Teorema de Birkhoff-Grothendieck

Clasifica los fibrados vectoriales holomórficos sobre la línea proyectiva compleja

En matemáticas , el teorema de Birkhoff-Grothendieck clasifica los fibrados vectoriales holomorfos sobre la línea proyectiva compleja . En particular, cada fibrado vectorial holomorfo sobre es una suma directa de fibrados lineales holomorfos . El teorema fue demostrado por Alexander Grothendieck  (1957, Teorema 2.1), ^[1] y es más o menos equivalente a la factorización de Birkhoff introducida por George David Birkhoff  (1909). ^[2] ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

Declaración

Más precisamente, el enunciado del teorema es el siguiente:

Todo fibrado vectorial holomórfico en es holomórficamente isomorfo a una suma directa de fibrados lineales: ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}).}$

La notación implica que cada sumando es un giro de Serre determinado número de veces del fibrado trivial . La representación es única hasta que se permuten los factores.

Generalización

El mismo resultado se cumple en geometría algebraica para fibrado vectorial algebraico sobre para cualquier cuerpo . ^[3] También se cumple para con uno o dos puntos orbifold, y para cadenas de líneas proyectivas que se encuentran a lo largo de nodos. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Aplicaciones

Una aplicación de este teorema es que proporciona una clasificación de todos los haces coherentes en . Tenemos dos casos, haces vectoriales y haces coherentes soportados a lo largo de una subvariedad, por lo que donde n es el grado del punto gordo en . Dado que las únicas subvariedades son puntos, tenemos una clasificación completa de haces coherentes. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k),{\mathcal {O}}_{nx}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {CP} ^{1}}$

Véase también

• Geometría algebraica de espacios proyectivos
• secuencia de Euler
• Principio de división
• Teoría K
• Línea de salto

Referencias

1. Grothendieck, Alejandro (1957). "Sobre la clasificación de fibras holomorfas sobre la esfera de Riemann". Revista Estadounidense de Matemáticas . 79 (1): 121-138. doi :10.2307/2372388. JSTOR  2372388. S2CID  120532002.
2. Birkhoff, George David (1909). "Puntos singulares de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias". Transactions of the American Mathematical Society . 10 (4): 436–470. doi : 10.2307/1988594 . ISSN  0002-9947. JFM  40.0352.02. JSTOR  1988594.
3. Hazewinkel, Michiel ; Martin, Clyde F. (1982). "Una breve demostración elemental del teorema de Grothendieck sobre fibrados vectoriales algebraicos sobre la línea proyectiva". Journal of Pure and Applied Algebra . 25 (2): 207–211. doi : 10.1016/0022-4049(82)90037-8 .
4. Martens, Johan; Thaddeus, Michael (2016). "Variaciones sobre un tema de Grothendieck". Compositio Mathematica . 152 : 62–98. arXiv : 1210.8161 . Código Bibliográfico :2012arXiv1210.8161M. doi :10.1112/S0010437X15007484. S2CID  119716554.

Lectura adicional

• Okonek, Christian; Schneider, Michael; Spindler, Heinz (1980). Fibrados vectoriales en espacios proyectivos complejos . Clásicos modernos de Birkhäuser. Birkhäuser Basel. doi :10.1007/978-3-0348-0151-5. ISBN . 978-3-0348-0150-8.
• Salamón, SM; Burstall, FE (1987). "Torneos, Banderas y Mapas Armónicos". Annalen Matemáticas . 277 (2): 249–266. doi :10.1007/BF01457363. S2CID  120270501.

Enlaces externos

• Roman Bezrukavnikov. 18.725 Geometría algebraica (LEC # 24 Birkhoff–Grothendieck, Riemann-Roch, Dualidad de Serre) Otoño de 2015. Instituto Tecnológico de Massachusetts: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .