algebroide de hopf

En matemáticas, en la teoría de las álgebras de Hopf , un algebroide de Hopf es una generalización de álgebras de Hopf débiles, ciertas álgebras de Hopf sesgadas y k -algebroides de Hopf conmutativos. Si k es un campo, un k -algebroide conmutativo es un objeto cogrupoide en la categoría de k -álgebras; la categoría de los mismos es, por tanto, dual a la categoría de k -esquemas grupoides. Esta versión conmutativa se ha utilizado en la década de 1970 en geometría algebraica y teoría de homotopía estable . La generalización de los algebroides de Hopf y su parte principal de la estructura, los bialgebroides asociativos , al álgebra de bases no conmutativa fue introducida por J.-H. Lu en 1996 como resultado de un trabajo sobre grupoides en geometría de Poisson (posteriormente se mostró equivalente de manera no trivial a una construcción de Takeuchi de la década de 1970 y otra de Xu alrededor del año 2000). Se pueden considerar vagamente como álgebras de Hopf sobre un anillo de base no conmutativo, donde las álgebras de Hopf débiles se convierten en álgebras de Hopf sobre un álgebra separable . Es un teorema que un algebroide de Hopf que satisface una condición de proyectividad finita sobre un álgebra separable es un álgebra de Hopf débil y, a la inversa, un álgebra de Hopf débil H es un algebroide de Hopf sobre su subálgebra separable H ^L. Los axiomas de las antípodas fueron cambiados por G. Böhm y K. Szlachányi (J. Algebra) en 2004 por razones categóricas tensoriales y para dar cabida a ejemplos asociados con dos extensiones de álgebra de Frobenius en profundidad.

Definición

La principal motivación detrás de la definición de un algebroide de Hopf ^{[1] pg301-302} es su representación algebraica conmutativa de una pila algebraica que puede presentarse como esquemas afines . De manera más general, los algebroides de Hopf codifican los datos de prehaces de grupoides en la categoría de esquemas afines. ^[2] Es decir, si tenemos un objeto grupoide de esquemas afines ${\displaystyle {\text{Aff}}}$

${\displaystyle s,t:X_{1}\rightrightarrows X_{0}}$

con un mapa de identidad que proporciona una incrustación de objetos en las flechas, podemos tomar como definición de un algebroide de Hopf los objetos duales en anillos conmutativos que codifican esta estructura. Tenga en cuenta que este proceso es esencialmente una aplicación del lema de Yoneda a la definición de esquemas grupoides en la categoría de esquemas afines. Como es posible que queramos arreglar un anillo base, consideraremos en su lugar la categoría de -álgebras conmutativas . ${\displaystyle \iota :X_{0}\to X_{1}}$ ${\displaystyle {\text{CRing}}}$ ${\displaystyle {\text{Aff}}}$ ${\displaystyle {\text{CRing}}_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Definición de teoría de esquemas

Objetos algebraicos en la definición.

Un algebroide de Hopf sobre un anillo conmutativo es un par de álgebras tales que su funtor de puntos ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (A,\Gamma )}$ ${\displaystyle {\text{CRing}}_{k}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightrightarrows {\text{Hom}}_{k}(A,-)}$

codifica un grupoide en . Si fijamos como algún objeto en , entonces es el conjunto de objetos en el grupoide y es el conjunto de flechas. Esto se traduce en tener mapas. ${\displaystyle {\text{Aff}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\text{CRing}}_{k}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(A,B)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,B)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{L}&:A\to \Gamma &{\text{ left unit/ source map}}\\\eta _{R}&:A\to \Gamma &{\text{ right unit/ target map}}\\\Delta &:\Gamma \to \Gamma \otimes _{A}\Gamma &{\text{ coproduct/ composition map}}\\\varepsilon &:\Gamma \to A&{\text{ counit/ identity map }}\\c&:\Gamma \to \Gamma &{\text{ conjugation/ inverse map}}\end{aligned}}}$

donde el texto en el lado izquierdo de la barra es la palabra tradicional utilizada para el mapa de álgebras que da la estructura del algebroide de Hopf y el texto en el lado derecho de la barra es la estructura correspondiente en el grupoide.

${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightrightarrows {\text{Hom}}_{k}(A,-)}$

Estos mapas corresponden, es decir, sus mapas duales de la incrustación de Yoneda dan la estructura de un grupoide. Por ejemplo,

${\displaystyle \eta _{L}^{*}:{\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightarrow {\text{Hom}}_{k}(A,-)}$

Corresponde al mapa fuente . ${\displaystyle s}$

Axiomas que estos mapas deben satisfacer

Además de estos mapas, satisfacen una serie de axiomas duales a los axiomas de un grupoide. Tenga en cuenta que lo arreglaremos como algún objeto al dar ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\text{CRing}}_{k}}$

