Coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3)

Representation of angular momentum tensor product states important to physics

En física matemática , los coeficientes de Clebsch-Gordan son los coeficientes de expansión de los estados propios del momento angular total en una base de producto tensorial desacoplado . Matemáticamente, especifican la descomposición del producto tensorial de dos representaciones irreducibles en una suma directa de representaciones irreducibles, donde el tipo y las multiplicidades de estas representaciones irreducibles se conocen de forma abstracta. El nombre deriva de los matemáticos alemanes Alfred Clebsch (1833-1872) y Paul Gordan (1837-1912), quienes encontraron un problema equivalente en la teoría invariante .

La generalización a SU(3) de los coeficientes de Clebsch-Gordan es útil debido a su utilidad para caracterizar las desintegraciones hadrónicas , donde existe una simetría sabor-SU(3) (la vía óctuple ) que conecta los tres quarks ligeros : arriba , abajo y extraño . .

El grupo SU(3)

El grupo unitario especial SU es el grupo de matrices unitarias cuyo determinante es igual a 1. ^[1] Este conjunto es cerrado bajo multiplicación de matrices. Todas las transformaciones caracterizadas por el grupo unitario especial dejan las normas sin cambios. La simetría SU(3) aparece en la simetría de sabor de los quarks ligeros (entre los quarks arriba , abajo y extraños ) denominada Óctuple Vía (física) . El mismo grupo actúa en cromodinámica cuántica sobre los números cuánticos de color de los quarks que forman la representación fundamental (triplete) del grupo.

El grupo SU(3) es un subgrupo del grupo U(3) , el grupo de todas las matrices unitarias de 3×3. La condición de unitaridad impone nueve relaciones de restricción sobre los 18 grados de libertad totales de una matriz compleja de 3×3. Por tanto, la dimensión del grupo U(3) es 9. Además, al multiplicar una U por una fase, e ^iφ deja la norma invariante. Por tanto, U(3) se puede descomponer en un producto directo U(1)×SU(3)/Z ₃ . Debido a esta restricción adicional, SU(3) tiene dimensión 8.

Generadores del álgebra de Lie

Toda matriz unitaria U se puede escribir en la forma

${\displaystyle U=e^{iH}\,}$

donde H es hermitiano . Los elementos de SU(3) se pueden expresar como

${\displaystyle U=e^{i\sum {a_{k}\lambda _{k}}}}$

donde están las 8 matrices linealmente independientes que forman la base del álgebra de Lie de SU(3) , en la representación triplete. La condición determinante unitaria requiere que las matrices no tengan trazas, ya que ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

${\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}}$.

Se puede construir una base explícita en la representación fundamental, 3 , en analogía con el álgebra matricial de Pauli de los operadores de espín. Consiste en las matrices de Gell-Mann ,

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\\\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}\\\\\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}&\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{array}}}$

Estos son los generadores del grupo SU(3) en la representación triplete y están normalizados como

${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{j}\lambda _{k})=2\delta _{jk}.}$

Las constantes de estructura del álgebra de Lie del grupo están dadas por los conmutadores de ${\displaystyle \lambda _{k}}$

${\displaystyle [\lambda _{j},\lambda _{k}]=2if_{jkl}\lambda _{l}~,}$

donde las constantes de estructura son completamente antisimétricas y son análogas al símbolo de Levi-Civita de SU(2) . ${\displaystyle f_{jkl}}$ ${\displaystyle \epsilon _{jkl}}$

En general, desaparecen, a menos que contengan un número impar de índices del conjunto {2,5,7}, correspondiente al antisimétrico λ s. Nota . ${\displaystyle f_{ljk}={\frac {-i}{4}}\mathrm {tr} ([\lambda _{l},\lambda _{j}]\lambda _{k})}$

Además,

${\displaystyle \{\lambda _{j},\lambda _{k}\}={\frac {4}{3}}\delta _{jk}+2d_{jkl}\lambda _{l}}$

¿Dónde están las constantes de coeficientes completamente simétricas? Desaparecen si el número de índices del conjunto {2,5,7} es impar. En términos de las matrices, ${\displaystyle d_{jkl}}$

${\displaystyle d_{jkl}={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\{\lambda _{j},\lambda _{k}\}\lambda _{l})={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\{\lambda _{k},\lambda _{l}\}\lambda _{j})=d_{klj}=d_{kjl}}$

Base estándar

Sistema de raíces de SU(3) . Las 6 raíces están mutuamente inclinadas por π /3 para formar una red hexagonal: α corresponde al isospin; β al giro en U; y α + β al giro en V.

