Álgebra de Hopf

Construcción en álgebra

En matemáticas , un álgebra de Hopf , llamada así por Heinz Hopf , es una estructura que es simultáneamente un álgebra (asociativa unitaria ) y una coalgebra (coasociativa counital) , siendo la compatibilidad de estas estructuras una biálgebra , y que además está dotada de un antihomomorfismo que satisface una determinada propiedad. La teoría de la representación de un álgebra de Hopf es particularmente interesante, ya que la existencia de comultiplicación, counit y antípoda compatibles permite la construcción de productos tensoriales de representaciones, representaciones triviales y representaciones duales.

Las álgebras de Hopf aparecen de forma natural en la topología algebraica , donde se originaron y están relacionadas con el concepto de espacio H , en la teoría de esquemas de grupos , en la teoría de grupos (a través del concepto de anillo de grupos ) y en muchos otros lugares, lo que las convierte probablemente en el tipo más conocido de biálgebra . Las álgebras de Hopf también se estudian por derecho propio, con mucho trabajo sobre clases específicas de ejemplos por un lado y problemas de clasificación por el otro. Tienen diversas aplicaciones que van desde la física de la materia condensada y la teoría cuántica de campos ^[1] hasta la teoría de cuerdas ^[2] y la fenomenología del LHC . ^[3]

Definición formal

Formalmente, un álgebra de Hopf es una biálgebra (asociativa y coasociativa) H sobre un cuerpo K junto con una función K -lineal S : H → H (llamada antípoda ) tal que el siguiente diagrama conmuta :

Aquí Δ es la comultiplicación de la biálgebra, ∇ su multiplicación, η su unidad y ε su counidad. En la notación de Sweedler sin suma , esta propiedad también se puede expresar como

${\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\varepsilon (c)1\qquad {\mbox{ for all }}c\in H.}$

En cuanto a las álgebras , se puede reemplazar el campo subyacente K con un anillo conmutativo R en la definición anterior. ^[4]

La definición del álgebra de Hopf es autodual (como se refleja en la simetría del diagrama anterior), por lo que si uno puede definir un dual de H (lo cual siempre es posible si H es de dimensión finita), entonces automáticamente es un álgebra de Hopf. ^[5]

Constantes de estructura

Fijando una base para el espacio vectorial subyacente, se puede definir el álgebra en términos de constantes de estructura para la multiplicación: ${\displaystyle \{e_{k}\}}$

${\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}}$

para co-multiplicación:

${\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}}$

y la antípoda:

${\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}}$

La asociatividad requiere entonces que

${\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}}$

Mientras que la coasociatividad requiere que

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}}$

El axioma de conexión requiere que

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;im}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;im}^{n}}$

Propiedades del antípoda

A veces se requiere que el antípoda S tenga una inversa K -lineal, lo que es automático en el caso de dimensión finita ^{[ aclaración necesaria ]} , o si H es conmutativo o co-conmutativo (o más generalmente cuasitrianguloso ).

En general, S es un antihomomorfismo , ^[6] por lo que S ² es un homomorfismo , que por lo tanto es un automorfismo si S fuera invertible (como puede requerirse).

Si S ² = id _H , entonces se dice que el álgebra de Hopf es involutiva (y el álgebra subyacente con involución es un *-álgebra ). Si H es semisimple de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero, conmutativa o co-conmutativa, entonces es involutiva.

Si una biálgebra B admite un antípoda S , entonces S es única ("una biálgebra admite como máximo 1 estructura de álgebra de Hopf"). ^[7] Por lo tanto, la antípoda no plantea ninguna estructura extra que podamos elegir: Ser un álgebra de Hopf es una propiedad de una biálgebra.

El antípoda es un análogo del mapa de inversión en un grupo que envía g a g ⁻¹ . ^[8]

Subálgebras de Hopf

Una subálgebra A de un álgebra de Hopf H es una subálgebra de Hopf si es una subcoálgebra de H y el antípoda S mapea A en A . En otras palabras, una subálgebra de Hopf A es un álgebra de Hopf por derecho propio cuando la multiplicación, comultiplicación, counit y antípoda de H están restringidas a A (y además se requiere que la identidad 1 de H esté en A). El teorema de libertad de Nichols-Zoeller de Warren Nichols y Bettina Zoeller (1989) estableció que el A -módulo natural H está libre de rango finito si H es de dimensión finita: una generalización del teorema de Lagrange para subgrupos . ^[9] Como corolario de esto y de la teoría integral, una subálgebra de Hopf de un álgebra de Hopf de dimensión finita semisimple es automáticamente semisimple.

