Espacio proyectivo real

Tipo de espacio topológico

En matemáticas , el espacio proyectivo real , denotado como o , es el espacio topológico de líneas que pasan por el origen 0 en el espacio real . Es una variedad compacta y suave de dimensión n , y es un caso especial de un espacio Grassmanniano . ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,\mathbb {R} ^{n+1})}$

Propiedades básicas

Construcción

Como ocurre con todos los espacios proyectivos , RP ⁿ se forma tomando el cociente de R ^{n +1} ∖ {0} bajo la relación de equivalencia x ∼ λx para todos los números reales λ ≠ 0 . Para todo x en R ^{n +1} ∖ {0} siempre se puede encontrar un λ tal que λx tenga norma  1. Hay precisamente dos λ que difieren por el signo.

Así, RP ⁿ también puede formarse identificando puntos antípodas de la unidad n - esfera , S ⁿ , en R ^{n +1} .

Se puede restringir aún más al hemisferio superior de S ⁿ y simplemente identificar puntos antípodas en el ecuador delimitador. Esto muestra que RP ⁿ también es equivalente al disco cerrado de n dimensiones, D ⁿ , con puntos antípodas en el límite, ∂ D ⁿ = S ^{n −1} , identificados.

Ejemplos de baja dimensión

• RP ¹ se llama recta proyectiva real , que topológicamente equivale a un círculo .
• RP ² se llama plano proyectivo real . Este espacio no se puede incrustar en R ³ . Sin embargo, se puede incrustar en R ⁴ y sumergir en R 3 ⁽ ver aquí ). Las cuestiones de la integrabilidad y la sumergibilidad del espacio n proyectivo han sido bien estudiadas. ^[1]
• RP ³ es ( diffeomorfo a) SO(3) , por lo tanto admite una estructura de grupo; el mapa de cobertura S ³ → RP ³ es un mapa de grupos Spin(3) → SO(3), donde Spin(3) es un grupo de Lie que es la cobertura universal de SO(3).

Topología

El mapa antípoda en la n -esfera (el mapa que envía x a − x ) genera una acción de grupo Z 2 en S ⁿ . Como se mencionó anteriormente, el espacio orbital para esta acción es RP ⁿ . Esta acción es en realidad una acción de cobertura del espacio que da a S ⁿ una doble cobertura de RP ⁿ . Dado que S ⁿ es simplemente conexo para n ≥ 2, también sirve como cobertura universal en estos casos. De ello se deduce que el grupo fundamental de RP ⁿ es Z ₂ cuando n > 1. (Cuando n = 1 el grupo fundamental es Z debido al homeomorfismo con S ¹ ). Un generador para el grupo fundamental es la curva cerrada obtenida proyectando cualquier curva que conecte puntos antípodas en S ⁿ hasta RP ⁿ .

El proyectivo n -espacio es compacto, conexo y tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo cíclico de orden 2: su espacio de cobertura universal está dado por el mapa del cociente antípodo de la n -esfera, un espacio simplemente conexo . Es una doble portada . El mapa de antípodas en R ^p tiene signo , por lo que conserva la orientación si y solo si p es par. El carácter de orientación es así: el bucle no trivial actúa como orientación, por lo que RP ⁿ es orientable si y sólo si n + 1 es par, es decir, n es impar. ^[2] ${\displaystyle (-1)^{p}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {RP} ^{n})}$ ${\displaystyle (-1)^{n+1}}$

El espacio proyectivo n es de hecho difeomorfo a la subvariedad de R ^{( n +1) 2} que consta de todas las matrices simétricas ( n + 1) × ( n + 1 ) de la traza 1 que también son transformaciones lineales idempotentes. ^{[ cita necesaria ]}

Geometría de espacios proyectivos reales.

El espacio proyectivo real admite una métrica de curvatura escalar positiva constante, proveniente de la doble cobertura por la esfera redonda estándar (el mapa antípoda es localmente una isometría).

Para la métrica redonda estándar, esta tiene una curvatura seccional idéntica a 1.

En la métrica redonda estándar, la medida del espacio proyectivo es exactamente la mitad de la medida de la esfera.

Estructura lisa

Los espacios proyectivos reales son variedades suaves . En S ⁿ , en coordenadas homogéneas, ( x ₁ , ..., x _{n +1} ), considere el subconjunto U _i con x _i ≠ 0. Cada U _i es homeomorfo a la unión disjunta de dos bolas unitarias abiertas en R ⁿ que se asignan al mismo subconjunto de RP ⁿ y las funciones de transición de coordenadas son suaves. Esto le da a RP ⁿ una estructura suave .

Estructura como complejo CW

El espacio proyectivo real RP ⁿ admite la estructura de un complejo CW con 1 celda en cada dimensión.