Una base estándar normalizada ligeramente diferente consiste en los operadores F-spin , que se definen como para 3 , y se utilizan para aplicar a cualquier representación de esta álgebra . ${\displaystyle {\hat {F_{i}}}={\frac {1}{2}}\lambda _{i}}$

La base de Cartan-Weyl del álgebra de Lie de SU(3) se obtiene mediante otro cambio de base, donde se define, ^[2]

${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm }={\hat {F}}_{1}\pm i{\hat {F}}_{2}}$

${\displaystyle {\hat {I}}_{3}={\hat {F_{3}}}}$

${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }={\hat {F}}_{4}\pm i{\hat {F}}_{5}}$

${\displaystyle {\hat {U}}_{\pm }={\hat {F}}_{6}\pm i{\hat {F}}_{7}}$

${\displaystyle {\hat {Y}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}{\hat {F}}_{8}~.}$

Debido a los factores de i en estas fórmulas, esto es técnicamente una base para la complejización del álgebra de Lie su(3), concretamente sl(3, C ). La base anterior es, pues, esencialmente la misma que se utiliza en el libro de Hall. ^[3]

Álgebra de conmutación de los generadores.

La forma estándar de generadores del grupo SU(3) satisface las relaciones de conmutación que se indican a continuación,

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {I}}_{3}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {I}}_{\pm }]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {U}}_{\pm }]=\pm {\hat {U_{\pm }}},}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {V}}_{\pm }]=\pm {\hat {V_{\pm }}},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {I}}_{\pm }]=\pm {\hat {I_{\pm }}},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {U}}_{\pm }]=\mp {\frac {1}{2}}{\hat {U_{\pm }}},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {V}}_{\pm }]=\pm {\frac {1}{2}}{\hat {V_{\pm }}},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {I}}_{-}]=2{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {U}}_{-}]={\frac {3}{2}}{\hat {Y}}-{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {V}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\frac {3}{2}}{\hat {Y}}+{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {V}}_{-}]=-{\hat {U}}_{-},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {U}}_{+}]={\hat {V}}_{+},}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\hat {I}}_{-},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {V}}_{+}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {U}}_{-}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {V}}_{+}]=0.}$

Todas las demás relaciones de conmutación se derivan de la conjugación hermitiana de estos operadores.

Estas relaciones de conmutación se pueden utilizar para construir las representaciones irreducibles del grupo SU(3) .

Las representaciones del grupo se encuentran en el plano bidimensional I ₃ − Y. Aquí, representa el componente z de Isospin y es la Hipercarga , y comprenden la subálgebra de Cartan (abeliana) del álgebra de Lie completa. El número máximo de generadores que se conmutan entre sí de un álgebra de Lie se llama rango : SU(3) tiene rango 2. Los 6 generadores restantes, los operadores de escalera ±, corresponden a las 6 raíces dispuestas en la red hexagonal bidimensional de la figura. . ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$

Operadores casimir

El operador Casimir es un operador que conmuta con todos los generadores del grupo Lie. En el caso de SU (2) , el operador cuadrático J ² es el único operador independiente.

En el caso del grupo SU (3) , por el contrario, se pueden construir dos operadores Casimir independientes, uno cuadrático y uno cúbico: son, ^[4]

${\displaystyle {\hat {C_{1}}}=\sum _{k}{\hat {F_{k}}}{\hat {F_{k}}}\qquad \qquad {\hat {C_{2}}}=\sum _{jkl}d_{jkl}{\hat {F_{j}}}{\hat {F_{k}}}{\hat {F_{l}}}~.}$

Estos operadores de Casimir sirven para etiquetar las representaciones irreducibles del álgebra de grupos de Lie SU (3) , porque todos los estados en una representación dada asumen el mismo valor para cada operador de Casimir, que sirve como identidad en un espacio con la dimensión de esa representación. Esto se debe a que los estados en una representación determinada están conectados por la acción de los generadores del álgebra de Lie, y todos los generadores conmutan con los operadores de Casimir.

Por ejemplo, para la representación triplete, D (1,0) , el valor propio de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{1}}$ es 4/3, y de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$ , 10/9.

De manera más general, a partir de la fórmula de Freudenthal , para D ( p,q ) genérico , el valor propio ^[5] de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{1}}$ es.

${\displaystyle (p^{2}+q^{2}+3p+3q+pq)/3}$.

El valor propio ("coeficiente de anomalía") de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$ es ^[6]

${\displaystyle (p-q)(3+p+2q)(3+q+2p)/18.}$

Es una función impar bajo el intercambio p ↔ q . En consecuencia, desaparece para las representaciones reales p = q , como el adjunto, D (1,1) , es decir, tanto ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$ como las anomalías desaparecen para él.

Representaciones del grupo SU(3)

Las representaciones irreductibles de SU(3) se analizan en varios lugares, incluido el libro de Hall. ^[7] Dado que el grupo SU(3) es simplemente conexo, ^[8] las representaciones están en correspondencia uno a uno con las representaciones de su álgebra de Lie ^[9] su(3), o la complejización ^[10] de su Álgebra de mentiras, sl(3, C ).

Etiquetamos las representaciones como D ( p , q ), siendo p y q números enteros no negativos, donde en términos físicos, p es el número de quarks y q es el número de antiquarks. Matemáticamente, la representación D ( p , q ) se puede construir tensando juntas p copias de la representación tridimensional estándar y q copias del dual de la representación estándar, y luego extrayendo un subespacio invariante irreducible. ^[11] (Ver también la sección de cuadros de Young a continuación: p es el número de columnas de caja única, "quarks", y q el número de columnas de caja doble, "antiquarks").

Otra forma más de pensar en los parámetros p y q es como los valores propios máximos de las matrices diagonales.

