En matemáticas , un grupo de cobertura de un grupo topológico H es un espacio de cobertura G de H tal que G es un grupo topológico y el mapa de cobertura p : G → H es un homomorfismo de grupo continuo . El mapa p se llama homomorfismo de cobertura . Un caso frecuente es el de un grupo de doble cobertura , una doble cobertura topológica en la que H tiene índice 2 en G ; los ejemplos incluyen los grupos de espín , los grupos de pines y los grupos metaplécticos .
Explicado en términos generales, decir que, por ejemplo, el grupo metapléctico Mp 2 n es una doble cobertura del grupo simpléctico Sp 2 n significa que siempre hay dos elementos en el grupo metapléctico que representan un elemento en el grupo simpléctico.
Sea G un grupo de cobertura de H . El núcleo K del homomorfismo de cobertura es simplemente la fibra sobre la identidad en H y es un subgrupo normal discreto de G. El núcleo K está cerrado en G si y sólo si G es Hausdorff (y si y sólo si H es Hausdorff). Yendo en la otra dirección, si G es cualquier grupo topológico y K es un subgrupo normal discreto de G, entonces el mapa de cociente p : G → G / K es un homomorfismo de cobertura.
Si G es conexo, entonces K , al ser un subgrupo normal discreto, necesariamente se encuentra en el centro de G y, por tanto, es abeliano . En este caso, el centro de H = G / K viene dado por
Como ocurre con todos los espacios de cobertura, el grupo fundamental de G se inyecta en el grupo fundamental de H. Dado que el grupo fundamental de un grupo topológico es siempre abeliano, cada grupo de cobertura es un espacio de cobertura normal. En particular, si G está conectado por caminos, entonces el grupo cociente π 1 ( H ) / π 1 ( G ) es isomorfo a K . El grupo K actúa simplemente transitivamente sobre las fibras (que son simplemente clases laterales izquierdas ) mediante multiplicación derecha. El grupo G es entonces un paquete K principal sobre H.
Si G es un grupo cubriente de H, entonces los grupos G y H son localmente isomorfos. Además, dados cualesquiera dos grupos localmente isomorfos conectados H 1 y H 2 , existe un grupo topológico G con subgrupos normales discretos K 1 y K 2 tales que H 1 es isomorfo a G / K 1 y H 2 es isomorfo a G / K 2 .
Sea H un grupo topológico y sea G un espacio de cobertura de H. Si G y H están conectados por camino y localmente , entonces para cualquier elección de elemento e * en la fibra sobre e ∈ H , existe una estructura de grupo topológico única en G , con e * como identidad, para la cual el mapa de cobertura p : G → H es un homomorfismo.
La construcción es como sigue. Sean a y b elementos de G y sean f y g caminos en G que comiencen en e * y terminen en a y b respectivamente. Defina una ruta h : I → H por h ( t ) = p ( f ( t )) p ( g ( t )) . Por la propiedad de elevación de trayectoria de los espacios que cubren, existe una elevación única de h a G con el punto inicial e *. El producto ab se define como el punto final de este camino. Por construcción tenemos p ( ab ) = p ( a ) p ( b ) . Hay que demostrar que esta definición es independiente de la elección de los caminos f y g , y también que las operaciones del grupo son continuas.
Alternativamente, la ley de grupo en G se puede construir elevando la ley de grupo H × H → H a G , utilizando la propiedad de elevación del mapa de cobertura G × G → H × H .
El caso no relacionado es interesante y se estudia en los artículos de Taylor y Brown-Mucuk que se citan a continuación. Esencialmente hay una obstrucción a la existencia de una cobertura universal que también es un grupo topológico tal que el mapa de cobertura es un morfismo: esta obstrucción se encuentra en el tercer grupo de cohomología del grupo de componentes de G con coeficientes en el grupo fundamental de G en la identidad.
Si H es un grupo conectado por camino, conectado localmente y simplemente semilocalmente, entonces tiene una cobertura universal . Mediante la construcción anterior, la cobertura universal se puede convertir en un grupo topológico con el mapa de cobertura en un homomorfismo continuo. Este grupo se llama grupo de cobertura universal de H. También existe una construcción más directa, que presentamos a continuación.
