Problema de Riemann-Hilbert

En matemáticas , los problemas de Riemann-Hilbert , llamados así en honor a Bernhard Riemann y David Hilbert , son una clase de problemas que surgen en el estudio de ecuaciones diferenciales en el plano complejo . Mark Kerin , Israel Gohberg y otros han elaborado varios teoremas de existencia para problemas de Riemann-Hilbert. ^[1]

El problema de Riemann

Supongamos que es un contorno suave , simple y cerrado en el plano complejo . ^[2] Dividir el plano en dos partes denotadas por (el interior) y (el exterior), determinadas por el índice del contorno respecto de un punto. El problema clásico, considerado en la tesis doctoral de Riemann, era el de encontrar una función ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Sigma _{+}}$ ${\displaystyle \Sigma _{-}}$

${\displaystyle M_{+}(t)=u(t)+iv(t),}$

interior analítico , tal que los valores límite de a lo largo satisfacen la ecuación ${\displaystyle \Sigma _{+}}$ ${\displaystyle M_{+}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle a(t)u(t)-b(t)v(t)=c(t),}$

for , donde , y reciben funciones de valor real. ^{[3] [4]} Por ejemplo, en el caso especial donde y es un círculo, el problema se reduce a derivar la fórmula de Poisson . ^[5] ${\displaystyle t\in \Sigma }$ ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle b(t)}$ ${\displaystyle c(t)}$ ${\displaystyle a=1,b=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Según el teorema de mapeo de Riemann , basta considerar el caso en el que es el grupo circular . ^[6] En este caso, se puede buscar junto con su reflejo de Schwarz ${\displaystyle \Sigma }$ ${\textstyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$ ${\displaystyle M_{+}(z)}$

${\displaystyle M_{-}(z)={\overline {M_{+}\left({\bar {z}}^{-1}\right)}}.}$

Porque uno tiene y entonces ${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle z=1/{\bar {z}}}$

${\displaystyle M_{-}(z)={\overline {M_{+}(z)}}.}$

Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar un par de funciones analíticas y en el interior y exterior, respectivamente, del disco unitario , de modo que en el círculo unitario ${\displaystyle M_{+}(z)}$ ${\displaystyle M_{-}(z)}$

${\displaystyle {\frac {a(z)+ib(z)}{2}}M_{+}(z)+{\frac {a(z)-ib(z)}{2}}M_{-}(z)=c(z),}$

y, además, para que se cumpla la condición en el infinito:

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }M_{-}(z)={\overline {{M}_{+}(0)}}.}$

El problema de Hilbert

La generalización del problema de Hilbert intentó encontrar un par de funciones analíticas y en el interior y exterior, respectivamente, de la curva , tales que para uno tiene ${\displaystyle M_{+}(t)}$ ${\displaystyle M_{-}(t)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle t\in \Sigma }$

${\displaystyle \alpha (t)M_{+}(t)+\beta (t)M_{-}(t)=\gamma (t)}$

donde , y reciben funciones de valores complejos (ya no solo conjugados complejos). ^[7] ${\displaystyle \alpha (t)}$ ${\displaystyle \beta (t)}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

Problemas de Riemann-Hilbert

Tanto en el problema de Riemann como en la generalización de Hilbert, el contorno era simple. Un problema completo de Riemann-Hilbert permite que el contorno pueda estar compuesto por una unión de varias curvas suaves orientadas, sin intersecciones. Los lados "+" y "-" del "contorno" pueden entonces determinarse según el índice de un punto con respecto a . El problema de Riemann-Hilbert consiste en encontrar un par de funciones analíticas y en el lado "+" y "-" de , respectivamente, tales que para uno tenga ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M_{+}(t)}$ ${\displaystyle M_{-}(t)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle t\in \Sigma }$

${\displaystyle \alpha (t)M_{+}(t)+\beta (z)M_{-}(t)=\gamma (t).}$

donde , y reciben funciones de valores complejos. ${\displaystyle \alpha (t)}$ ${\displaystyle \beta (t)}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

Problemas de la matriz Riemann-Hilbert

Dado un contorno orientado (técnicamente: una unión orientada de curvas suaves sin puntos de autointersección infinita en el plano complejo), un problema de factorización de Riemann-Hilbert es el siguiente. ${\displaystyle \Sigma }$

Dada una función matricial definida en el contorno , encuentre una función matricial holomorfa definida en el complemento de , tal que se cumplan las dos condiciones siguientes ^[8] ${\displaystyle G(t)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M(z)}$ ${\displaystyle \Sigma }$