${\displaystyle H_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad H_{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

(Los elementos y son combinaciones lineales de los elementos y , pero normalizados para que los valores propios de y sean números enteros). Esto debe compararse con la teoría de representación de SU(2) , donde las representaciones irreducibles están etiquetadas por el valor propio máximo de un solo elemento, h . ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Las representaciones tienen dimensión ^[12]

La representación 10 D (3,0) (decuplet bariónico de espín 3/2)

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}(p+1)(q+1)(p+q+2),}$

sus caracteres irreductibles están dados por ^[13]

${\displaystyle \chi ^{p,q}(\theta ,\phi )=e^{i{\frac {\theta }{3}}(2p+q)}\sum \limits _{k=0}^{p}\sum \limits _{l=0}^{q}e^{-i(k+l)\theta }\left({\frac {\sin((k-l+q+1)\phi /2)}{\sin(\phi /2)}}\right),}$

y la medida de Haar correspondiente es ^[13] tal que y , ${\displaystyle \mu (SU(3))=64\sin \left({\frac {\phi }{2}}\right)^{2}\sin \left({\frac {1}{2}}(\theta +\phi /2)\right)^{2}\sin \left({\frac {1}{2}}(\theta -\phi /2)\right)^{2}}$ ${\displaystyle -2\pi \leq \phi \leq 2\pi }$ ${\displaystyle -3\pi \leq \theta \leq 3\pi }$

${\displaystyle V(SU(3))=\int _{-\pi }^{\pi }\!\int _{-\pi }^{\pi }d\!\left({\frac {\phi }{2}}\right)d\!\left({\frac {\theta }{3}}\right)\mu (SU(3))=\int _{-2\pi }^{2\pi }{\frac {d\phi }{2}}\int _{-3\pi }^{3\pi }{\frac {d\theta }{3}}\mu (SU(3))=24\pi ^{2}.}$

Un multiplete SU(3) puede especificarse completamente mediante cinco etiquetas, dos de las cuales, los valores propios de los dos Casimiros, son comunes a todos los miembros del multiplete. Esto generaliza las dos simples etiquetas para los multipletes SU(2) , es decir, los valores propios de su Casimir cuadrático y de I ₃ .

Dado que podemos etiquetar diferentes estados mediante los valores propios de y operadores, para un valor propio dado del isospin Casimir. La acción de los operadores en estos estados es, ^[14] ${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {Y}}]=0}$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ ${\displaystyle |t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {I}}_{3}|t,y\rangle =t|t,y\rangle }$

La representación de generadores del grupo SU(3) .

${\displaystyle {\hat {Y}}|t,y\rangle =y|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {U}}_{0}|t,y\rangle ={\Bigl (}{\frac {3}{4}}y-{\frac {1}{2}}t{\Bigr )}|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {V}}_{0}|t,y\rangle ={\Bigl (}{\frac {3}{4}}y+{\frac {1}{2}}t{\Bigr )}|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm }|t,y\rangle =\alpha |t\pm 1,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {U}}_{\pm }|t,y\rangle =\beta |t\pm {\frac {1}{2}},y\pm 1\rangle }$

${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }|t,y\rangle =\gamma |t\mp {\frac {1}{2}},y\pm 1\rangle }$

Aquí,

${\displaystyle {\hat {U}}_{0}\equiv {\frac {1}{2}}[{\hat {U}}_{+},{\hat {U}}_{-}]={\frac {3}{4}}{\hat {Y}}-{\frac {1}{2}}{\hat {I}}_{3}}$

y

${\displaystyle {\hat {V}}_{0}\equiv {\frac {1}{2}}[{\hat {V}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\frac {3}{4}}{\hat {Y}}+{\frac {1}{2}}{\hat {I}}_{3}.}$

La representación de 15 dimensiones D (2,1)

Todos los demás estados de la representación pueden construirse mediante la aplicación sucesiva de los operadores de escalera y identificando los estados base que son aniquilados por la acción de los operadores de descenso. Estos operadores se pueden representar como flechas cuyos puntos finales forman los vértices de un hexágono (imagen de generadores arriba). ${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm },{\hat {U}}_{\pm }}$ ${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }}$

Coeficiente de Clebsch-Gordan para SU(3)

La representación producto de dos representaciones irreducibles y generalmente es reducible. Simbólicamente, ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$

${\displaystyle D(p_{1},q_{1})\otimes D(p_{2},q_{2})=\sum _{P,Q}\oplus \sigma (P,Q)D(P,Q)~,}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma (P,Q)}$ es un número entero.

Por ejemplo, dos octetos (adjuntos) componen

${\displaystyle D(1,1)\otimes D(1,1)=D(2,2)\oplus D(3,0)\oplus D(1,1)\oplus D(1,1)\oplus D(0,3)\oplus D(0,0)~,}$

es decir, su producto se reduce a un icosasepteto ( 27 ), un decuplet, dos octetos, un antidecuplet y un singlete, 64 estados en total.

