Racah coeficiente W

Los coeficientes W de Racah fueron introducidos por Giulio Racah en 1942. ^[1] Estos coeficientes tienen una definición puramente matemática. En física se utilizan en cálculos que implican la descripción mecánica cuántica del momento angular , por ejemplo en la teoría atómica .

Los coeficientes aparecen cuando hay tres fuentes de momento angular en el problema. Por ejemplo, considere un átomo con un electrón en un orbital s y un electrón en un orbital p . Cada electrón tiene un momento angular de espín y, además, el orbital p tiene un momento angular orbital (un orbital s tiene un momento angular orbital cero). El átomo puede describirse mediante acoplamiento LS o mediante acoplamiento jj como se explica en el artículo sobre acoplamiento de momento angular . La transformación entre las funciones de onda que corresponden a estos dos acoplamientos implica un coeficiente W de Racah.

Aparte de un factor de fase, los coeficientes W de Racah son iguales a los símbolos 6-j de Wigner , por lo que cualquier ecuación que involucre los coeficientes W de Racah puede reescribirse usando símbolos 6- j . Esto suele ser ventajoso porque las propiedades de simetría de los símbolos 6- j son más fáciles de recordar.

Momentos angulares en los coeficientes de Racah W. La parte superior es una proyección plana en 2D como un cuadrilátero, la parte inferior es una disposición tetraédrica en 3D.

Los coeficientes de Racah están relacionados con los coeficientes de reacoplamiento por

${\displaystyle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})\equiv {\frac {\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12},j_{3})J\rangle }{\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}}.}$

Los coeficientes de reacoplamiento son elementos de una transformación unitaria y su definición se da en la siguiente sección. Los coeficientes de Racah tienen propiedades de simetría más convenientes que los coeficientes de reacoplamiento (pero menos convenientes que los símbolos 6- j ). ^[2]

Coeficientes de reacoplamiento

El acoplamiento de dos momentos angulares y es la construcción de funciones propias simultáneas de y , donde , como se explica en el artículo sobre coeficientes de Clebsch-Gordan . El resultado es ${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}}$

${\displaystyle |(j_{1}j_{2})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle ,}$

dónde y . ${\displaystyle J=|j_{1}-j_{2}|,\ldots ,j_{1}+j_{2}}$ ${\displaystyle M=-J,\ldots ,J}$

El acoplamiento de tres momentos angulares , y , se puede realizar mediante el primer acoplamiento y el siguiente acoplamiento y el momento angular total : ${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{12}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{12}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{M_{12}=-J_{12}}^{J_{12}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|(j_{1}j_{2})J_{12}M_{12}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle \langle J_{12}M_{12}j_{3}m_{3}|JM\rangle }$

Alternativamente, se puede acoplar primero and to y luego acoplar and to : ${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{23}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{23}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle |(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{M_{23}=-J_{23}}^{J_{23}}|j_{1}m_{1}\rangle |(j_{2}j_{3})J_{23}M_{23}\rangle \langle j_{1}m_{1}J_{23}M_{23}|JM\rangle }$

Ambos esquemas de acoplamiento dan como resultado bases ortonormales completas para el espacio dimensional abarcado por ${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}$

${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle ,\;\;m_{1}=-j_{1},\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{3}=-j_{3},\ldots ,j_{3}.}$

Por tanto, las dos bases del momento angular total están relacionadas mediante una transformación unitaria. Los elementos de la matriz de esta transformación unitaria están dados por un producto escalar y se conocen como coeficientes de reacoplamiento. Los coeficientes son independientes de y por lo tanto tenemos ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle \langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})J\rangle .}$

La independencia de se deduce fácilmente escribiendo esta ecuación y aplicando el operador descendente a ambos lados de la ecuación. La definición de los coeficientes W de Racah nos permite escribir esta expresión final como ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=J}$ ${\displaystyle J_{-}}$

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23}){\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}.}$

Álgebra

Dejar

${\displaystyle \Delta (a,b,c)=[(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!/(a+b+c+1)!]^{1/2}}$

sea ​​el factor triangular habitual, entonces el coeficiente de Racah es un producto de cuatro de estos por una suma de factoriales,

${\displaystyle W(abcd;ef)=\Delta (a,b,e)\Delta (c,d,e)\Delta (a,c,f)\Delta (b,d,f)w(abcd;ef)}$

dónde

${\displaystyle w(abcd;ef)\equiv \sum _{z}{\frac {(-1)^{z+\beta _{1}}(z+1)!}{(z-\alpha _{1})!(z-\alpha _{2})!(z-\alpha _{3})!(z-\alpha _{4})!(\beta _{1}-z)!(\beta _{2}-z)!(\beta _{3}-z)!}}}$

y

${\displaystyle \alpha _{1}=a+b+e;\quad \beta _{1}=a+b+c+d;}$

${\displaystyle \alpha _{2}=c+d+e;\quad \beta _{2}=a+d+e+f;}$

${\displaystyle \alpha _{3}=a+c+f;\quad \beta _{3}=b+c+e+f;}$

${\displaystyle \alpha _{4}=b+d+f.}$

La suma es finita en el rango ^[3] ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \max(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})\leq z\leq \min(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}).}$

Relación con el símbolo 6-j de Wigner

Los coeficientes W de Racah están relacionados con los símbolos 6-j de Wigner , que tienen propiedades de simetría aún más convenientes.

${\displaystyle W(abcd;ef)(-1)^{a+b+c+d}={\begin{Bmatrix}a&b&e\\d&c&f\end{Bmatrix}}.}$

Cf. ^[4] o

${\displaystyle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}+J}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&J_{12}\\j_{3}&J&J_{23}\end{Bmatrix}}.}$

Ver también

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• símbolo 3-j
• símbolo 6-j
• Teorema de Pandya

Notas

1. Racah, G. (1942). "Teoría de los espectros complejos II". Revisión física . 62 (9–10): 438–462. Código bibliográfico : 1942PhRv...62..438R. doi : 10.1103/PhysRev.62.438.
2. Rose, YO (1957). Teoría elemental del momento angular (Dover).
3. Cowan, RD (1981). La teoría de la estructura atómica y los espectros (Univ of California Press), pág. 148.
4. Brink, DM y Satchler, GR (1968). Angular Momentum (Oxford University Press) 3 ed., p. 142. en línea ${\displaystyle ^{rd}}$

Otras lecturas

• Edmonds, AR (1957). Momento angular en mecánica cuántica . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-07912-9.
• Condón, Edward U.; Shortley, GH (1970). "Capítulo 3". La teoría de los espectros atómicos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-09209-4.
• Mesías, Albert (1981). Mecánica cuántica (Volumen II) (12ª ed.). Nueva York: North Holland Publishing . ISBN 0-7204-0045-7.
• Sato, Masachiyo (1955). "Fórmula general del coeficiente de Racah". Progresos de la Física Teórica . 13 (4): 405–414. Código bibliográfico : 1955PThPh..13..405S. doi : 10.1143/PTP.13.405 .
• borde, DM; Satchler, GR (1993). "Capitulo 2" . Momento angular (3ª ed.). Oxford: Prensa de Clarendon . ISBN 0-19-851759-9.
• Zare, Richard N. (1988). "Capitulo 2". Momento angular . Nueva York: John Wiley . ISBN 0-471-85892-7.
• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Momento angular en física cuántica . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley . ISBN 0-201-13507-8.

enlaces externos

• "Coeficientes de Racah-Wigner", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]