Producto Kronecker

Operación matemática sobre matrices.

En matemáticas , el producto de Kronecker , a veces denotado por ⊗, es una operación sobre dos matrices de tamaño arbitrario que da como resultado una matriz de bloques . Es una especialización del producto tensorial (que se denota con el mismo símbolo) de vectores a matrices y proporciona la matriz del mapa lineal del producto tensorial con respecto a una elección estándar de base . El producto de Kronecker debe distinguirse de la multiplicación de matrices habitual , que es una operación completamente diferente. El producto de Kronecker también se denomina a veces producto directo de matriz . ^[1]

El producto Kronecker lleva el nombre del matemático alemán Leopold Kronecker (1823-1891), aunque hay poca evidencia de que fuera el primero en definirlo y utilizarlo. El producto de Kronecker también ha sido llamado matriz de Zehfuss , y producto de Zehfuss , en honor a Johann Georg Zehfuss  [Delaware] , quien en 1858 describió esta operación matricial, pero producto de Kronecker es actualmente el término más utilizado. ^{[2] [3]} La atribución errónea a Kronecker en lugar de a Zehfuss se debió a Kurt Hensel . ^[4]

Definición

Si A es una matriz m × n y B es una matriz p × q , entonces el producto de Kronecker A ⊗ B es la matriz de bloques pm × qn :

${\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf {B} &\cdots &a_{1n}\mathbf {B} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\mathbf {B} &\cdots &a_{mn}\mathbf {B} \end{bmatrix}},}$

más explícitamente:

${\displaystyle {\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}$

Usando y para denotar el truncamiento de la división de enteros y el resto , respectivamente, y numerando los elementos de la matriz a partir de 0, se obtiene ${\displaystyle /\!/}$ ${\displaystyle \%}$

${\displaystyle (A\otimes B)_{pr+v,qs+w}=a_{rs}b_{vw}}$

${\displaystyle (A\otimes B)_{i,j}=a_{i/\!/p,j/\!/q}b_{i\%p,j\%q}.}$

Para la numeración habitual a partir de 1, se obtiene

${\displaystyle (A\otimes B)_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}b_{vw}}$

${\displaystyle (A\otimes B)_{i,j}=a_{\lceil i/p\rceil ,\lceil j/q\rceil }b_{(i-1)\%p+1,(j-1)\%q+1}.}$

Si A y B representan transformaciones lineales V ₁ → W ₁ y V ₂ → W ₂ , respectivamente, entonces el producto tensorial de las dos aplicaciones está representado por A ⊗ B , que es lo mismo que V ₁ ⊗ V ₂ → W ₁ ⊗ W ₂ .

Ejemplos

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&2{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\3{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&4{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{cc|cc}1\times 0&1\times 5&2\times 0&2\times 5\\1\times 6&1\times 7&2\times 6&2\times 7\\\hline 3\times 0&3\times 5&4\times 0&4\times 5\\3\times 6&3\times 7&4\times 6&4\times 7\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc|cc}0&5&0&10\\6&7&12&14\\\hline 0&15&0&20\\18&21&24&28\end{array}}\right].}$

Similarmente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-4&7\\-2&3&3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}8&-9&-6&5\\1&-3&-4&7\\2&8&-8&-3\\1&2&-5&-1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{cccc|cccc|cccc}8&-9&-6&5&-32&36&24&-20&56&-63&-42&35\\1&-3&-4&7&-4&12&16&-28&7&-21&-28&49\\2&8&-8&-3&-8&-32&32&12&14&56&-56&-21\\1&2&-5&-1&-4&-8&20&4&7&14&-35&-7\\\hline -16&18&12&-10&24&-27&-18&15&24&-27&-18&15\\-2&6&8&-14&3&-9&-12&21&3&-9&-12&21\\-4&-16&16&6&6&24&-24&-9&6&24&-24&-9\\-2&-4&10&2&3&6&-15&-3&3&6&-15&-3\end{array}}\right]}$

Propiedades

Relaciones con otras operaciones matriciales

1. Bilinealidad y asociatividad :

   El producto de Kronecker es un caso especial del producto tensor , por lo que es bilineal y asociativo :