La serie de la derecha se llama serie de Clebsch-Gordan. Implica que la representación ⁠ ⁠ ${\displaystyle D(P,Q)}$ aparece ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma (P,Q)}$ veces en la reducción de este producto directo de con . ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$

Ahora se necesita un conjunto completo de operadores para especificar de forma única los estados de cada representación irreducible dentro de la que se acaba de reducir. El conjunto completo de operadores de desplazamiento en el caso de la representación irreducible ⁠ ⁠ ${\displaystyle D(P,Q)}$ es

${\displaystyle \{{\hat {C}}_{1},{\hat {C}}_{2},{\hat {I}}_{3},{\hat {I}}^{2},{\hat {Y}}\}~,}$

dónde

${\displaystyle I^{2}\equiv {I_{1}}^{2}+{I_{2}}^{2}+{I_{3}}^{2}}$.

Los estados de la representación directa del producto anterior están, por tanto, completamente representados por el conjunto de operadores.

${\displaystyle \{{\hat {C}}_{1}(1),{\hat {C}}_{2}(1),{\hat {I}}_{3}(1),{\hat {I}}^{2}(1),{\hat {Y}}(1),{\hat {C}}_{1}(2),{\hat {C}}_{2}(2),{\hat {I}}_{3}(2),{\hat {I}}^{2}(2),{\hat {Y}}(2)\},}$

donde el número entre paréntesis designa la representación sobre la que actúa el operador.

Se puede encontrar un conjunto alternativo de operadores de desplazamiento para la representación directa del producto, si se considera el siguiente conjunto de operadores, ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbb {C} }}_{1}&={\hat {C}}_{1}(1)+{\hat {C}}_{1}(2)\\{\hat {\mathbb {C} }}_{2}&={\hat {C}}_{2}(1)+{\hat {C}}_{2}(2)\\{\hat {\mathbb {I} }}^{2}&={\hat {I}}^{2}(1)+{\hat {I}}^{2}(2)\\{\hat {\mathbb {Y} }}&={\hat {Y}}(1)+{\hat {Y}}(2)\\{\hat {\mathbb {I} }}_{3}&={\hat {I}}_{3}(1)+{\hat {I}}_{3}(2).\end{aligned}}}$

Así, el conjunto de operadores de transporte incluye

${\displaystyle \{{\hat {\mathbb {C} }}_{1},{\hat {\mathbb {C} }}_{2},{\hat {\mathbb {Y} }},{\hat {\mathbb {I} }}_{3},{\hat {\mathbb {I} }}^{2},{\hat {C}}_{1}(1),{\hat {C}}_{1}(2),{\hat {C}}_{2}(1),{\hat {C}}_{2}(2)\}.}$

Este es un conjunto de nueve operadores únicamente. Pero el conjunto debe contener diez operadores para definir todos los estados de la representación directa del producto de forma única. Para encontrar el último operador Γ , hay que buscar fuera del grupo. Es necesario distinguir diferentes ⁠ ⁠ ${\displaystyle D(P,Q)}$ para valores similares de P y Q.

${\displaystyle {\begin{array}{cc|cc|cc|cc}{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}\\\hline {\hat {C}}_{1}(1)&{c^{1}}_{1}&{\hat {C}}_{1}(2)&{c^{1}}_{2}&{\hat {C}}_{2}(1)&{c^{2}}_{1}&{\hat {C}}_{2}(2)&{c^{2}}_{2}\\{\hat {\mathbb {I} }}^{2}&{i^{2}}&{\hat {\mathbb {I} }}_{3}&{i^{z}}&{\hat {\mathbb {Y} }}&{y}&{\hat {\Gamma }}&\gamma \\{\hat {\mathbb {C} }}_{1}&{c^{1}}&{\hat {\mathbb {C} }}_{2}&{c^{1}}&{\hat {Y}}_{1}&{y}_{1}&{\hat {Y}}_{2}&{y}_{2}\\{\hat {I}}^{2}(1)&{i^{2}}_{1}&{\hat {I}}^{2}(2)&{i^{2}}_{2}&{\hat {I}}_{3}(1)&{i^{z}}_{1}&{\hat {I}}_{3}(2)&{i^{z}}_{2}\end{array}}}$

Por tanto, cualquier estado en la representación directa del producto puede representarse mediante ket,

${\displaystyle |{c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

También utilizando el segundo conjunto completo de operadores de desplazamiento, podemos definir los estados en la representación directa del producto como

${\displaystyle |{c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle }$

Podemos eliminar el estado y etiquetar los estados como ${\displaystyle {c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2}}$

${\displaystyle |y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

utilizando los operadores del primer conjunto, y,

${\displaystyle |y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle ~,}$

utilizando los operadores del segundo conjunto.

Ambos estados abarcan la representación directa del producto y cualquier estado en la representación puede etiquetarse mediante la elección adecuada de los valores propios.

Usando la relación de completitud,

${\displaystyle |y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle =\sum _{y_{1},y_{2}}\sum _{{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2}}\sum _{{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}}\langle y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle |y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

Aquí los coeficientes

${\displaystyle \langle y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle }$

son los coeficientes de Clebsch-Gordan.

