base esférica

Base utilizada para expresar tensores esféricos.

En matemáticas puras y aplicadas , particularmente en mecánica cuántica y gráficos por computadora y sus aplicaciones, una base esférica es la base utilizada para expresar tensores esféricos . ^{[ definición necesaria ]} La base esférica se relaciona estrechamente con la descripción del momento angular en la mecánica cuántica y las funciones armónicas esféricas.

Mientras que las coordenadas polares esféricas son un sistema de coordenadas ortogonales para expresar vectores y tensores usando ángulos polares y azimutales y distancia radial, las bases esféricas se construyen a partir de la base estándar y utilizan números complejos .

En tres dimensiones

Un vector A en el espacio euclidiano 3D R ³ se puede expresar en el familiar sistema de coordenadas cartesiano en la base estándar e _x , e _y , e _z , y las coordenadas A _x , Ay , A _{z :}

o cualquier otro sistema de coordenadas con un conjunto básico de vectores asociado. A partir de aquí se extienden los escalares para permitir la multiplicación por números complejos, de modo que ahora estamos trabajando en lugar de . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Definición de base

En las bases esféricas denotadas e ₊ , e ₋ , e ₀ , y las coordenadas asociadas con respecto a esta base, denotadas A ₊ , A ₋ , A ₀ , el vector A es:

donde los vectores de base esférica se pueden definir en términos de la base cartesiana utilizando coeficientes de valores complejos en el plano xy : ^[1]

en donde denota la unidad imaginaria , y una normal al plano en la dirección z : ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\mathbf {e} _{z}}$

Las relaciones inversas son:

Definición del conmutador

Si bien dar una base en un espacio tridimensional es una definición válida para un tensor esférico, solo cubre el caso cuando el rango es 1. Para rangos superiores, se puede usar la definición de conmutador o de rotación de un tensor esférico. La definición del conmutador se da a continuación, cualquier operador que satisfaga las siguientes relaciones es un tensor esférico: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$

$${\displaystyle [J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}}$$

$${\displaystyle [J_{z},T_{q}^{(k)}]=\hbar qT_{q}^{(k)}}$$

Definición de rotación

De manera análoga a cómo los armónicos esféricos se transforman bajo una rotación, un tensor esférico general se transforma de la siguiente manera, cuando los estados se transforman bajo la matriz D unitaria de Wigner , donde R es un elemento de grupo (rotación 3×3) en SO(3) . Es decir, estas matrices representan los elementos del grupo de rotación. Con la ayuda de su álgebra de Lie , se puede demostrar que estas dos definiciones son equivalentes. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)T_{q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\dagger }(R)=\sum _{q'=-k}^{k}T_{q'}^{(k)}{\mathcal {D}}_{q'q}^{(k)}}$

Vectores de coordenadas

Para la base esférica, las coordenadas son números de valores complejos A ₊ , A ₀ , A ₋ , y pueden encontrarse sustituyendo ( 3B ) en ( 1 ) o calcularse directamente a partir del producto interno ⟨, ⟩ ( 5 ):

${\displaystyle A_{0}=\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {A} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A} \right\rangle =A_{z}}$

con relaciones inversas:

En general, para dos vectores con coeficientes complejos en la misma base ortonormal de valor real e _i , con la propiedad e _i · e _j = δ _ij , el producto interno es:

donde · es el producto escalar habitual y el conjugado complejo * debe usarse para mantener la magnitud (o "norma") del vector positiva definida .

Propiedades (tres dimensiones)

Ortonormalidad

La base esférica es una base ortonormal , ya que el producto interno ⟨, ⟩ ( 5 ) de cada par desaparece, lo que significa que los vectores de base son todos mutuamente ortogonales :

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =0}$

y cada vector base es un vector unitario :

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =1}$

de ahí la necesidad de los factores de normalización de . ${\displaystyle 1/\!{\sqrt {2}}}$

Matriz de cambio de base

Las relaciones definitorias ( 3A ) se pueden resumir mediante una matriz de transformación U :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

con inversa:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Se puede observar que U es una matriz unitaria , es decir su conjugado hermitiano U ^† ( conjugado complejo y transpuesta de matriz ) es también la matriz inversa U ⁻¹ .

Para las coordenadas:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

e inversa:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=(\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Productos cruzados

Tomando productos cruzados de los vectores de base esférica, encontramos una relación obvia:

${\displaystyle \mathbf {e} _{q}\times \mathbf {e} _{q}={\boldsymbol {0}}}$

donde q es un marcador de posición para +, −, 0 y dos relaciones menos obvias:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{\mp }=\pm i\mathbf {e} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{0}=\pm i\mathbf {e} _{\pm }}$

Producto interior en base esférica.

El producto interno entre dos vectores A y B en la base esférica se deriva de la definición anterior del producto interno:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \right\rangle =A_{+}B_{+}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star }+A_{0}B_{0}^{\star }}$

Ver también

• Teorema de Wigner-Eckart
• Matriz Wigner D
• grupo de rotación 3D

Referencias

1. WJ Thompson (2008). Momento angular. John Wiley e hijos. pag. 311.ISBN​ 9783527617838.

General

• SSM Wong (2008). Introducción a la física nuclear (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-35-276-179-13.

enlaces externos