1. Si y denotan los límites no tangenciales de cuando nos acercamos a , entonces , en todos los puntos de no intersección en . ${\displaystyle M_{+}}$ ${\displaystyle M_{-}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M_{+}(t)=G(t)M_{-}(t)}$ ${\displaystyle \Sigma }$
2. ${\displaystyle M(z)}$tiende a la matriz identidad en cualquier dirección exterior . ${\displaystyle I_{N}}$ ${\displaystyle z\to \infty }$ ${\displaystyle \Sigma }$

En el caso más sencillo es liso e integrable. En casos más complicados podría tener singularidades. Los límites y podrían ser clásicos y continuos o podrían tomarse en el sentido - . En los puntos finales o de intersección del contorno , la condición de salto no está definida; Se deben plantear restricciones al crecimiento de cerca de esos puntos para garantizar la unicidad (consulte el problema escalar a continuación). ${\displaystyle G(t)}$ ${\displaystyle M_{+}}$ ${\displaystyle M_{-}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M}$

Ejemplo: problema de factorización escalar de Riemann-Hilbert

Supongamos y . Suponiendo que sea acotado, ¿cuál es la solución ? ${\displaystyle G=2}$ ${\displaystyle \Sigma =[-1,1]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Para resolver esto, tomemos el logaritmo de la ecuación . ${\displaystyle M_{+}=GM_{-}}$

${\displaystyle \log M_{+}(z)=\log M_{-}(z)+\log 2.}$

Dado que tiende a , como . ${\displaystyle M(z)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \log M\to 0}$ ${\displaystyle z\to \infty }$

Un hecho estándar sobre la transformada de Cauchy es que dónde y están los límites de la transformada de Cauchy desde arriba y desde abajo ; por lo tanto, obtenemos ${\displaystyle C_{+}-C_{-}=I}$ ${\displaystyle C_{+}}$ ${\displaystyle C_{-}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma _{+}}{\frac {\log 2}{\zeta -z}}\,d\zeta -{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma _{-}}{\frac {\log {2}}{\zeta -z}}\,d\zeta =\log 2}$

cuando . Debido a que la solución de un problema de factorización de Riemann-Hilbert es única (una fácil aplicación del teorema de Liouville (análisis complejo) ), el teorema de Sokhotski-Plemelj da la solución. Obtenemos ${\displaystyle z\in \Sigma }$

${\displaystyle \log M={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma }{\frac {\log {2}}{\zeta -z}}d\zeta ={\frac {\log 2}{2\pi i}}\int _{-1-z}^{1-z}{\frac {1}{\zeta }}d\zeta ={\frac {\log 2}{2\pi i}}\log {\frac {z-1}{z+1}},}$

y por lo tanto

${\displaystyle M(z)=\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\frac {\log {2}}{2\pi i}},}$

que tiene una rama cortada al contorno . ${\displaystyle \Sigma }$

Controlar:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{+}(0)&=(e^{i\pi })^{\frac {\log 2}{2\pi i}}=e^{\frac {\log 2}{2}}\\M_{-}(0)&=(e^{-i\pi })^{\frac {\log 2}{2\pi i}}=e^{-{\frac {\log 2}{2}}}\end{aligned}}}$

por lo tanto,

${\displaystyle M_{+}(0)=M_{-}(0)e^{\log {2}}=M_{-}(0)2.}$

ADVERTENCIA 1: Si el problema no es escalar, no es fácil tomar logaritmos. En general, las soluciones explícitas son muy raras.

ADVERTENCIA 2: La limitación (o al menos una limitación en la explosión) de cerca de los puntos especiales es crucial. De lo contrario, cualquier función de la forma ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle M(z)=\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\frac {\log {2}}{2\pi i}}+{\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{z+1}}}$

También es una solución. En general, las condiciones de crecimiento son necesarias en puntos especiales (los puntos finales del contorno de salto o el punto de intersección) para garantizar que el problema esté bien planteado.