Se dice que una subálgebra de Hopf A es normal por la derecha en un álgebra de Hopf H si satisface la condición de estabilidad, ad _r ( h )( A ) ⊆ A para todo h en H , donde la aplicación adjunta por la derecha ad _r está definida por ad _r ( h )( a ) = S ( h ₍₁₎ ) ah ₍₂₎ para todo a en A , h en H . De manera similar, una subálgebra de Hopf A es normal por la izquierda en H si es estable bajo la aplicación adjunta por la izquierda definida por ad _l ( h )( a ) = h ₍₁₎ aS ( h ₍₂₎ ). Las dos condiciones de normalidad son equivalentes si el antípoda S es biyectivo, en cuyo caso se dice que A es una subálgebra de Hopf normal.

Una subálgebra de Hopf normal A en H satisface la condición (de igualdad de subconjuntos de H): HA ⁺ = A ⁺ H donde A ⁺ denota el núcleo de la counidad en A. Esta condición de normalidad implica que HA ⁺ es un ideal de Hopf de H (es decir, un ideal de álgebra en el núcleo de la counidad, un coideal de coalgebra y estable bajo el antípoda). Como consecuencia, se tiene un álgebra de Hopf cociente H / HA ⁺ y un epimorfismo H → H / A ⁺ H , una teoría análoga a la de los subgrupos normales y los grupos cociente en la teoría de grupos . ^[10]

Órdenes de Hopf

Un orden de Hopf O sobre un dominio integral R con un cuerpo de fracciones K es un orden en un álgebra de Hopf H sobre K que está cerrado bajo las operaciones del álgebra y coalgebra: en particular, la comultiplicación Δ asigna O a O ⊗ O . ^[11]

Elementos similares a grupos

Un elemento similar a un grupo es un elemento x distinto de cero tal que Δ( x ) = x ⊗ x . Los elementos similares a un grupo forman un grupo con inversa dada por el antípoda. ^[12] Un elemento primitivo x satisface Δ( x ) = x ⊗1 + 1⊗ x . ^{[13] [14]}

Ejemplos

Tenga en cuenta que las funciones de un grupo finito se pueden identificar con el anillo del grupo, aunque es más natural pensar en ellas como duales: el anillo del grupo consta de sumas finitas de elementos y, por lo tanto, se empareja con funciones del grupo evaluando la función en los elementos sumados.

Cohomología de los grupos de Lie

El álgebra de cohomología (sobre un cuerpo ) de un grupo de Lie es un álgebra de Hopf: la multiplicación la proporciona el producto de copa , y la comultiplicación ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle H^{*}(G,K)\rightarrow H^{*}(G\times G,K)\cong H^{*}(G,K)\otimes H^{*}(G,K)}$

por la multiplicación de grupos . Esta observación fue en realidad una fuente de la noción de álgebra de Hopf. Utilizando esta estructura, Hopf demostró un teorema de estructura para el álgebra de cohomología de los grupos de Lie. ${\displaystyle G\times G\to G}$

Teorema (Hopf) ^[18] Sea un álgebra de Hopf conmutativa graduada y co-conmutativa graduada de dimensión finita sobre un cuerpo de característica 0. Entonces (como álgebra) es un álgebra exterior libre con generadores de grado impar. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Grupos cuánticos y geometría no conmutativa

