En álgebra, el álgebra de Hopf de permutaciones de Malvenuto–Poirier–Reutenauer o álgebra de Hopf MPR es un álgebra de Hopf con una base de todos los elementos de todos los grupos simétricos finitos S n , y es un análogo no conmutativo del álgebra de Hopf de funciones simétricas . Es a la vez libre como álgebra y co-libre graduada como coalgebra graduada , por lo que en cierto sentido está lo más lejos posible de ser conmutativa o co-conmutativa. Fue introducida por Malvenuto y Reutenauer (1995) y estudiada por Poirier y Reutenauer (1995).
El grupo abeliano libre subyacente del álgebra MPR tiene una base que consiste en la unión disjunta de los grupos simétricos S n para n = 0, 1, 2, .... , que pueden considerarse como permutaciones.
La identidad 1 es la permutación vacía, y el conteo lleva la permutación vacía a 1 y las demás a 0.
El producto de dos permutaciones ( a 1 ,..., a m ) y ( b 1 ,..., b n ) en MPR está dado por el producto aleatorio ( a 1 ,..., a m ) ш ( m + b 1 ,..., m + b n ).
El coproducto de una permutación a en m puntos está dado por Σ a = b * c st( b ) ⊗ st( c ), donde la suma es sobre las m + 1 formas de escribir a (considerada como una secuencia de m enteros) como una concatenación de dos secuencias b y c , y st( b ) es la estandarización de b , donde los elementos de la secuencia b se reducen a un conjunto de la forma {1, 2, ..., n } mientras se preserva su orden.
El antípoda tiene orden infinito.
El álgebra de Hopf de permutaciones relaciona los anillos de funciones simétricas , funciones cuasisimétricas y funciones simétricas no conmutativas (denominadas Sym, QSym y NSym respectivamente), como se muestra en el siguiente diagrama conmutativo. La dualidad entre QSym y NSym se muestra en la diagonal principal de este diagrama.