Bandera (álgebra lineal)

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una bandera es una secuencia creciente de subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita V. Aquí "creciente" significa que cada uno es un subespacio adecuado del siguiente (ver filtración ):

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

El término bandera está motivado por un ejemplo particular que se asemeja a una bandera : el punto cero, una línea y un plano corresponden a un clavo, un asta y una hoja de tela. ^[1]

Si escribimos que dim V _i = d _i entonces tenemos

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

donde n es la dimensión de V (se supone finita). Por tanto, debemos tener k ≤ n . Una bandera se llama bandera completa si d _i = i para todo i , de lo contrario se llama bandera parcial .

Se puede obtener una bandera parcial a partir de una bandera completa eliminando algunos de los subespacios. Por el contrario, cualquier indicador parcial se puede completar (de muchas maneras diferentes) insertando subespacios adecuados.

La firma de la bandera es la secuencia ( d ₁ , ..., d _k ).

Bases

Se dice que una base ordenada para V está adaptada a una bandera V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ... ⊂ V _k si los primeros vectores de base d _i forman una base para V _i para cada 0 ≤ i ≤ k . Los argumentos estándar del álgebra lineal pueden mostrar que cualquier bandera tiene una base adaptada.

Cualquier base ordenada da lugar a una bandera completa al permitir que Vi _sea el intervalo de los primeros vectores de base i . Por ejemplo, elLa bandera estándar enR ⁿ se induce a partir de labase estándar(e₁, ...,e _n ) dondee _i denota el vector con un 1 en lai-ésima entrada y 0 en otros lugares. Concretamente, la bandera estándar es la secuencia de subespacios:

${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

Una base adaptada casi nunca es única (los contraejemplos son triviales); vea abajo.

Una bandera completa en un espacio producto interno tiene una base ortonormal esencialmente única : es única hasta que se multiplica cada vector por una unidad (escalar de longitud unitaria, por ejemplo, 1, −1, i ). Esta base se puede construir mediante el proceso de Gram-Schmidt . La unicidad hasta las unidades se deduce inductivamente , observando que reside en el espacio unidimensional . ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle V_{i-1}^{\perp }\cap V_{i}}$

De manera más abstracta, es único hasta una acción del toro máximo : la bandera corresponde al grupo Borel , y el producto interno corresponde al subgrupo compacto máximo . ^[2]

Estabilizador

El subgrupo estabilizador de la bandera estándar es el grupo de matrices triangulares superiores invertibles .

De manera más general, el estabilizador de una bandera (los operadores lineales en V tales que para todo i ) es, en términos matriciales, el álgebra de matrices triangulares superiores de bloque (con respecto a una base adaptada), donde los tamaños de bloque . El subgrupo estabilizador de una bandera completa es el conjunto de matrices triangulares superiores invertibles respecto de cualquier base adaptada a la bandera. El subgrupo de matrices triangulares inferiores con respecto a dicha base depende de esa base y, por lo tanto, no puede caracterizarse únicamente en términos de la bandera. ${\displaystyle T(V_{i})<V_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}-d_{i-1}}$

El subgrupo estabilizador de cualquier bandera completa es un subgrupo Borel (del grupo lineal general ), y el estabilizador de cualquier bandera parcial es un subgrupo parabólico.

El subgrupo estabilizador de una bandera actúa simplemente de forma transitiva sobre bases adaptadas para la bandera y, por tanto, éstas no son únicas a menos que el estabilizador sea trivial. Ésa es una circunstancia muy excepcional: ocurre sólo para un espacio vectorial de dimensión 0, o para un espacio vectorial superior a de dimensión 1 (precisamente los casos en los que sólo existe una base, independientemente de cualquier bandera). ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$

Nido subespacial

En un espacio de dimensión infinita V , como se usa en el análisis funcional , la idea de la bandera se generaliza a un nido de subespacio , es decir, una colección de subespacios de V que es un orden total de inclusión y que además está cerrado bajo intersecciones arbitrarias y tramos lineales cerrados. Véase álgebra de nidos .

Análogos de la teoría de conjuntos

Desde el punto de vista del campo con un elemento , un conjunto puede verse como un espacio vectorial sobre el campo con un elemento: esto formaliza varias analogías entre los grupos de Coxeter y los grupos algebraicos .

Según esta correspondencia, un ordenamiento de un conjunto corresponde a una bandera máxima: un ordenamiento equivale a una filtración máxima de un conjunto. Por ejemplo, la filtración (bandera) corresponde al ordenamiento . ${\displaystyle \{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}}$ ${\displaystyle (0,1,2)}$

Ver también

• Filtración (matemáticas)
• Colector de bandera
• Grassmanniano
• Matroide

Referencias

1. Kostrikin, Alexei I. y Manin, Yuri I. (1997). Álgebra lineal y geometría , p. 13. Traducido del ruso por ME Alferieff. Editores de Gordon y Breach Science. ISBN  2-88124-683-4 .
2. Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso , p. 95. Saltador. ISBN 0387974954 . 

• Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012). Álgebra lineal y geometría. Saltador . ISBN 978-3-642-30993-9.