En matemáticas , un grupo de bucles (que no debe confundirse con un bucle ) es un grupo de bucles en un grupo topológico G con multiplicación definida puntualmente .
En su forma más general, un grupo de bucles es un grupo de asignaciones continuas de una variedad M a un grupo topológico G.
Más específicamente, [1] sea M = S 1 , el círculo en el plano complejo , y sea LG el espacio de aplicaciones continuas S 1 → G , es decir
equipado con la topología compacta-abierta . Un elemento de LG se llama bucle en G. La multiplicación puntual de dichos bucles le da a LG la estructura de un grupo topológico. Parametrizar S 1 con θ ,
y definir la multiplicación en LG por
La asociatividad se deriva de la asociatividad en G . La inversa está dada por
y la identidad por
El espacio LG se llama grupo de bucle libre en G. Un grupo de bucles es cualquier subgrupo del grupo de bucles libres LG .
Un ejemplo importante de un grupo de bucle es el grupo
de bucles basados en G . Se define como el núcleo del mapa de evaluación.
y por tanto es un subgrupo normal cerrado de LG . (Aquí, e 1 es el mapa que envía un bucle a su valor en .) Tenga en cuenta que podemos incluir G en LG como el subgrupo de bucles constantes. En consecuencia, llegamos a una secuencia exacta dividida
El espacio que LG divide como producto semidirecto ,
También podemos pensar en Ω G como el espacio del bucle en G. Desde este punto de vista, Ω G es un espacio H con respecto a la concatenación de bucles. A primera vista, esto parece proporcionar a Ω G dos mapas de productos muy diferentes. Sin embargo, se puede demostrar que la concatenación y la multiplicación puntual son homotópicas . Por tanto, en términos de la teoría de la homotopía de Ω G , estos mapas son intercambiables.
Chuu-Lian Terng y Karen Uhlenbeck utilizaron grupos de bucles para explicar el fenómeno de las transformadas de Bäcklund en ecuaciones de solitones . [2]