Una notación diferente

Para evitar confusión, los valores propios se pueden denotar simultáneamente por μ y los valores propios se denotan simultáneamente por ν . Entonces el estado propio de la representación del producto directo ⁠ ⁠ puede denotarse por ^[15] ${\displaystyle c^{1},c^{2}}$ ${\displaystyle i^{2},i^{z},y}$ ${\displaystyle D(P,Q)}$

${\displaystyle \psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}},}$

donde están los valores propios de y se denotan simultáneamente los valores propios de . Aquí, la cantidad expresada entre paréntesis es el símbolo Wigner 3-j . ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle {c^{1}}_{1},{c^{2}}_{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle {c^{1}}_{2},{c^{2}}_{2}}$

Además, se consideran los estados base de y son los estados base de . También se encuentran los estados básicos de la representación del producto. Aquí se representan los valores propios combinados y respectivamente. ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}}$ ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$ ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$ ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}},{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$ ${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}$ ${\displaystyle ({i^{2}}_{1},{i^{z}}_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle ({i^{2}}_{2},{i^{z}}_{2},y_{2})}$

Así, las transformaciones unitarias que conectan las dos bases son

${\displaystyle \psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}=\sum _{\nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$

Esta es una notación comparativamente compacta. Aquí,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}}$

son los coeficientes de Clebsch-Gordan.

Relaciones de ortogonalidad

Los coeficientes de Clebsch-Gordan forman una matriz ortogonal real. Por lo tanto,

${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}=\sum _{\mu ,\nu ,\gamma }{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}\psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}.}$

Además, siguen las siguientes relaciones de ortogonalidad,

${\displaystyle \sum _{\nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma '\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu '\end{pmatrix}}=\delta _{\nu \nu '}\delta _{\gamma ,\gamma '}}$

${\displaystyle \sum _{\mu \nu \gamma }{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}'&\nu _{2}'&\nu \end{pmatrix}}=\delta _{\nu _{1}\nu _{1}'}\delta _{\nu _{2},\nu _{2}'}}$

Propiedades de simetría

Si aparece una representación irreductible en la serie Clebsch-Gordan de , entonces debe aparecer en la serie Clebsch-Gordan de . Lo que implica, ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{\gamma }}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{1}\otimes {\mu }_{2}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{2}\otimes {\mu }_{1}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{1}{\begin{pmatrix}\mu _{2}&\mu _{1}&\gamma \\\nu _{2}&\nu _{1}&\nu \end{pmatrix}}}$

Donde Dado que todos los coeficientes de Clebsch-Gordan son reales, se puede deducir la siguiente propiedad de simetría, ${\displaystyle \xi _{1}=\xi _{1}(\mu _{1},\mu _{2},\gamma )=\pm 1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{2}{\begin{pmatrix}{\mu _{1}}^{*}&{\mu _{2}}^{*}&{\gamma }^{*}\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}}$

Dónde . ${\displaystyle \xi _{2}=\xi _{2}(\mu _{1},\mu _{2},\gamma )=\pm 1}$

Grupo de simetría del operador hamiltoniano del oscilador 3D

El hamiltoniano describe un oscilador armónico tridimensional

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}),}$

donde la constante del resorte, la masa y la constante de Planck han sido absorbidas en la definición de las variables, ħ = m =1 .

Se ve que este hamiltoniano es simétrico bajo transformaciones de coordenadas que preservan el valor de . Por tanto, cualquier operador del grupo SO(3) mantiene este invariante hamiltoniano. ${\displaystyle V=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Más significativamente, dado que el hamiltoniano es hermitiano, permanece invariante bajo la operación de elementos del grupo SU(3) , mucho más grande .

Prueba de que el grupo de simetría del oscilador armónico 3D isotrópico lineal es SU(3) ^[16]

Se puede definir un operador tensor simétrico (diádico) análogo al vector de Laplace-Runge-Lenz para el problema de Kepler,

${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}p_{i}p_{j}+\omega ^{2}r_{i}r_{j}}$

que conmuta con el hamiltoniano,

${\displaystyle [{\hat {A}}_{ij},{\hat {H}}]=0.}$

Dado que conmuta con el hamiltoniano (su traza), representa 6−1=5 constantes de movimiento.

Tiene las siguientes propiedades,

${\displaystyle \sum _{j}{\hat {A}}_{ij}{\hat {L}}_{j}=\sum _{i}{\hat {L}}_{i}{\hat {A}}_{ij}=0}$

${\displaystyle \sum _{j}{\hat {A}}_{ij}{\hat {A}}_{jk}={\hat {H}}{\hat {A}}_{ik}+{\frac {1}{4}}\omega ^{2}\{{\hat {L}}_{i}{\hat {L}}_{k}-\delta _{ik}{\hat {L}}^{2}+2[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{k}]-2\hbar ^{2}\delta _{ik}\}}$

${\displaystyle Tr[{\hat {A}}_{ij}]=\sum _{i}{{\hat {A}}_{ii}}={\hat {H}}.}$

Aparte de la traza tensorial del operador , que es el hamiltoniano, los cinco operadores restantes se pueden reorganizar en su forma de componente esférico como ${\displaystyle {\hat {A}}_{ij},}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{0}=\omega ^{-1}(2{\hat {A}}_{33}-{\hat {A}}_{11}-{\hat {A}}_{22})}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{\pm }=\mp \omega ^{-1}({\hat {A}}_{13}\pm i{\hat {A}}_{23})}$