Generalizaciones

problema DBAR

Supongamos que hay algún dominio simplemente conexo del plano complejo . Entonces la ecuación escalar ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\partial M(z,{\bar {z}})}{\partial {\bar {z}}}}=f(z,{\bar {z}}),\quad z\in D,}$

Es una generalización de un problema de Riemann-Hilbert, llamado problema DBAR (o problema ). Es la forma compleja de las ecuaciones no homogéneas de Cauchy-Riemann . Para mostrar esto, dejemos ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

${\displaystyle M=u+iv,\quad f={\frac {g+ih}{2}},\quad z=x+iy,}$

con , y todas las funciones con valores reales de variables reales y . Luego, usando ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle g(x,y)}$ ${\displaystyle h(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$

el problema DBAR produce

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}=g(x,y),\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=h(x,y).}$

Como tal, si es holomórfico para , entonces deben satisfacerse las ecuaciones de Cauchy-Riemann. ^[9] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle z\in D}$

En el caso de as y , la solución del problema DBAR es ^[10] ${\displaystyle M\to 1}$ ${\displaystyle z\to \infty }$ ${\displaystyle D:=\mathbb {C} }$

${\displaystyle M(z,{\bar {z}})=1+{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {f(\zeta ,{\bar {\zeta }})}{\zeta -z}}\,d\zeta \wedge d{\bar {\zeta }},}$

integrado en todo el plano complejo; denotado por , y donde el producto de cuña se define como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle d\zeta \wedge d{\bar {\zeta }}=(d\xi +id\eta )\wedge (d\xi -id\eta )=-2id\xi d\eta .}$

Funciones analíticas generalizadas

Si una función es holomorfa en alguna región compleja , entonces ${\displaystyle M(z)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

en . Para funciones analíticas generalizadas, esta ecuación se reemplaza por ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial {\bar {z}}}}=A(z,{\bar {z}})M+B(z,{\bar {z}}){\overline {M}},}$

en una región , donde es el complejo conjugado de y y son funciones de y . ^[11] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A(z,{\bar {z}})}$ ${\displaystyle B(z,{\bar {z}})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

Las funciones analíticas generalizadas tienen aplicaciones en geometría diferencial , en la resolución de cierto tipo de ecuaciones diferenciales parciales no lineales multidimensionales y dispersión inversa multidimensional . ^[12]

Aplicaciones a la teoría de la integrabilidad

Los problemas de Riemann-Hilbert tienen aplicaciones a varias clases de problemas relacionados.

A. Modelos integrables

El problema de dispersión inversa o espectral inverso asociado a los problemas de Cauchy para ecuaciones diferenciales parciales de 1+1 dimensiones sobre la recta, o a problemas periódicos, o incluso a problemas de valores en la frontera inicial (Fokas (2002)), se puede plantear como un problema de Riemann. –El problema de Hilbert. Asimismo, el problema de monodromía inversa para las ecuaciones de Painlevé puede plantearse como un problema de Riemann-Hilbert.

B. Polinomios ortogonales , matrices aleatorias

Dado un peso en un contorno, los polinomios ortogonales correspondientes se pueden calcular mediante la solución de un problema de factorización de Riemann-Hilbert (Fokas, Its y Kitaev (1992)). Además, la distribución de valores propios de matrices aleatorias en varios conjuntos clásicos se reduce a cálculos que involucran polinomios ortogonales (ver, por ejemplo, Deift (2000)).

C. Probabilidad combinatoria

El ejemplo más famoso es el teorema de Baik, Deift y Johansson (1999) sobre la distribución de la longitud de la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria. Junto con el estudio de B anterior, es una de las investigaciones rigurosas originales de la llamada "probabilidad integrable". Pero la conexión entre la teoría de la integrabilidad y varios conjuntos clásicos de matrices aleatorias se remonta al trabajo de Dyson (ver, por ejemplo, Dyson (1976)).

D. Conexión con la teoría de Donaldson-Thomas

El trabajo de Bridgeland Bridgeland (2019) estudia una clase de problemas de Riemann-Hilbert provenientes de la teoría de Donaldson-Thomas y establece conexiones con la teoría de Gromov-Witten y la WKB exacta .

El análisis numérico de los problemas de Riemann-Hilbert puede proporcionar una forma efectiva de resolver numéricamente PDE integrables (ver, por ejemplo, Trogdon & Olver (2016)).

Uso para asintóticos

En particular, los problemas de factorización de Riemann-Hilbert se utilizan para extraer valores asintóticos para los tres problemas anteriores (digamos, cuando el tiempo llega al infinito, o cuando el coeficiente de dispersión llega a cero, o cuando el grado del polinomio llega al infinito, o cuando el tamaño de la permutación va al infinito). Existe un método para extraer el comportamiento asintótico de soluciones de problemas de Riemann-Hilbert, análogo al método de fase estacionaria y al método de descenso más pronunciado aplicable a integrales exponenciales.

