Subgrupo Borel

En la teoría de grupos algebraicos , un subgrupo de Borel de un grupo algebraico G es un subgrupo algebraico soluble máximo cerrado y conectado de Zariski . Por ejemplo, en el grupo lineal general GL _n ( matrices invertibles nxn ), el subgrupo de matrices triangulares superiores invertibles es un subgrupo de Borel.

Para grupos realizados sobre campos algebraicamente cerrados , existe una única clase de conjugación de subgrupos de Borel.

Los subgrupos de Borel son uno de los dos ingredientes clave para comprender la estructura de grupos algebraicos simples (más generalmente, reductivos ), en la teoría de grupos con un par ( B , N ) de Jacques Tags . Aquí el grupo B es un subgrupo de Borel y N es el normalizador de un toro máximo contenido en B.

La noción fue introducida por Armand Borel , quien desempeñó un papel destacado en el desarrollo de la teoría de grupos algebraicos.

Subgrupos parabólicos

Los subgrupos entre un subgrupo B de Borel y el grupo ambiental G se denominan subgrupos parabólicos . Los subgrupos parabólicos P también se caracterizan, entre los subgrupos algebraicos, por la condición de que G / P sea una variedad completa . Trabajando sobre campos algebraicamente cerrados, los subgrupos de Borel resultan ser los subgrupos parabólicos mínimos en este sentido. Por tanto, B es un subgrupo de Borel cuando el espacio homogéneo G/B es una variedad completa que es "lo más grande posible".

Para un grupo algebraico simple G , el conjunto de clases de conjugación de subgrupos parabólicos está en biyección con el conjunto de todos los subconjuntos de nodos del diagrama de Dynkin correspondiente ; el subgrupo Borel corresponde al conjunto vacío y el propio G corresponde al conjunto de todos los nodos. (En general, cada nodo del diagrama de Dynkin determina una raíz negativa simple y, por lo tanto, un 'grupo de raíces' unidimensional de G. Un subconjunto de los nodos produce así un subgrupo parabólico, generado por B y los correspondientes grupos de raíces negativas. Además , cualquier subgrupo parabólico está conjugado con dicho subgrupo parabólico). Los subgrupos correspondientes del grupo Weyl de G también se denominan subgrupos parabólicos, consulte Subgrupo parabólico de un grupo de reflexión .

Ejemplo

Dejar . Un subgrupo de Borel es el conjunto de matrices triangulares superiores. ${\displaystyle G=GL_{4}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \left\{A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:\det(A)\neq 0\right\}}$

y los subgrupos parabólicos propios máximos de contención son ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}}$

Además, un toro máximo en es ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}}$

Esto es isomorfo al toro algebraico . ^[1] ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])}$

álgebra de mentiras

Para el caso especial de un álgebra de Lie con una subálgebra de Cartan , dado un orden de , la subálgebra de Borel es la suma directa de y los espacios de peso de con peso positivo. Una subálgebra de Lie que contiene una subálgebra de Borel se llama álgebra de Lie parabólica . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ver también

• grupo hiperbólico
• Subgrupo Cartan
• Subgrupo mirabólico

Referencias

• A. Borel (2001). Ensayos sobre la historia de los grupos de mentiras y los grupos algebraicos . Providencia RI: AMS. ISBN 0-8218-0288-7.
• J. Humphreys (1972). Grupos Algebraicos Lineales . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90108-6.
• Milne, JS (2017), Grupos algebraicos: la teoría de los esquemas grupales de tipo finito sobre un campo , Cambridge University Press , doi :10.1017/9781316711736, ISBN 978-1107167483, señor  3729270
• Gary Seitz (1991). "Grupos algebraicos". En B. Hartley; et al. (eds.). Grupos finitos y localmente finitos . págs. 45–70.

Específico

1. Brión, Michel. «Conferencias sobre geometría de variedades de banderas» (PDF) .

enlaces externos

• Popov, VL (2001) [1994], "Subgrupo parabólico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Platonov, VP (2001) [1994], "Subgrupo Borel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press