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} +\mathbf {A} \otimes \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\otimes \mathbf {A} &=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} +\mathbf {C} \otimes \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\otimes \mathbf {B} &=\mathbf {A} \otimes (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\otimes \mathbf {C} &=\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} ),\\\mathbf {A} \otimes \mathbf {0} &=\mathbf {0} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$

   donde A , B y C son matrices, 0 es una matriz cero y k es un escalar.
2. No conmutativo :

   En general, A ⊗ B y B ⊗ A son matrices diferentes. Sin embargo, A ⊗ B y B ⊗ A son permutaciones equivalentes, lo que significa que existen matrices de permutaciones P y Q tales que ^[5]

   ${\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {P} \,(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\,\mathbf {Q} .}$

   Si A y B son matrices cuadradas, entonces A ⊗ B y B ⊗ A son permutaciones similares , lo que significa que podemos tomar P = Q ^T.

   Las matrices P y Q son matrices aleatorias perfectas. ^[6] La matriz aleatoria perfecta S _{p , q} se puede construir tomando porciones de la matriz identidad I _r , donde . ${\displaystyle r=pq}$

   ${\displaystyle \mathbf {S} _{p,q}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{r}(1:q:r,:)\\\mathbf {I} _{r}(2:q:r,:)\\\vdots \\\mathbf {I} _{r}(q:q:r,:)\end{bmatrix}}}$

   Aquí se utiliza la notación de dos puntos de MATLAB para indicar submatrices, e I _r es la matriz de identidad r × r . Si y , entonces ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}}$

   ${\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {S} _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {S} _{n_{1},n_{2}}^{\textsf {T}}}$

3. La propiedad del producto mixto:

   Si A , B , C y D son matrices de tal tamaño que se pueden formar los productos matriciales AC y BD , entonces ^[7]

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {AC} )\otimes (\mathbf {BD} ).}$

   Esto se denomina propiedad del producto mixto , porque mezcla el producto de la matriz ordinaria y el producto de Kronecker.

   Como consecuencia inmediata,

   ${\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} =(\mathbf {I_{m_{1}}} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I_{n_{2}}} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I_{m_{2}}} )(\mathbf {I_{n_{1}}} \otimes \mathbf {B} ).}$

   En particular, usando la propiedad de transposición desde abajo, esto significa que si

   ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \otimes \mathbf {U} }$

   y Q y U son ortogonales (o unitarios ), entonces A también es ortogonal (resp., unitario).

   El producto mixto matriz-vector de Kronecker se puede escribir como:

   ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right)\operatorname {vec} \left(\mathbf {V} \right)=\operatorname {vec} (\mathbf {B} \mathbf {V} \mathbf {A} ^{T})}$

   ¿Dónde se aplica el operador de vectorización (formado remodelando la matriz)? ${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {V} )}$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$
4. Producto de Hadamard (multiplicación por elementos):

   La propiedad de producto mixto también funciona para el producto por elementos. Si A y C son matrices del mismo tamaño, B y D son matrices del mismo tamaño, entonces ^[7]

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\circ (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \circ \mathbf {D} ).}$

5. El inverso de un producto de Kronecker:

   De ello se deduce que A ⊗ B es invertible si y sólo si tanto A como B son invertibles, en cuyo caso la inversa viene dada por

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.}$

   La propiedad del producto invertible también es válida para la pseudoinversa de Moore-Penrose , ^{[7] [8]} es decir

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{+}=\mathbf {A} ^{+}\otimes \mathbf {B} ^{+}.}$

   En el lenguaje de la teoría de categorías , la propiedad de producto mixto del producto de Kronecker (y el producto tensorial más general) muestra que la categoría Mat _F de matrices sobre un campo F es de hecho una categoría monoidal , con objetos números naturales n , morfismos n → m son matrices de n × m con entradas en F , _la composición viene dada por la multiplicación de matrices, las flechas de identidad son simplemente matrices de identidad de n × n In y el producto tensorial viene dado por el producto de Kronecker. ^[9]