${\displaystyle {\hat {A'}}_{\pm }=\omega ^{-1}({\hat {A}}_{11}-{\hat {A}}_{22}\pm 2i{\hat {A}}_{22})}$

Además, los operadores de momento angular se escriben en forma de componente esférica como

${\displaystyle {\hat {L}}_{3}={\hat {L}}_{3}}$

${\displaystyle {\hat {L}}_{\pm }=({\hat {L}}_{1}\pm i{\hat {L}}_{2}).}$

Obedecen las siguientes relaciones de conmutación,

${\displaystyle [{\hat {L}}_{3},{\hat {A}}_{0}]=[{\hat {A}}_{0},{\hat {A'}}_{\pm }]=[{\hat {A}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\pm }]=[{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\pm }]=0}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{\pm },{\hat {L}}_{\mp }]=-4[{\hat {A}}_{\pm },{\hat {A}}_{\mp }]={\frac {1}{2}}[{\hat {A'}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\mp }]=\pm 2\hbar {\hat {L}}_{3}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A}}_{\mp }]=\hbar {\hat {A}}_{0}}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {L}}_{\pm }]=-{\frac {2}{3}}[{\hat {A}}_{0},{\hat {A}}_{\pm }]=[{\hat {A}}_{\mp },{\hat {A'}}_{\pm }]=\hbar {\hat {L}}_{\pm }}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {A}}_{\pm }]=-{\frac {1}{6}}[{\hat {A}}_{0},{\hat {L}}_{\pm }]={\frac {1}{4}}[{\hat {L}}_{\mp },{\hat {A'}}_{\pm }]=\hbar {\hat {A}}_{\pm }}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {A'}}_{\pm }]=2[{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A}}_{\pm }]=2\hbar {\hat {A'}}_{\pm }.}$

Los ocho operadores (que consisten en los 5 operadores derivados del operador tensor simétrico sin trazas  _ij y los tres componentes independientes del vector de momento angular) obedecen a las mismas relaciones de conmutación que los generadores infinitesimales del grupo SU(3) , detallados anteriormente.

Como tal, el grupo de simetría del hamiltoniano para un oscilador armónico 3D isotrópico lineal es isomorfo al grupo SU(3) .

Más sistemáticamente, operadores como los operadores de escalera

${\displaystyle {\sqrt {2}}{\hat {a}}_{i}={\hat {X}}_{i}+i{\hat {P}}_{i}~~}$y ${\displaystyle ~~{\sqrt {2}}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }={\hat {X}}_{i}-i{\hat {P}}_{i}}$

se pueden construir que aumentan y disminuyen el valor propio del operador hamiltoniano en 1.

Los operadores â _i y â _i ^† no son hermitianos; pero los operadores hermitianos se pueden construir a partir de diferentes combinaciones de ellos,

es decir,   . ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }}$

Hay nueve operadores de este tipo para i,j =1,2,3.

Los nueve operadores hermitianos formados por las formas bilineales â _i ^† â _j están controlados por los conmutadores fundamentales

${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}]=[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=0,}$

y visto que no se desplazan entre ellos. Como resultado, este conjunto completo de operadores no comparten sus vectores propios y no pueden diagonalizarse simultáneamente. Por tanto, el grupo no es abeliano y pueden estar presentes degeneraciones en el hamiltoniano, como se indica.

El hamiltoniano del oscilador armónico isotrópico 3D, cuando se escribe en términos del operador, equivale a ${\displaystyle {\hat {N_{i}}}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=\omega {\bigl [}{\tfrac {3}{2}}+{\hat {N}}_{1}+{\hat {N}}_{2}+{\hat {N}}_{3}{\bigr ]}}$.

El hamiltoniano tiene una degeneración 8 veces mayor. Una aplicación sucesiva de â _i y â _j ^† a la izquierda preserva el invariante hamiltoniano, ya que aumenta N _i en 1 y disminuye N _j en 1, manteniendo así el total

${\displaystyle N=\sum {N_{i}}}$   constante. (cf. oscilador armónico cuántico )

El conjunto de operadores que se desplazan al máximo

Dado que los operadores pertenecientes al grupo de simetría del hamiltoniano no siempre forman un grupo abeliano , no se puede encontrar una base propia común que los diagonalice a todos simultáneamente. En cambio, tomamos el conjunto de operadores de conmutación máxima del grupo de simetría del hamiltoniano e intentamos reducir las representaciones matriciales del grupo a representaciones irreducibles.

Espacio de Hilbert de dos sistemas.

El espacio de Hilbert de dos partículas es el producto tensorial de los dos espacios de Hilbert de las dos partículas individuales,

${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {H} _{1}\otimes \mathbb {I} +\mathbb {I} \otimes \mathbb {H} _{2}~,}$

donde y son el espacio de Hilbert de la primera y segunda partículas, respectivamente. ${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{2}}$

Los operadores en cada uno de los espacios de Hilbert tienen sus propias relaciones de conmutación, y un operador de un espacio de Hilbert conmuta con un operador del otro espacio de Hilbert. Por tanto, el grupo de simetría del operador hamiltoniano de dos partículas es el superconjunto de los grupos de simetría de los operadores hamiltonianos de partículas individuales. Si los espacios de Hilbert individuales son de dimensión N , el espacio de Hilbert combinado es de dimensión N ² .