En coordenadas homogéneas ( x ₁ ... x _{n +1} ) en S ⁿ , la vecindad de coordenadas U ₁ = {( x ₁ ... x _{n +1} ) | x ₁ ≠ 0} se puede identificar con el interior del n -disco D ⁿ . Cuando x _i = 0, se tiene RP ^{n −1} . Por lo tanto, el esqueleto n −1 de RP ⁿ es RP ^{n −1} , y el mapa adjunto f  : S ^{n −1} → RP ^{n −1} es el mapa de cobertura 2 a 1. uno puede poner

$${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.}$$

La inducción muestra que RP ⁿ es un complejo CW con 1 celda en cada dimensión hasta n .

Las celdas son celdas de Schubert , como en el colector de bandera . Es decir, tome una bandera completa (digamos la bandera estándar) 0 = V ₀ < V ₁ <...< V _n ; entonces la celda k cerrada son líneas que se encuentran en V _k . Además, la k -celda abierta (el interior de la k -celda) son líneas en V _k \ V _{k −1} (líneas en V _k pero no en V _{k −1} ).

En coordenadas homogéneas (con respecto a la bandera), las celdas están

$${\displaystyle {\begin{array}{c}[*:0:0:\dots :0]\\{[}*:*:0:\dots :0]\\\vdots \\{[}*:*:*:\dots :*].\end{array}}}$$

Esta no es una estructura CW normal, ya que los mapas adjuntos son 2 a 1. Sin embargo, su cubierta es una estructura CW regular en la esfera, con 2 celdas en cada dimensión; de hecho, la estructura mínima regular de CW en la esfera.

A la luz de la estructura suave, la existencia de una función Morse mostraría que RP ⁿ es un complejo CW. Una de esas funciones viene dada por, en coordenadas homogéneas,

$${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.}$$

En cada vecindad U _i , g tiene un punto crítico no degenerado (0,...,1,...,0) donde 1 ocurre en la i -ésima posición con índice Morse i . Esto muestra que RP ⁿ es un complejo CW con 1 celda en cada dimensión.

Paquetes tautológicos

El espacio proyectivo real tiene un haz de líneas naturales sobre él, llamado haz tautológico . Más precisamente, esto se llama subconjunto tautológico, y también existe un conjunto dual de n dimensiones llamado conjunto de cociente tautológico.

Topología algebraica de espacios proyectivos reales.

Grupos de homotopía

Los grupos de mayor homotopía de RP ⁿ son exactamente los grupos de mayor homotopía de S ⁿ , a través de la larga secuencia exacta de homotopía asociada a una fibración .

Explícitamente, el haz de fibras es:

$${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.}$$

$${\displaystyle S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$$

$${\displaystyle O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$$

el espacio proyectivo complejo

Los grupos de homotopía son:

$${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &i=1,n>1\\\pi _{i}(S^{n})&i>1,n>0.\end{cases}}}$$

Homología

El complejo de cadena celular asociado a la estructura CW anterior tiene 1 celda en cada dimensión 0,..., n . Para cada k dimensional , los mapas de límites d _k  : δ D ^k → RP ^{k −1} / RP ^{k −2} es el mapa que colapsa el ecuador en S ^{k −1} y luego identifica los puntos antípodas. En dimensiones impares (o pares), esto tiene grado 0 (o 2):

$${\displaystyle \deg(d_{k})=1+(-1)^{k}.}$$

Por tanto, la homología integral es

$${\displaystyle H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{else.}}\end{cases}}}$$

RP ⁿ es orientable si y sólo si n es impar, como muestra el cálculo de homología anterior.

Espacio proyectivo real infinito

El espacio proyectivo real infinito se construye como límite directo o unión de los espacios proyectivos finitos:

$${\displaystyle \mathbf {RP} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbf {RP} ^{n}.}$$

el espacio clasificatorio de O (1)grupo ortogonal

La doble cobertura de este espacio es la esfera infinita , que es contráctil. El espacio proyectivo infinito es, por tanto, el espacio de Eilenberg-MacLane K ( Z ₂ , 1). ${\displaystyle S^{\infty }}$

Para cada número entero no negativo q , el grupo de homología de módulo 2 . ${\displaystyle H_{q}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2)=\mathbf {Z} /2}$

Su anillo de cohomología módulo 2 es

$${\displaystyle H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} [w_{1}],}$$

clase de Stiefel-Whitney ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle w_{1}}$

Ver también

• Espacio proyectivo complejo
• Espacio proyectivo cuaterniónico
• Espacio de la lente
• Plano proyectivo real

Notas

1. Consulte la tabla de Don Davis para obtener una bibliografía y una lista de resultados.
2. JT Wloka; B. Rowley; B. Lawruk (1995). Problemas de valores en la frontera para sistemas elípticos. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 197.ISBN​ 978-0-521-43011-1.

Referencias

• Bredon, Glen . Topología y geometría , Textos de posgrado en matemáticas, Springer Verlag 1993, 1996
• Davis, Donald. «Tabla de inmersiones e incrustaciones de espacios proyectivos reales» . Consultado el 22 de septiembre de 2011 .
• Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-79160-1.