Sea PH el grupo de caminos de H. Es decir, PH es el espacio de caminos en H basado en la identidad junto con la topología compacta-abierta . El producto de los caminos viene dado por la multiplicación puntual, es decir ( fg ) ( t ) = f ( t ) g ( t ) . Esto le da a PH la estructura de un grupo topológico. Existe un homomorfismo de grupo natural PH → H que envía cada camino a su punto final. La cobertura universal de H viene dada como el cociente de PH por el subgrupo normal de bucles homotópicos nulos . La proyección PH → H desciende al cociente que da el mapa de cobertura. Se puede demostrar que la cubierta universal es simplemente conexa y que el núcleo es solo el grupo fundamental de H. Es decir, tenemos una secuencia exacta corta.
dóndees la cubierta universal de H . Concretamente, el grupo de cobertura universal de H es el espacio de clases de caminos de homotopía en H con multiplicación puntual de caminos. El mapa de cobertura envía cada clase de ruta a su punto final.
Como sugiere lo anterior, si un grupo tiene un grupo de cobertura universal (si está conectado por camino, conectado localmente por camino y simplemente semilocalmente conectado), con centro discreto, entonces el conjunto de todos los grupos topológicos que están cubiertos por la cobertura universal grupo forma una red, correspondiente a la red de subgrupos del centro del grupo de cobertura universal: la inclusión de subgrupos corresponde a la cobertura de grupos cocientes. El elemento máximo es el grupo de cobertura universal., mientras que el elemento mínimo es el grupo de cobertura universal mod su centro,/Z() .
Esto corresponde algebraicamente a la extensión central perfecta universal (llamada "grupo de cobertura", por analogía) como elemento máximo, y un grupo mod su centro como elemento mínimo.
Esto es particularmente importante para los grupos de Lie, ya que estos grupos son todas las realizaciones (conectadas) de un álgebra de Lie particular. Para muchos grupos de Lie, el centro es el grupo de matrices escalares y, por tanto, el grupo mod su centro es la proyectivización del grupo de Lie. Estas cubiertas son importantes en el estudio de las representaciones proyectivas de los grupos de Lie, y las representaciones de espín conducen al descubrimiento de los grupos de espín : una representación proyectiva de un grupo de Lie no tiene por qué provenir de una representación lineal del grupo, pero sí proviene de una representación lineal de algunos. grupo de cobertura, en particular el grupo de cobertura universal. El análogo finito dio lugar al grupo de cobertura o cobertura de Schur, como se analizó anteriormente.
Un ejemplo clave surge de SL 2 ( R ) , que tiene centro {±1} y grupo fundamental Z. Es una doble cobertura del grupo lineal especial proyectivo sin centros PSL 2 ( R ), que se obtiene tomando el cociente entre el centro. Por descomposición de Iwasawa , ambos grupos son haces circulares sobre el semiplano superior complejo, y su cobertura universal es un haz de líneas reales sobre el semiplano que forma una de las ocho geometrías de Thurston . Dado que el semiplano es contráctil, todas las estructuras de haces son triviales. La preimagen de SL 2 ( Z ) en la funda universal es isomorfa al grupo trenzado en tres hilos.
Todas las definiciones y construcciones anteriores se aplican al caso especial de los grupos de Lie . En particular, cada cobertura de una variedad es una variedad y el homomorfismo de cobertura se convierte en un mapa suave . Asimismo, dado cualquier subgrupo normal discreto de un grupo de Lie, el grupo cociente es un grupo de Lie y el mapa del cociente es un homomorfismo de cobertura.
Dos grupos de Lie son localmente isomorfos si y sólo si sus álgebras de Lie son isomorfas. Esto implica que un homomorfismo φ : G → H de grupos de Lie es un homomorfismo de cobertura si y sólo si el mapa inducido en álgebras de Lie
es un isomorfismo.
Dado que para cada álgebra de Lie hay un grupo de Lie G único simplemente conectado con álgebra de Lie , de esto se deduce que el grupo de cobertura universal de un grupo de Lie conectado H es el grupo de Lie G (único) simplemente conectado que tiene el mismo álgebra de Lie que H.