1. ${\displaystyle \varepsilon \eta _{L}=\varepsilon \eta _{R}={\text{Id}}_{A}}$, lo que significa que el mapa de unidades duales actúa como una identidad bilateral para los objetos en ${\displaystyle \varepsilon ^{*}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(A,B)}$
2. ${\displaystyle ({\text{Id}}_{\Gamma }\otimes \varepsilon )\Delta =(\varepsilon \otimes {\text{Id}}_{\Gamma })\Delta ={\text{Id}}_{\Gamma }}$, es decir, componer una flecha con la identidad deja esa flecha sin cambios
3. ${\displaystyle ({\text{Id}}_{\Gamma }\otimes \Delta )\Delta =(\Delta \otimes {\text{Id}}_{\Gamma })\Delta }$corresponde a la asociatividad de la composición de morfismos
4. ${\displaystyle c\eta _{R}=\eta _{L}}$y se traduce en invertir un morfismo intercambia el origen y el destino ${\displaystyle c\eta _{L}=\eta _{R}}$
5. ${\displaystyle cc={\text{Id}}_{\Gamma }}$, lo que significa que el inverso del inverso es el mapa original
6. Estos mapas existen que codifican la composición de un morfismo y su inverso a cada lado da el morfismo de identidad. Esto se puede codificar mediante el siguiente diagrama conmutativo donde las flechas discontinuas representan la existencia de estas dos flechas. ${\displaystyle \Gamma \otimes _{A}\Gamma \rightrightarrows \Gamma }$

¿Dónde está el mapa y ? ${\displaystyle c\cdot \Gamma }$ ${\displaystyle c\cdot \Gamma (\gamma _{1}\otimes \gamma _{2})=c(\gamma _{1})\gamma _{2}}$ ${\displaystyle \Gamma \cdot c(\gamma _{1}\otimes \gamma _{2})=\gamma _{1}c(\gamma _{2})}$

Estructuras adicionales

Además de la definición estándar de algebroide de Hopf, también existen algebroides de Hopf conmutativos graduados , que son pares de álgebras conmutativas graduadas con mapas de estructura conmutativa graduada indicados anteriormente. ${\displaystyle (A,\Gamma )}$

Además, se dice que un algebroide de Hopf graduado es conexo si los submódulos derecho e izquierdo son ambos isomorfos a ${\displaystyle (A,\Gamma )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}\hookrightarrow \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Otra definición

Un algebroide de Hopf izquierdo ( H , R ) es un bialgebroide izquierdo junto con una antípoda: el bialgebroide ( H , R ) consta de un álgebra total H y un álgebra base R y dos mapeos, un homomorfismo de álgebra s : R → H llamado a mapa de origen, un antihomomorfismo de álgebra t : R → H llamado mapa de destino, tal que la condición de conmutatividad s ( r ₁ ) t ( r ₂ ) = t ( r ₂ ) s ( r ₁ ) se satisface para todo r ₁ , r ₂ ∈ R . Los axiomas se parecen a los de un álgebra de Hopf , pero se complican por la posibilidad de que R sea un álgebra no conmutativa o que sus imágenes bajo syt no estén en el centro de H. En particular, un bialgebroide izquierdo ( H , R ) tiene una estructura R - R -bimódulo en H que prefiere el lado izquierdo de la siguiente manera: r ₁ ⋅ h ⋅ r ₂ = s ( r ₁ ) t ( r ₂ ) h para todo h en H , r ₁ , r ₂ ∈ R . Hay un coproducto Δ: H → H ⊗ _R H y una unidad ε: H → R que hacen ( H , R , Δ, ε) un núcleo R (con axiomas como el de una coalgebra tal que todas las asignaciones son R - R -homomorfismos de bimódulo y todos los tensores sobre R ). Además, el bialgebroide ( H , R ) debe satisfacer Δ( ab ) = Δ( a )Δ( b ) para todos a , b en H , y una condición para garantizar que esta última condición tenga sentido: cada punto de imagen Δ( a) satisface a ₍₁₎ t ( r ) ⊗ a ₍₂₎ = a ₍₁₎ ⊗ a ₍₂₎ s ( r ) para todo r en R . También Δ(1) = 1 ⊗ 1. Se requiere que la unidad satisfaga ε(1 _H ) = 1 _R y la condición ε( ab ) = ε( como (ε( b ))) = ε( en (ε( b ))).

La antípoda S : H → H generalmente se considera un antiautomorfismo de álgebra que satisface las condiciones de intercambiar los mapas de origen y de destino y satisface dos axiomas como los axiomas de las antípodas del álgebra de Hopf; consulte las referencias en Lu o en Böhm-Szlachányi para obtener un conjunto de axiomas para la antípoda S más amigable con las categorías de ejemplo, aunque algo más complicado . El último conjunto de axiomas también depende de los axiomas de un bialgebroide derecho, que son un cambio sencillo de izquierda a derecha, s con t , de los axiomas de un bialgebroide izquierdo dados anteriormente.