Coeficiente de Clebsch-Gordan en este caso

El grupo de simetría del hamiltoniano es SU(3) . Como resultado, los coeficientes de Clebsch-Gordan se pueden encontrar expandiendo los vectores de bases desacopladas del grupo de simetría del hamiltoniano en su base acoplada. La serie de Clebsch-Gordan se obtiene diagonalizando en bloques el hamiltoniano mediante la transformación unitaria construida a partir de los estados propios que diagonaliza el conjunto máximo de operadores de conmutación.

Cuadros jóvenes

Un cuadro de Young ( tableaux plural ) es un método para descomponer productos de una representación de grupo SU ( N ) en una suma de representaciones irreducibles. Proporciona los tipos de dimensión y simetría de las representaciones irreductibles, lo que se conoce como serie de Clebsch-Gordan. Cada representación irreducible corresponde a un estado de una sola partícula y un producto de más de una representación irreducible indica un estado de múltiples partículas.

Dado que en la mecánica cuántica las partículas son en su mayoría indistinguibles, esto se refiere aproximadamente a varias partículas permutables. Las permutaciones de n partículas idénticas constituyen el grupo simétrico S _n . Cada estado de n -partículas de S _n que se compone de estados de una sola partícula del multiplete SU(N) fundamental N -dimensional pertenece a una representación SU(N) irreducible. Por tanto, puede utilizarse para determinar la serie de Clebsch-Gordan para cualquier grupo unitario. ^[17]

Construyendo los estados

Cualquier función de onda de dos partículas , donde los índices 1,2 representan el estado de las partículas 1 y 2, se puede utilizar para generar estados de simetría explícita utilizando los operadores de simetrización y antisimetrización. ^[18] ${\displaystyle \psi _{1,2}}$

${\displaystyle \mathbf {S_{12}} =\mathbf {I} +\mathbf {P_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {A_{12}} =\mathbf {I} -\mathbf {P_{12}} }$

donde son el operador que intercambia las partículas (Operador de intercambio). ${\displaystyle \mathbf {P_{12}} }$

Se sigue la siguiente relación: ^[18] -

${\displaystyle \mathbf {P_{12}P_{12}} =\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}S_{12}} =\mathbf {P_{12}} +\mathbf {I} =\mathbf {S_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}A_{12}} =\mathbf {P_{12}} -\mathbf {I} =-\mathbf {A_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}} \mathbf {S_{12}} \psi _{12}=+\mathbf {S_{12}} \psi _{12}}$

de este modo,

${\displaystyle \mathbf {P_{12}} \mathbf {A_{12}} \psi _{12}=-\mathbf {A_{12}} \psi _{12}.}$

A partir de un estado multipartícula, podemos aplicar y repetidamente para construir estados que sean: ^[18] ${\displaystyle \mathbf {S_{12}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A_{12}} }$

1. Simétrico con respecto a todas las partículas.
2. Antisimétrico con respecto a todas las partículas.
3. Simetrías mixtas, es decir, simétricas o antisimétricas respecto de algunas partículas.

Construyendo los cuadros

En lugar de usar ψ , en los cuadros de Young, usamos cuadros cuadrados ( □ ) para denotar partículas e i para denotar el estado de las partículas.

Una muestra del cuadro de Young. El número dentro de los cuadros representa el estado de las partículas.

El conjunto completo de partículas se denota mediante disposiciones de □ s, cada una con su propia etiqueta de número cuántico ( i ). ${\displaystyle n_{p}}$ ${\displaystyle n_{p}}$

Los cuadros se forman apilando cajas una al lado de la otra y de arriba a abajo, de modo que los estados simetrizados con respecto a todas las partículas se den en una fila y los estados antisimetrizados con respecto a todas las partículas se encuentren en una sola columna. Se siguen las siguientes reglas al construir los cuadros: ^[17]

1. Una fila no debe ser más larga que la anterior.
2. Las etiquetas cuánticas (números en □ ) no deben disminuir mientras van de izquierda a derecha en una fila.
3. Las etiquetas cuánticas deben aumentar estrictamente mientras descienden en una columna.

Caso paranorte= 3

Para N =3, es decir, en el caso de SU(3), surge la siguiente situación. En SU(3) hay tres etiquetas, generalmente se designan por (u,d,s) correspondientes a quarks arriba, abajo y extraños que siguen el álgebra SU(3). También pueden designarse genéricamente como (1,2,3). Para un sistema de dos partículas, tenemos los siguientes seis estados de simetría:

y los siguientes tres estados antisimétricos:

${\displaystyle {{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline 2\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ud-du)}\qquad {{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline 3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(us-su)}\qquad {{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline 3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ds-sd)}}$

El cuadro de 1 columna y 3 filas es el singlete, por lo que todos los cuadros de irreps no triviales de SU(3) no pueden tener más de dos filas. La representación D(p,q) tiene p+q cuadros en la fila superior y q cuadros en la segunda fila.