La mayoría de los ejemplos anteriores son conmutativos (es decir, la multiplicación es conmutativa ) o co-conmutativos (es decir, ^[19] Δ = T ∘ Δ donde la función de torsión ^[20] T : H ⊗ H → H ⊗ H se define por T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x ). Otras álgebras de Hopf interesantes son ciertas "deformaciones" o " cuantificaciones " de las del ejemplo 3 que no son ni conmutativas ni co-conmutativas. Estas álgebras de Hopf a menudo se denominan grupos cuánticos , un término que hasta ahora solo está definido de forma vaga. Son importantes en geometría no conmutativa , la idea es la siguiente: un grupo algebraico estándar está bien descrito por su álgebra de Hopf estándar de funciones regulares; Podemos entonces pensar en la versión deformada de esta álgebra de Hopf como la descripción de un cierto grupo algebraico "no estándar" o "cuantizado" (que no es un grupo algebraico en absoluto). Si bien no parece haber una manera directa de definir o manipular estos objetos no estándar, uno puede trabajar con sus álgebras de Hopf y, de hecho, identificarlos con sus álgebras de Hopf. De ahí el nombre de "grupo cuántico".

Teoría de la representación

Sea A un álgebra de Hopf, y sean M y N módulos A. Entonces, M ⊗ N también es un módulo A , con

${\displaystyle a(m\otimes n):=\Delta (a)(m\otimes n)=(a_{1}\otimes a_{2})(m\otimes n)=(a_{1}m\otimes a_{2}n)}$

para m ∈ M , n ∈ N y Δ( a ) = ( a ₁ , a ₂ ). Además, podemos definir la representación trivial como el cuerpo base K con

${\displaystyle a(m):=\epsilon (a)m}$

para m ∈ K . Finalmente, se puede definir la representación dual de A : si M es un módulo A y M* es su espacio dual, entonces

${\displaystyle (af)(m):=f(S(a)m)}$

donde f ∈ M* y m ∈ M .

La relación entre Δ, ε y S asegura que ciertos homomorfismos naturales de espacios vectoriales son de hecho homomorfismos de módulos A. Por ejemplo, los isomorfismos naturales de espacios vectoriales M → M ⊗ K y M → K ⊗ M también son isomorfismos de módulos A. Además, la función de espacios vectoriales M* ⊗ M → K con f ⊗ m → f ( m ) también es un homomorfismo de módulos A. Sin embargo, la función M ⊗ M* → K no es necesariamente un homomorfismo de módulos A.

Conceptos relacionados

Las álgebras de Hopf graduadas se utilizan a menudo en topología algebraica : son la estructura algebraica natural de la suma directa de todos los grupos de homología o cohomología de un H-espacio .

Los grupos cuánticos localmente compactos generalizan las álgebras de Hopf y tienen una topología . El álgebra de todas las funciones continuas en un grupo de Lie es un grupo cuántico localmente compacto.

Las álgebras cuasi-Hopf son generalizaciones de las álgebras de Hopf, donde la coasociatividad sólo se sostiene con un giro. Se han utilizado en el estudio de las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov . ^[21]

Las álgebras de Hopf multiplicadoras introducidas por Alfons Van Daele en 1994 ^[22] son ​​generalizaciones de las álgebras de Hopf donde la comultiplicación de un álgebra (con o sin unidad) al álgebra multiplicadora es el álgebra del producto tensorial del álgebra consigo misma.

Las (co)álgebras de grupo de Hopf introducidas por VG Turaev en 2000 también son generalizaciones de las álgebras de Hopf.

Álgebras de Hopf débiles

Las álgebras de Hopf débiles , o grupoides cuánticos, son generalizaciones de las álgebras de Hopf. Al igual que las álgebras de Hopf, las álgebras de Hopf débiles forman una clase autodual de álgebras; es decir, si H es un álgebra de Hopf (débil), también lo es H *, el espacio dual de formas lineales en H (con respecto a la estructura álgebra-coálgebra obtenida del emparejamiento natural con H y su estructura coálgebra-álgebra). Un álgebra de Hopf débil H suele tomarse como una

• Álgebra de dimensión finita y coalgebra con coproducto Δ: H → H ⊗ H y counit ε: H → k que satisface todos los axiomas del álgebra de Hopf excepto posiblemente Δ(1) ≠ 1 ⊗ 1 o ε( ab ) ≠ ε( a )ε( b ) para algún a,b en H . En cambio, se requiere lo siguiente:

${\displaystyle (\Delta (1)\otimes 1)(1\otimes \Delta (1))=(1\otimes \Delta (1))(\Delta (1)\otimes 1)=(\Delta \otimes {\mbox{Id}})\Delta (1)}$

${\displaystyle \epsilon (abc)=\sum \epsilon (ab_{(1)})\epsilon (b_{(2)}c)=\sum \epsilon (ab_{(2)})\epsilon (b_{(1)}c)}$

para todos a , b y c en H .