Ejemplos

De la topología algebraica

Uno de los principales ejemplos motivadores de un algebroide de Hopf es el par de un espectro . ^[3] Por ejemplo, los algebroides de Hopf , para los espectros que representan el cobordismo complejo y la homología de Brown-Peterson , y sus truncamientos se estudian ampliamente en topología algebraica. Esto se debe a su uso en la secuencia espectral de Adams-Novikov para calcular los grupos de esferas de homotopía estable. ${\displaystyle (\pi _{*}(E),E_{*}(E))}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*}({\text{MU}}))}$ ${\displaystyle (\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))}$

Algebroide de Hopf que representa una pila de leyes formales de grupos

Existe un algebroide de Hopf que representa la pila de leyes de grupos formales que se construye utilizando topología algebraica. ^[4] Si denotamos el espectro ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{FG}}$ ${\displaystyle {\text{MP}}}$

${\displaystyle {\text{MP}}=\bigvee _{m\in \mathbb {Z} }\Sigma ^{2m}{\text{MU}}}$

hay un algebroide de Hopf

${\displaystyle {\text{MP}}_{0}\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})}$

correpresentando la pila . Esto significa que existe un isomorfismo de functores. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{FG}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{FG}(-)\cong [{\text{MP}}_{0}\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})](-)}$

donde el funtor de la derecha envía un anillo conmutativo al grupoide ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\text{MP}}_{0}(B)\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})(B)}$

Otros ejemplos

Como ejemplo de bialgebroide izquierdo, tome R como cualquier álgebra sobre un campo k . Sea H su álgebra de automapeos lineales. Sea s(r) la multiplicación por la izquierda por r en R ; sea ​​t ( r ) la multiplicación correcta por r en R. H es un bialgebroide izquierdo sobre R , que puede verse de la siguiente manera. Del hecho de que H ⊗ _R H ≅ Hom _k ( R ⊗ R , R ) se puede definir un coproducto por Δ( f )( r ⊗ u ) = f ( ru ) para cada transformación lineal f de R a sí mismo y a todos los r , tu en R . La coasociatividad del coproducto se deriva de la asociatividad del producto en R. Una unidad viene dada por ε( f ) = f (1). Los axiomas unitarios de una extracción de núcleos se derivan de la condición del elemento de identidad al multiplicar en R. Al lector le divertirá, o al menos lo edificará, comprobar que ( H , R ) es un bialgebroide izquierdo. En el caso de que R sea un álgebra de Azumaya , en cuyo caso H es isomorfo a R ⊗ R , una antípoda proviene de la transposición de tensores, lo que convierte a H en un algebroide de Hopf sobre R. Otra clase de ejemplos proviene de dejar que R sea el campo base; en este caso, el algebroide de Hopf ( H ​​, R ) es un álgebra de Hopf.

Ver también

• Producto cotensor
• Extensión de los algebroides de Hopf
• Comodulo sobre un algebroide de Hopf

Referencias

1. Ravenel, Douglas C. (1986). Cobordismo complejo y grupos de esferas de homotopía estable. Orlando: Prensa académica. ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC  316566772.
2. Hovey, Mark (16 de mayo de 2001). "Teoría de Morita para algebroides de Hopf y prehaces de grupoides". arXiv : matemáticas/0105137 .
3. Hopkins. "Teorías de cohomología orientadas complejas y el lenguaje de las pilas" (PDF) .
4. Douglas, Christopher L.; Francisco, Juan; Henriques, André G.; Hill, Michael A. "4. Teorema del funtor exacto de Landweber". Formas modulares topológicas (PDF) . Providencia, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-1884-7. OCLC  884782304.

Otras lecturas

• Böhm, Gabriella (2005). "Una noción alternativa del algebroide de Hopf". En Caenepeel, Stefaan (ed.). Álgebras de Hopf en geometría y física no conmutativas. Actas de la conferencia sobre álgebras de Hopf y grupos cuánticos, Bruselas, Bélgica, 28 de mayo al 1 de junio de 2002 . Apuntes de conferencias sobre matemáticas puras y aplicadas. vol. 239. Nueva York, Nueva York: Marcel Dekker. págs. 31–53. ISBN 978-0-8247-5759-5. Zbl  1080.16034.
• Böhm, Gabriella; Szlachányi, Kornél (2004). "Simetría algebroide de Hopf de extensiones abstractas de Frobenius de profundidad 2". Comunitario. Álgebra . 32 (11): 4433–4464. arXiv : matemáticas/0305136 . doi :10.1081/AGB-200034171. S2CID  119162795. Zbl  1080.16036.
• Jiang-Hua Lu, "Algebroides de Hopf y grupoides cuánticos", Int. J. Matemáticas. 7, n. 1 (1996) págs. 47–70, https://arxiv.org/abs/q-alg/9505024, http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=95e:16037, https:// dx.doi.org/10.1142/S0129167X96000050