Por analogía con los métodos asintóticos clásicos, se "deforman" los problemas de Riemann-Hilbert que no se pueden resolver explícitamente en problemas que sí lo son. El llamado método "no lineal" de fase estacionaria se debe a Deift y Zhou (1993), ampliando una idea previa de Its (1982) y Manakov (1974) y utilizando resultados técnicos de fondo de Beals y Coifman (1984) y Zhou. (1989). Un ingrediente crucial del análisis de Deift-Zhou es el análisis asintótico de integrales singulares en contornos. El núcleo relevante es el núcleo estándar de Cauchy (ver Gakhov (2001); cf. también el ejemplo escalar a continuación).

Una extensión esencial del método no lineal de fase estacionaria ha sido la introducción de la llamada transformación de función g de espacio finito por Deift, Venakides y Zhou (1997), que ha sido crucial en la mayoría de las aplicaciones. Esto se inspiró en el trabajo de Lax, Levermore y Venakides, quienes redujeron el análisis del pequeño límite de dispersión de la ecuación KdV al análisis de un problema de maximización para un potencial logarítmico bajo algún campo externo: un problema variacional de tipo "electrostático" ( ver Lax y Levermore (1983)). La función g es la transformada logarítmica de la medida maximizadora del "equilibrio". De hecho , el análisis del pequeño límite de dispersión de la ecuación KdV ha proporcionado la base para el análisis de la mayor parte del trabajo sobre polinomios ortogonales "reales" (es decir, con la condición de ortogonalidad definida en la recta real) y matrices aleatorias hermitianas.

Quizás la extensión más sofisticada de la teoría hasta ahora es la aplicada al caso "no autoadjunto", es decir, cuando el operador Lax subyacente (el primer componente del par Lax ) no es autoadjunto , por Kamvissis, McLaughlin & Molinero (2003). En ese caso, se definen y calculan los "curvas de nivel de descenso más pronunciados" reales. El problema variacional correspondiente es un problema de máximo-mínimo: se busca un contorno que minimice la medida de "equilibrio". El estudio del problema variacional y la prueba de la existencia de una solución regular, bajo algunas condiciones en el campo externo, fue realizado en Kamvissis & Rakhmanov (2005); el contorno que surge es una "curva en S", tal como la definieron y estudiaron en la década de 1980 Herbert R. Stahl, Andrei A. Gonchar y Evguenii A Rakhmanov.

McLaughlin y Miller (2006) proporcionan un análisis asintótico alternativo de los problemas de factorización de Riemann-Hilbert, especialmente conveniente cuando las matrices de salto no tienen extensiones analíticas. Su método se basa en el análisis de problemas de barras d, en lugar del análisis asintótico de integrales singulares en contornos. Varzugin (1996) introdujo una forma alternativa de tratar con matrices de salto sin extensiones analíticas.

Otra extensión de la teoría aparece en Kamvissis y Teschl (2012), donde el espacio subyacente del problema de Riemann-Hilbert es una superficie de Riemann hiperelíptica compacta . El problema de factorización correcta ya no es holomórfico, sino más bien meromórfico , debido al teorema de Riemann-Roch . El núcleo singular relacionado no es el núcleo de Cauchy habitual, sino más bien un núcleo más general que involucra diferenciales meromórficos definidos naturalmente en la superficie (ver, por ejemplo, el apéndice en Kamvissis & Teschl (2012)). La teoría de la deformación del problema de Riemann-Hilbert se aplica al problema de estabilidad de la red de Toda periódica infinita bajo una perturbación de "corto alcance" (por ejemplo, una perturbación de un número finito de partículas).

La mayoría de los problemas de factorización de Riemann-Hilbert estudiados en la literatura son bidimensionales, es decir, las matrices desconocidas son de dimensión 2. Arno Kuijlaars y sus colaboradores han estudiado problemas de dimensiones superiores; véase, por ejemplo, Kuijlaars & López (2015).

Ver también

• Correspondencia Riemann-Hilbert
• Método Wiener-Hopf

Notas

1. Clancey y Gohberg 1981.
2. Ablowitz y Fokas 2003, págs. 71–72.
3. Bitsadze 2001.
4. Pandey 1996.
5. Ablowitz y Fokas 2003, págs.514.
6. Pandey 1996, §2.2.
7. Noble 1958, §4.2.
8. Ablowitz y Fokas 2003, §7.5.
9. Ablowitz y Fokas 2003, pág. 598.
10. Ablowitz y Fokas 2003, pág. 600.
11. Vekua 2014.
12. Ablowitz y Fokas 2003, pág. 601.

Referencias

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