• H tiene un antípoda debilitado S : H → H que satisface los axiomas:

1. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}\epsilon (a1_{(2)})}$para todo a en H (el lado derecho es la proyección interesante usualmente denotada por Π ^R ( a ) o ε _s ( a ) con imagen una subálgebra separable denotada por H ^R o H _s );
2. ${\displaystyle a_{(1)}S(a_{(2)})=\epsilon (1_{(1)}a)1_{(2)}}$para todo a en H (otra proyección interesante usualmente denotada por Π ^R ( a ) o ε _t ( a ) con imagen de un álgebra separable H ^L o H _t , anti-isomorfa a H ^L vía S );
3. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a)}$para todo a en H .

Nótese que si Δ(1) = 1 ⊗ 1, estas condiciones se reducen a las dos condiciones habituales en la antípoda de un álgebra de Hopf.

Los axiomas se eligen en parte de modo que la categoría de H -módulos sea una categoría monoidal rígida . El H -módulo unitario es el álgebra separable H ^L mencionada anteriormente.

Por ejemplo, un álgebra grupoide finita es un álgebra de Hopf débil. En particular, el álgebra grupoide en [n] con un par de flechas invertibles e _ij y e _ji entre i y j en [ n ] es isomorfa al álgebra H de matrices n x n . La estructura del álgebra de Hopf débil en esta H particular está dada por el coproducto Δ( e _ij ) = e _ij ⊗ e _ij , counit ε( e _ij ) = 1 y antípoda S ( e _ij ) = e _ji . Las subálgebras separables H ^L y H ^R coinciden y son álgebras conmutativas no centrales en este caso particular (la subálgebra de matrices diagonales).

Las primeras contribuciones teóricas a las álgebras de Hopf débiles se encuentran en ^[23] así como en ^[24].

Algebroides de Hopf

Véase algebroide de Hopf

Analogía con los grupos

Los grupos se pueden axiomatizar mediante los mismos diagramas (o, lo que es lo mismo, operaciones) que un álgebra de Hopf, donde G se toma como un conjunto en lugar de un módulo. En este caso:

• El campo K se reemplaza por el conjunto de 1 punto
• Hay un recuento natural (mapa a 1 punto)
• Hay una comultiplicación natural (el mapa diagonal)
• La unidad es el elemento de identidad del grupo.
• La multiplicación es la multiplicación en el grupo.
• El antípoda es la inversa

En esta filosofía, un grupo puede considerarse como un álgebra de Hopf sobre el " campo con un elemento ". ^[25]

Álgebras de Hopf en categorías monoidales trenzadas

La definición del álgebra de Hopf se extiende naturalmente a categorías monoidales trenzadas arbitrarias . ^{[26] [27]} Un álgebra de Hopf en dicha categoría es un séxtuple donde es un objeto en , y ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \nabla :H\otimes H\to H}$(multiplicación),

${\displaystyle \eta :I\to H}$(unidad),

${\displaystyle \Delta :H\to H\otimes H}$(comultiplicación),

${\displaystyle \varepsilon :H\to I}$(cuenta),

${\displaystyle S:H\to H}$(antípoda)

— son morfismos tales que ${\displaystyle C}$

1) el triple es un monoide de categoría monoidal , es decir, los siguientes diagramas son conmutativos: ^[b] ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

2) el triple es un comonoide de categoría monoidal , es decir, los siguientes diagramas son conmutativos: ^[b] ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

