toro máximo

Subgrupo de Lie Abeliano conectado compacto máximo.

En la teoría matemática de los grupos de Lie compactos , los subgrupos de toros, en particular los subgrupos de toros máximos , desempeñan un papel especial .

Un toro en un grupo de Lie compacto G es un subgrupo de Lie abeliano , compacto y conexo de G (y por lo tanto isomorfo a ^[1] el toro estándar T ⁿ ). Un toro máximo es aquel que es máximo entre tales subgrupos. Es decir, T es un toro máximo si para cualquier toro T ′ que contenga T tenemos T = T ′. Cada toro está contenido en un toro máximo simplemente por consideraciones dimensionales . Un grupo de Lie no compacto no necesita tener ningún tori no trivial (por ejemplo, R ⁿ ).

La dimensión de un toro máximo en G se llama rango de G. El rango está bien definido ya que todos los tori máximos resultan ser conjugados . Para grupos semisimples , el rango es igual al número de nodos en el diagrama de Dynkin asociado .

Ejemplos

El grupo unitario U( n ) tiene como toro máximo el subgrupo de todas las matrices diagonales . Eso es,

${\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right):\forall j,\theta _{j}\in \mathbb {R} \right\}.}$

T es claramente isomorfo al producto de n círculos, por lo que el grupo unitario U( n ) tiene rango n . Un toro máximo en el grupo unitario especial SU( n ) ⊂ U( n ) es justo la intersección de T y SU( n ), que es un toro de dimensión  n  − 1.

Un toro máximo en el grupo ortogonal especial SO(2 n ) viene dado por el conjunto de todas las rotaciones simultáneas en cualquier elección fija de n planos ortogonales por pares (es decir, espacios vectoriales bidimensionales). Concretamente, un toro máximo consta de todas las matrices diagonales de bloques con bloques diagonales, donde cada bloque diagonal es una matriz de rotación. Este es también un toro máximo en el grupo SO(2 n +1) donde la acción fija la dirección restante. Por tanto, tanto SO(2 n ) como SO(2 n +1) tienen rango n . Por ejemplo, en el grupo de rotación SO(3), los tori máximos vienen dados por rotaciones alrededor de un eje fijo. ${\displaystyle 2\times 2}$

El grupo simpléctico Sp( n ) tiene rango n . Un toro máximo está dado por el conjunto de todas las matrices diagonales cuyas entradas se encuentran en una subálgebra compleja fija de H.

Propiedades

Sea G un grupo de Lie compacto y conexo y sea el álgebra de Lie de G . El primer resultado principal es el teorema del toro, que puede formularse de la siguiente manera: ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Teorema del toro : si T es un toro máximo fijo en G , entonces cada elemento de G está conjugado con un elemento de T.

Este teorema tiene las siguientes consecuencias:

• Todos los toros máximos en G son conjugados. ^[3]
• Todos los tori máximos tienen la misma dimensión, conocida como rango de G.
• Un toro máximo en G es un subgrupo abeliano máximo, pero no es necesario que se cumpla lo contrario. ^[4]
• Los toros máximos en G son exactamente los subgrupos de Lie correspondientes a las subálgebras abelianas máximas de ^[5] (cf. subálgebra de Cartan ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Cada elemento de G se encuentra en algún toro máximo; por tanto, el mapa exponencial de G es sobreyectivo.
• Si G tiene dimensión n y rango r, entonces n − r es par.

Sistema raíz

Si T es un toro máximo en un grupo de Lie compacto G , se puede definir un sistema de raíces de la siguiente manera. Las raíces son los pesos de la acción adjunta de T sobre el álgebra de Lie complejada de G. Para ser más explícito, denotamos el álgebra de Lie de T , denotamos el álgebra de Lie de y denotamos la complejización de . Entonces decimos que un elemento es raíz de G relativa a T si y existe un valor distinto de cero tal que ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{e^{H}}(X)=e^{i\langle \alpha ,H\rangle }X}$

para todos . Aquí hay un producto interno fijo que es invariante bajo la acción adjunta de grupos de Lie compactos conectados. ${\displaystyle H\in {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El sistema de raíces, como subconjunto del álgebra de Lie de T , tiene todas las propiedades habituales de un sistema de raíces, excepto que las raíces no pueden abarcar . ^[6] El sistema de raíces es una herramienta clave para comprender la teoría de clasificación y representación de G. ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

grupo weyl

Dado un toro T (no necesariamente máximo), el grupo Weyl de G con respecto a T puede definirse como el normalizador de T módulo el centralizador de T. Eso es,

${\displaystyle W(T,G):=N_{G}(T)/C_{G}(T).}$

Fijar un toro máximo en G; entonces el grupo Weyl correspondiente se llama grupo Weyl de G (depende hasta el isomorfismo de la elección de T ). ${\displaystyle T=T_{0}}$

Los dos primeros resultados importantes sobre el grupo Weyl son los siguientes.