   Mat _F es una categoría de esqueleto concreto para la categoría equivalente FinVect _F de espacios vectoriales de dimensión finita sobre F , cuyos objetos son espacios vectoriales de dimensión finita V , las flechas son mapas F -lineales L  : V → W , y las flechas de identidad son los mapas de identidad de los espacios. La equivalencia de categorías equivale a elegir simultáneamente una base en cada espacio vectorial de dimensión finita V sobre F ; Los elementos de las matrices representan estos mapeos con respecto a las bases elegidas; y así mismo el producto de Kronecker es la representación del producto tensorial en las bases elegidas.
6. Transponer :

   La transposición y la transposición conjugada son distributivas sobre el producto de Kronecker:

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\textsf {T}}=\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$y ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\otimes \mathbf {B} ^{*}.}$

7. Determinante :

   Sea A una matriz de n × n y sea B una matriz de m × m . Entonces

   ${\displaystyle \left|\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right|=\left|\mathbf {A} \right|^{m}\left|\mathbf {B} \right|^{n}.}$

   El exponente en | Un | es el orden de B y el exponente en | B | es el orden de A .
8. Suma de Kronecker y exponenciación :

   Si A es n × n , B es m × m e I _k denota la matriz identidad k × k , entonces podemos definir lo que a veces se llama suma de Kronecker , ⊕, por

   ${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}$

   Esto es diferente de la suma directa de dos matrices. Esta operación está relacionada con el producto tensorial en álgebras de Lie , como se detalla a continuación (#Propiedades abstractas) en el punto "Relación con el producto tensorial abstracto ".

   Tenemos la siguiente fórmula para la matriz exponencial , que es útil en algunas evaluaciones numéricas. ^[10]

   ${\displaystyle \exp({\mathbf {N} \oplus \mathbf {M} })=\exp(\mathbf {N} )\otimes \exp(\mathbf {M} )}$

   Las sumas de Kronecker aparecen naturalmente en física cuando se consideran conjuntos de sistemas que no interactúan . ^{[ cita necesaria ]} Sea H ^k el hamiltoniano del késimo sistema de este tipo. Entonces el hamiltoniano total del conjunto es

   ${\displaystyle H_{\mathrm {Tot} }=\bigoplus _{k}H^{k}.}$

9. Vectorización de un producto de Kronecker:

   Sea una matriz y una matriz. Cuando se intercambia el orden del producto de Kronecker y la vectorización, las dos operaciones se pueden vincular linealmente a través de una función que involucra la matriz de conmutación . Es decir, y tienen la siguiente relación: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p\times q}$ ${\displaystyle \mathrm {vec} (\mathrm {Kron} (A,B))}$ ${\displaystyle \mathrm {Kron} (\mathrm {vec} A,\mathrm {vec} B)}$

   ${\displaystyle \mathrm {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes K_{qm}\otimes I_{q})(\mathrm {vec} A\otimes \mathrm {vec} B).}$

   Además, la relación anterior se puede reorganizar en términos de cualquiera de los siguientes: ${\displaystyle \mathrm {vec} A}$ ${\displaystyle \mathrm {vec} B}$

   ${\displaystyle \mathrm {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes G)\mathrm {vec} A=(H\otimes I_{p})\mathrm {vec} B,}$

   dónde

   ${\displaystyle G=(K_{qm}\otimes I_{p})(I_{m}\otimes \mathrm {vec} B){\text{ and }}H=(I_{n}\otimes K_{qm})(\mathrm {vec} A\otimes I_{q}).}$

10. Producto exterior :
    Si y son vectores arbitrarios, entonces el producto exterior entre y se define como . El producto Kronecker está relacionado con el producto exterior por: . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy^{T}}$ ${\displaystyle y\otimes x=\mathrm {vec} (xy^{T})}$

Propiedades abstractas

1. Espectro :

   Supongamos que A y B son matrices cuadradas de tamaño n y m respectivamente. Sean λ ₁ , ..., λ _n los valores propios de A y μ ₁ , ..., μ _m los de B (enumerados según multiplicidad ). Entonces los valores propios de A ⊗ B son

   ${\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m.}$

   De ello se deduce que la traza y el determinante de un producto de Kronecker están dados por

   ${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\text{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{m}(\det \mathbf {B} )^{n}.}$

2. Valores singulares :

   Si A y B son matrices rectangulares, entonces se pueden considerar sus valores singulares . Supongamos que A tiene r _A valores singulares distintos de cero, es decir

   ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.}$

   De manera similar, denota los valores singulares distintos de cero de B por

   ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$

   Entonces el producto de Kronecker A ⊗ B tiene r _A r _B valores singulares distintos de cero, es decir

   ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$

   Dado que el rango de una matriz es igual al número de valores singulares distintos de cero, encontramos que

   ${\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .}$

3. Relación con el producto tensorial abstracto :

   El producto de matrices de Kronecker corresponde al producto tensorial abstracto de aplicaciones lineales. Específicamente, si los espacios vectoriales V , W , X e Y tienen bases { v ₁ , ..., v _m }, { w ₁ , ..., w _n }, { x ₁ , ..., x _d }, y { y ₁ , ..., y _e }, respectivamente, y si las matrices A y B representan las transformaciones lineales S  : V → X y T  : W → Y , respectivamente en las bases apropiadas, entonces la matriz A ⊗ B representa el producto tensorial de los dos mapas, S ⊗ T  : V ⊗ W → X ⊗ Y con respecto a la base { v ₁ ⊗ w ₁ , v ₁ ⊗ w ₂ , ..., v ₂ ⊗ w ₁ , ..., v _m ⊗ w _n } de V ⊗ W y la base definida de manera similar de X ⊗ Y con la propiedad de que A ⊗ B ( v _i ⊗ w _j ) = ( Av _i ) ⊗ ( Bw _j ) , donde i y j son números enteros en el rango adecuado. ^[11]

   Cuando V y W son álgebras de Lie , y S :  V → V y T :  W → W son homomorfismos del álgebra de Lie , la suma de Kronecker de A y B representa los homomorfismos inducidos del álgebra de Lie V ⊗ W → V ⊗ W. ^{[ cita necesaria ]}
4. Relación con productos de gráficos :
   El producto de Kronecker de las matrices de adyacencia de dos gráficos es la matriz de adyacencia del gráfico del producto tensorial . La suma de Kronecker de las matrices de adyacencia de dos gráficos es la matriz de adyacencia del gráfico del producto cartesiano . ^[12]

Ecuaciones matriciales

El producto de Kronecker se puede utilizar para obtener una representación conveniente de algunas ecuaciones matriciales. Considere, por ejemplo, la ecuación AXB = C , donde A , B y C son matrices y la matriz X es la incógnita. Podemos usar el "truco vec" para reescribir esta ecuación como

${\displaystyle \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {A} \right)\,\operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\operatorname {vec} (\mathbf {AXB} )=\operatorname {vec} (\mathbf {C} ).}$

Aquí, vec( X ) denota la vectorización de la matriz X, formada al apilar las columnas de X en un vector de una sola columna .

Ahora se deduce de las propiedades del producto de Kronecker que la ecuación AXB = C tiene una solución única, si y sólo si A y B son invertibles (Horn & Johnson 1991, Lema 4.3.1).

Si X y C están ordenados por filas en los vectores de columna u y v , respectivamente, entonces (Jain 1989, 2.8 Block Matrices and Kronecker Products)

${\displaystyle \mathbf {v} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {u} .}$

La razón es que

${\displaystyle \mathbf {v} =\operatorname {vec} \left((\mathbf {AXB} )^{\textsf {T}}\right)=\operatorname {vec} \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {X} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\operatorname {vec} \left(\mathbf {X^{\textsf {T}}} \right)=\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {u} .}$

Aplicaciones

Para ver un ejemplo de la aplicación de esta fórmula, consulte el artículo sobre la ecuación de Lyapunov . Esta fórmula también resulta útil para mostrar que la distribución normal matricial es un caso especial de la distribución normal multivariada . Esta fórmula también es útil para representar operaciones de procesamiento de imágenes 2D en forma de matriz-vector.

Otro ejemplo es cuando una matriz se puede factorizar como un producto de Kronecker, entonces la multiplicación de matrices se puede realizar más rápido usando la fórmula anterior. Esto se puede aplicar de forma recursiva, como se hace en la FFT radix-2 y la transformada rápida de Walsh-Hadamard . Dividir una matriz conocida en el producto de Kronecker de dos matrices más pequeñas se conoce como el problema del "producto de Kronecker más cercano" y se puede resolver exactamente ^[13] utilizando el SVD . Dividir una matriz en el producto de Kronecker de más de dos matrices, de manera óptima, es un problema difícil y objeto de investigación en curso; algunos autores lo plantean como un problema de descomposición tensorial. ^{[14] [15]}

Junto con el método de mínimos cuadrados , el producto de Kronecker puede utilizarse como una solución precisa al problema de calibración ojo-mano . ^[dieciséis]

Operaciones matriciales relacionadas

Dos operaciones matriciales relacionadas son los productos Tracy-Singh y Khatri-Rao , que operan en matrices particionadas . Sea la matriz A m × n dividida en los bloques m _i × n _j A _ij y la matriz p × q B en los bloques p _k × q _ℓ B _kl , con, por supuesto, Σ _i m _i = m , Σ _j n _j = norte , Σ _k p _k = p y Σ _ℓ q _ℓ = q .

Producto de Tracy-Singh

El producto Tracy-Singh se define como ^{[17] [18] [19]}

${\displaystyle \mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\circ \mathbf {B} \right)_{ij}=\left(\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}}$

lo que significa que el ( ij )-ésimo subbloque del producto mp × nq A B ${\displaystyle \circ }$ es la matriz m _i p × n _j q A _ij B ${\displaystyle \circ }$ , de la cual el ( kℓ )-ésimo subbloque es igual a m _i p _k × n _j q _ℓ matriz A _ij ⊗ B _kℓ . Esencialmente, el producto de Tracy-Singh es el producto de Kronecker por pares para cada par de particiones en las dos matrices.

Por ejemplo, si A y B son matrices divididas 2 × 2, por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}$

obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ={}&\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\circ \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\circ \mathbf {B} \end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c | c | c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c c | c c c c | c | c c}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].\end{aligned}}}$

Producto Khatri-Rao

• Producto de bloque Kronecker
• Producto Khatri-Rao por columnas

Producto que te parte la cara

Propiedades de productos mixtos ^[20]

${\displaystyle \mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} ,}$

donde denota el producto de división de caras . ^{[21] [22]} ${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} ),}$

De manera similar: ^[23]

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} ),}$

${\displaystyle \mathbf {c} ^{\textsf {T}}\bullet \mathbf {d} ^{\textsf {T}}=\mathbf {c} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {d} ^{\textsf {T}},}$

donde y son vectores , ^[24] ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {c} \otimes \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {d} ),}$

donde y son vectores y denota el producto de Hadamard . ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \circ }$

Similarmente:

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} \mathbf {c} \otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} \mathbf {d} ),}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(C^{(1)}x\star C^{(2)}y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {F}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {F}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {F}}C^{(2)}y}$,

donde es la convolución del vector y es la matriz de transformada de Fourier (este resultado es una evolución de las propiedades del boceto de conteo ^[25] ), ^{[21] [22]} ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {T} ),}$

donde denota el producto Khatri-Rao por columnas . ${\displaystyle \ast }$

Similarmente:

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {d} ),}$

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} \mathbf {c} \otimes \mathbf {Q} \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {P} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {Q} \mathbf {d} ),}$

donde y son vectores . ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$

Ver también

• Modelo de matriz lineal generalizado
• Producto Hadamard (matrices)
• coeficiente de Kronecker

Notas

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Referencias

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• Steeb, Willi-Hans (2006). Problemas y soluciones en cálculo matricial introductorio y avanzado. Publicaciones científicas mundiales. ISBN 978-981-256-916-5.
• Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz (2008), "Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker y otros productos matriciales", Revista Internacional de Ciencias de la Información y Sistemas , 4 : 160–177

enlaces externos

• "Producto tensorial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Producto Kronecker". PlanetMath .
• "Producto Kronecker". MundoMatemático .
• "Problemas con nuevos productos Kronecker" (PDF) .
• "Usos más antiguos".La entrada sobre Kronecker, Zehfuss o Producto Directo de matrices tiene información histórica.
• Calcular el producto de Kronecker de dos matrices. SourceForge (código fuente genérico de C++ y Fortran 90). 2015-06-27.
• "Producto Kronecker". RosettaCode.org . 31 de diciembre de 2020 . Consultado el 13 de enero de 2021 .Fuente de software en más de 40 idiomas.