3) las estructuras de monoide y comonoide son compatibles: la multiplicación y la unidad son morfismos de comonoides, y (esto es equivalente en esta situación) al mismo tiempo la comultiplicación y la counit son morfismos de monoides; esto significa que los siguientes diagramas deben ser conmutativos: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

donde es el morfismo unitario izquierdo en , y la transformación natural de funtores que es única en la clase de transformaciones naturales de funtores compuestas a partir de las transformaciones estructurales (asociatividad, unidades izquierda y derecha, transposición y sus inversas) en la categoría . ${\displaystyle \lambda _{I}:I\otimes I\to I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (A\otimes B)\otimes (C\otimes D){\stackrel {\theta }{\rightarrowtail }}(A\otimes C)\otimes (B\otimes D)}$ ${\displaystyle C}$

La quíntuple con las propiedades 1),2),3) se llama biálgebra en la categoría ; ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

4) El diagrama del antípoda es conmutativo:

Los ejemplos típicos son los siguientes.

• Grupos . En la categoría monoidal de conjuntos (con el producto cartesiano como producto tensorial y un singletono arbitrario, digamos, , como objeto unidad) una terna es un monoide en el sentido categórico si y solo si es un monoide en el sentido algebraico habitual , es decir, si las operaciones y se comportan como la multiplicación habitual y la unidad en (pero posiblemente sin la invertibilidad de los elementos ). Al mismo tiempo, una terna es un comonoide en el sentido categórico si y solo si es la operación diagonal (y la operación también se define de forma única: ). Y cualquier estructura de comonoide de este tipo es compatible con cualquier estructura de monoide en el sentido de que los diagramas en la sección 3 de la definición siempre conmutan. Como corolario, cada monoide en puede considerarse naturalmente como una biálgebra en , y viceversa. La existencia del antípoda para tal biálgebra significa exactamente que cada elemento tiene un elemento inverso con respecto a la multiplicación . Así pues, en la categoría de conjuntos, las álgebras de Hopf son exactamente grupos en el sentido algebraico habitual. ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1=\{\varnothing \}}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$ ${\displaystyle \eta (1)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta (x)=(x,x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon (x)=\varnothing }$ ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle S:H\to H}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle x^{-1}\in H}$ ${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$
• Álgebras de Hopf clásicas . En el caso especial cuando es la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado , las álgebras de Hopf en son exactamente las álgebras de Hopf clásicas descritas anteriormente. ${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$
• Álgebras funcionales sobre grupos . Las álgebras funcionales estándar , , , (de funciones continuas, suaves, holomorfas y regulares) sobre grupos son álgebras de Hopf en la categoría ( Ste , ) de espacios estereotípicos , ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(G)}$ ${\displaystyle \odot }$
• Álgebras de grupos . Las álgebras de grupos estereotípicas , , , (de medidas, distribuciones, funcionales analíticos y corrientes) sobre grupos son álgebras de Hopf en la categoría ( Ste , ) de espacios estereotípicos . ^[28] Estas álgebras de Hopf se utilizan en las teorías de dualidad para grupos no conmutativos . ^[29] ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle \circledast }$

Véase también

• Álgebra de Hopf cuasitriangulosa
• Analogía entre álgebra y conjuntos
• Teoría de la representación de las álgebras de Hopf
• Álgebra de Hopf con cinta
• Superálgebra
• Supergrupo
• Álgebra de Lie aniónica
• Álgebra de Hopf de Sweedler
• Álgebra de Hopf de permutaciones
• Teorema de Milnor-Moore

Notas y referencias

Notas

1. La finitud de G implica que K ^G ⊗ K ^G es naturalmente isomorfo a K ^{G x G} . Esto se utiliza en la fórmula anterior para la comultiplicación. Para grupos infinitos G , K ^G ⊗ K ^G es un subconjunto propio de K ^{G x G} . En este caso, el espacio de funciones con soporte finito puede dotarse de una estructura de álgebra de Hopf.
2. Aquí , , son las transformaciones naturales de la asociatividad y de las unidades izquierda y derecha en la categoría monoidal . ${\displaystyle \alpha _{H,H,H}:(H\otimes H)\otimes H\to H\otimes (H\otimes H)}$ ${\displaystyle \lambda _{H}:I\otimes H\to H}$ ${\displaystyle \rho _{H}:H\otimes I\to H}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

Citas

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8. Notas de clase sobre grupos cuánticos
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Referencias

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