Serie Clebsch-Gordan de los cuadros

La serie de Clebsch-Gordan es la expansión del producto tensorial de dos representaciones irreducibles en una suma directa de representaciones irreducibles. . Esto se puede descubrir fácilmente en los cuadros de Young. ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})\otimes D(p_{2},q_{2})=\sum _{P,Q}\oplus D(P,Q)}$

Ejemplo de serie de Clebsch-Gordan para SU(3)

El producto tensorial de un triplete con un octeto que se reduce a un deciquintillizo ( 15 ), un antisexteto y un triplete.

${\displaystyle D(1,0)\otimes D(1,1)=D(2,1)\oplus D(0,2)\oplus D(1,0)}$

aparece esquemáticamente como ^[19] -

un total de 24 estados. Utilizando el mismo procedimiento, cualquier representación directa del producto se reduce fácilmente.

Ver también

• Matriz D Wigner
• Operador tensorial
• Teorema de Wigner-Eckart
• Teoría de la representación
• Racah coeficiente W
• Fórmula de masa Gell-Mann-Okubo

Referencias

1. P. Carruthers (1966) Introducción a la simetría unitaria , Interscience. en línea.
2. Introducción a las partículas elementales - David J. Griffiths , ISBN  978-3527406012 , Capítulo 1, Página 33-38
3. Salón 2015 Sección 6.2
4. Bargmann, V.; Moshinsky, M. (1961). "Teoría de grupos de osciladores armónicos (II). Las integrales de movimiento para la interacción cuadrupolo-cuadrupolo". Física nuclear . 23 : 177-199. Código bibliográfico : 1961NucPh..23..177B. doi :10.1016/0029-5582(61)90253-X.
5. Ver ecuación. 3,65 en País, A. (1966). "Simetría dinámica en física de partículas". Reseñas de Física Moderna . 38 (2): 215–255. Código bibliográfico : 1966RvMP...38..215P. doi :10.1103/RevModPhys.38.215.
6. País, ibídem. (3.66)
7. Salón 2015 Capítulo 6
8. Propuesta 13.11 del Salón 2015
9. Teorema 5.6 de Hall 2015
10. Salón 2015 Sección 3.6
11. Consulte la prueba de la Proposición 6.17 en el pabellón 2015.
12. Teorema 6.27 de Hall 2015 y ejemplo 10.23
13. Greiner y Müller 2012, cap. 10.15 Nota: Hay un error tipográfico en la cita final del resultado; en la Ecuación 10.121, el primero debería ser un . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$
14. Senner y Schulten
15. De Swart, JJ (1963). "El modelo del octeto y sus coeficientes de Clebsch-Gordan" (PDF) . Reseñas de Física Moderna . 35 (4): 916–939. Código bibliográfico : 1963RvMP...35..916D. doi :10.1103/RevModPhys.35.916. (Errata: [ De Swart, JJ (1965). Reseñas de física moderna . 37 (2): 326. Bibcode : 1965RvMP...37..326D. doi : 10.1103/RevModPhys.37.326 .{{cite journal}}: CS1 maint: untitled periodical (link)])
16. Fradkin, DM (1965). "Oscilador armónico isotrópico tridimensional y SU3". Revista Estadounidense de Física . 33 (3): 207–211. Código bibliográfico : 1965AmJPh..33..207F. doi :10.1119/1.1971373.
17. Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005). "4. Teoría de grupos". Métodos matemáticos para físicos Edición para estudiantes internacionales (6ª ed.). Elsevier. págs. 241–320. ISBN 978-0-08-047069-6.
18. http://hepwww.rl.ac.uk/Haywood/Group_Theory_Lectures/Lecture_4.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
19. "Algunas notas sobre Young Tableaux útiles para irreps para su (n)" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 7 de noviembre de 2014 . Consultado el 7 de noviembre de 2014 .

• Lichtenberg, DB (2012). Simetría unitaria y partículas elementales (2ª ed.). Prensa académica. ISBN 978-0123941992.
• Greiner, W .; Müller, B. (2012). Mecánica cuántica: simetrías (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3540580805.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• McNamee, P.; j., S.; Chilton, F. (1964). "Tablas de coeficientes de Clebsch-Gordan de SU3". Reseñas de Física Moderna . 36 (4): 1005. Código bibliográfico : 1964RvMP...36.1005M. doi :10.1103/RevModPhys.36.1005.
• Mandel'tsveig, VB (1965). "Representaciones irreductibles del grupo SU3". Sov PhysJETP . 20 (5): 1237-1243.en línea
• Coleman, Sidney (1965). "Diversión con SU (3)". INSPIREAyuda . OIEA.
• Pluhar, Z.; Smirnov, Yu F.; Tolstoi, VN (1986). "Coeficientes de Clebsch-Gordan de SU (3) con propiedades de simetría simples". Revista de Física A: Matemática y General . 19 (1): 21–28. Código Bib : 1986JPhA...19...21P. doi :10.1088/0305-4470/19/1/007.