma (A)={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (1-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (1+{\sqrt {6}})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.8114&0.4080\\0.2720&2.8114\end{bmatrix}}~.}$$

Asimismo,

$${\displaystyle A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}73&84\\56&73\end{bmatrix}}~.}$$

Descomposición de Jordania

Todas las matrices complejas, sean diagonalizables o no, tienen una forma normal de Jordan , donde la matriz J consta de bloques de Jordan . Considere estos bloques por separado y aplique la serie de potencias a un bloque de Jordan: ${\displaystyle A=P\,J\,P^{-1}}$

$${\displaystyle f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\vdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}.}$$

Esta definición se puede utilizar para extender el dominio de la función matricial más allá del conjunto de matrices con radio espectral menor que el radio de convergencia de la serie de potencias. Tenga en cuenta que también existe una conexión con las diferencias divididas .

Una noción relacionada es la descomposición de Jordan-Chevalley , que expresa una matriz como la suma de una parte diagonalizable y una parte nilpotente.

matrices hermitianas

Una matriz hermitiana tiene todos valores propios reales y siempre puede diagonalizarse mediante una matriz unitaria P, según el teorema espectral . En este caso, la definición de Jordan es natural. Además, esta definición permite ampliar las desigualdades estándar para funciones reales:

Si para todos los valores propios de , entonces . (Como convención, es una matriz semidefinida positiva ). La prueba se sigue directamente de la definición. ${\displaystyle f(a)\leq g(a)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A)\preceq g(A)}$ ${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$

integral de cauchy

La fórmula integral de Cauchy del análisis complejo también se puede utilizar para generalizar funciones escalares a funciones matriciales. La fórmula integral de Cauchy establece que para cualquier función analítica f definida en un conjunto D ⊂ C , se tiene

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {f(z)}{z-x}}\,\mathrm {d} z~,}$$

CDa x

Ahora, reemplace x por una matriz A y considere un camino C dentro de D que encierre todos los valores propios de A. Una posibilidad para lograr esto es dejar que C sea un círculo alrededor del origen con un radio mayor que ‖ A ‖ para una norma matricial arbitraria ‖ · ‖ . Entonces, f  ( A ) es definible por

$${\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)\left(zI-A\right)^{-1}\mathrm {d} z\,.}$$

Esta integral se puede evaluar fácilmente numéricamente utilizando la regla del trapecio , que converge exponencialmente en este caso. Eso significa que la precisión del resultado se duplica cuando se duplica el número de nodos. En casos rutinarios, esto se evita mediante la fórmula de Sylvester .

Esta idea aplicada a operadores lineales acotados en un espacio de Banach , que pueden verse como matrices infinitas, conduce al cálculo funcional holomorfo .

Perturbaciones matriciales

La serie de potencias de Taylor anterior permite reemplazar el escalar por la matriz. Esto no es cierto en general cuando se expande en términos de aproximadamente a menos que . Un contraejemplo es , que tiene una serie de Taylor de longitud finita . Calculamos esto de dos maneras, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A(\eta )=A+\eta B}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle [A,B]=0}$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

• Ley distributiva:
  $${\displaystyle f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^{2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}}$$
• Usando la expansión escalar de Taylor y reemplazando escalares con matrices al final: ${\displaystyle f(a+\eta b)}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a+\eta b)&=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!}}+f''(a){\frac {(\eta b)^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}\\[.5em]&=a^{3}+3a^{2}(\eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\\[.5em]&\to A^{3}=+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B)^{2}+(\eta B)^{3}\end{aligned}}}$$

La expresión escalar supone conmutatividad mientras que la expresión matricial no y, por lo tanto, no pueden equipararse directamente a menos que . Para algunos f ( x ), esto se puede resolver utilizando el mismo método que las series escalares de Taylor. Por ejemplo, . Si existe entonces . La expansión del primer término sigue la serie de potencias dada anteriormente, ${\displaystyle [A,B]=0}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle f(A+\eta B)=f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)f(A)}$

$${\displaystyle f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)=\mathbb {I} -\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}}$$

Entonces se aplican los criterios de convergencia de la serie de potencias, que requieren que sean suficientemente pequeñas según la norma matricial adecuada. Para problemas más generales, que no se pueden reescribir de tal manera que las dos matrices conmuten, se debe rastrear el orden de los productos matriciales producidos por la aplicación repetida de la regla de Leibniz. ${\displaystyle \Vert \eta A^{-1}B\Vert }$

Función arbitraria de una matriz de 2×2

Una función arbitraria f ( A ) de una matriz A de 2 × 2 tiene su fórmula de Sylvester simplificada a

$${\displaystyle f(A)={\frac {f(\lambda _{+})+f(\lambda _{-})}{2}}I+{\frac {A-\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I}{\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}}{\frac {f(\lambda _{+})-f(\lambda _{-})}{2}}~,}$$

| A − λI | = 0 ${\displaystyle \lambda _{\pm }}$

$${\displaystyle \lambda _{\pm }={\frac {tr(A)}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}.}$$

$${\displaystyle f(A)=f\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I+\mathrm {adj} \left({\frac {tr(A)}{2}}I-A\right)f'\left({\frac {tr(A)}{2}}\right).}$$

Ejemplos

• Polinomio matricial
• raíz de matriz
• Logaritmo matricial
• Matriz exponencial
• Función de signo de matriz ^[1]

Clases de funciones matriciales

Usando el orden semidefinido ( es semidefinido positivo y definido positivo ) , algunas de las clases de funciones escalares se pueden extender a funciones matriciales de matrices hermitianas . ^[2] ${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$ ${\displaystyle X\prec Y\Leftrightarrow Y-X}$

Operador monótono

Una función f se llama operador monótono si y sólo si para todas las matrices autoadjuntas A , H con espectros en el dominio de f . Esto es análogo a la función monótona en el caso escalar. ${\displaystyle 0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)}$

Operador cóncavo/convexo

Una función f se llama operador cóncavo si y sólo si

$${\displaystyle \tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)}$$

A , Hffunción escalar cóncava ${\displaystyle \tau \in [0,1]}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \succeq }$

Ejemplos

El registro de matriz es a la vez operador monótono y operador cóncavo. La matriz cuadrada es operador convexa. La matriz exponencial no es ninguna de estas. El teorema de Loewner establece que una función en un intervalo abierto es operador monótono si y sólo si tiene una extensión analítica a los semiplanos complejos superior e inferior de modo que el semiplano superior se asigne a sí mismo. ^[2]

Ver también

• Ecuación algebraica de Riccati
• La fórmula de Sylvester
• Orden de Loewner
• Cálculo matricial
• Trazar desigualdades
• Funciones trigonométricas de matrices.

Notas

1. Higham, Nick (15 de diciembre de 2020). "¿Qué es la función de signo matricial?". Nick Higham . Consultado el 27 de diciembre de 2020 .
2. Bhatia, R. (1997). Análisis matricial . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 169. Saltador.

Referencias

• Higham, Nicolás J. (2008). Funciones de la teoría y computación de matrices . Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. ISBN 9780898717778.