• El centralizador de T en G es igual a T , por lo que el grupo Weyl es igual a N ( T )/ T . ^[7]
• El grupo de Weyl se genera a partir de reflexiones sobre las raíces del álgebra de Lie asociada. ^[8] Por lo tanto, el grupo Weyl de T es isomorfo al grupo Weyl del sistema de raíces del álgebra de Lie de G.

A continuación enumeramos algunas consecuencias de estos resultados principales.

• Dos elementos en T son conjugados si y sólo si están conjugados por un elemento de W. Es decir, cada clase de conjugación de G intersecta a T en exactamente una órbita de Weyl . ^[9] De hecho, el espacio de clases de conjugación en G es homeomorfo al espacio de órbita T / W .
• El grupo Weyl actúa mediante automorfismos ( externos ) en T (y su álgebra de Lie).
• El componente identidad del normalizador de T también es igual a T. Por tanto, el grupo Weyl es igual al grupo componente de N ( T ).
• El grupo Weyl es finito.

La teoría de la representación de G está esencialmente determinada por T y W.

Como ejemplo, considere el caso de ser el subgrupo diagonal de . Entonces pertenece a si y solo si asigna cada elemento de base estándar a un múltiplo de algún otro elemento de base estándar , es decir, si y solo si permuta los elementos de base estándar, hasta la multiplicación por algunas constantes. El grupo Weyl en este caso es entonces el grupo de permutación de elementos. ${\displaystyle G=SU(n)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

Fórmula integral de Weyl

Supongamos que f es una función continua en G. Entonces, la integral sobre G de f con respecto a la medida de Haar normalizada dg se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}|\Delta (t)|^{2}\int _{G/T}f\left(yty^{-1}\right)\,d[y]\,dt,}}$

donde es la medida de volumen normalizada en el colector de cociente y es la medida de Haar normalizada en T. ^[10] Aquí Δ viene dado por la fórmula del denominador de Weyl y es el orden del grupo Weyl. Un caso especial importante de este resultado ocurre cuando f es una función de clase , es decir, una función invariante bajo conjugación. En ese caso, tenemos ${\displaystyle d[y]}$ ${\displaystyle G/T}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle |W|}$

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}f(t)|\Delta (t)|^{2}\,dt.}}$

Consideremos como ejemplo el caso , siendo el subgrupo diagonal. Entonces la fórmula integral de Weyl para funciones de clase toma la siguiente forma explícita: ^[11] ${\displaystyle G=SU(2)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \displaystyle {\int _{SU(2)}f(g)\,dg={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }f\left(\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)\right)\,4\,\mathrm {sin} ^{2}(\theta )\,{\frac {d\theta }{2\pi }}.}}$

Aquí , la medida de Haar normalizada es y denota la matriz diagonal con entradas diagonales y . ${\displaystyle |W|=2}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\frac {d\theta }{2\pi }}}$ ${\displaystyle \mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle e^{-i\theta }}$

Ver también

• Grupo compacto
• Subgrupo Cartan
• Subálgebra de Cartan
• Álgebra de mentira toral
• Descomposición de Bruhat
• Fórmula del carácter de Weyl
• Teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conectado

Referencias

1. Teorema 11.2 de Hall 2015
2. Salón 2015 Lema 11.12
3. Teorema 11.9 de Hall 2015
4. Teorema 11.36 de Hall 2015 y ejercicio 11.5
5. Propuesta 11.7 del Salón 2015
6. Salón 2015 Sección 11.7
7. Teorema 11.36 de Hall 2015
8. Teorema 11.36 de Hall 2015
9. Teorema 11.39 de Hall 2015
10. Teorema 11.30 de Hall 2015 y Proposición 12.24
11. Salón 2015 Ejemplo 11.33

• Adams, JF (1969), Conferencias sobre grupos de mentiras , University of Chicago Press, ISBN 0226005305
• Bourbaki, N. (1982), Groupes et Algèbres de Lie (Capítulo 9) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 354034392X
• Dieudonné, J. (1977), Grupos de Lie compactos y grupos de Lie semisimples, Capítulo XXI , Tratado de análisis, vol. 5, Prensa académica, ISBN 012215505X
• Duistermaat, JJ; Kolk, A. (2000), Grupos de mentiras , Universitext, Springer, ISBN 3540152938
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0821828487
• Hochschild, G. (1965), La estructura de los grupos de Lie , Holden-Day