Cohomología equivalente

En matemáticas , la cohomología equivariante (o cohomología de Borel ) es una teoría de cohomología de la topología algebraica que se aplica a espacios topológicos con una acción grupal . Puede verse como una generalización común de la cohomología de grupos y una teoría de la cohomología ordinaria . Específicamente, el anillo de cohomología equivariante de un espacio con acción de un grupo topológico se define como el anillo de cohomología ordinario con anillo de coeficientes del cociente de homotopía : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle EG\times _{G}X}$

${\displaystyle H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(EG\times _{G}X;\Lambda ).}$

Si es el grupo trivial , este es el anillo de cohomología ordinario de , mientras que si es contráctil , se reduce al anillo de cohomología del espacio de clasificación (es decir, la cohomología del grupo de cuando G es finito). Si G actúa libremente sobre X , entonces el mapa canónico es una equivalencia de homotopía y entonces se obtiene: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle EG\times _{G}X\to X/G}$ ${\displaystyle H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(X/G;\Lambda ).}$

Definiciones

También es posible definir la cohomología equivariante de con coeficientes en un módulo A ; Estos son grupos abelianos . Esta construcción es análoga a la cohomología con coeficientes locales. ${\displaystyle H_{G}^{*}(X;A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Si X es una variedad, G un grupo de Lie compacto y es el campo de números reales o el campo de números complejos (la situación más típica), entonces la cohomología anterior se puede calcular usando el llamado modelo de Cartan (ver formas diferenciales equivariantes .) ${\displaystyle \Lambda }$

La construcción no debe confundirse con otras teorías de cohomología, como la cohomología de Bredon o la cohomología de formas diferenciales invariantes: si G es un grupo de Lie compacto, entonces, según el argumento del promedio ^{[ cita requerida ]} , cualquier forma puede volverse invariante; por tanto, la cohomología de formas diferenciales invariantes no produce nueva información.

Se sabe que la dualidad de Koszul se mantiene entre la cohomología equivariante y la cohomología ordinaria.

Relación con la cohomología grupoide

Para una cohomología equivariante grupoide de Lie de una variedad suave ^[1] es un ejemplo especial de la cohomología grupoide de un grupoide de Lie. Esto se debe a que dado un espacio para un grupo de Lie compacto , hay un grupoide asociado ${\displaystyle {\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{G}=[G\times X\rightrightarrows X]}$

cuyos grupos de cohomología equivariantes se pueden calcular utilizando el complejo de Cartan , que es la totalización del doble complejo de de-Rham del grupoide. Los términos en el complejo de Cartan son ${\displaystyle \Omega _{G}^{\bullet }(X)}$

${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)=\bigoplus _{2k+i=n}({\text{Sym}}^{k}({\mathfrak {g}}^{\vee })\otimes \Omega ^{i}(X))^{G}}$

donde está el álgebra simétrica del álgebra de Lie dual del grupo de Lie , y corresponde a las formas invariantes. Esta es una herramienta particularmente útil para calcular la cohomología de un grupo de Lie compacto , ya que se puede calcular como la cohomología de ${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }({\mathfrak {g}}^{\vee })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (-)^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle [G\rightrightarrows *]}$

donde la acción es trivial en un punto. Entonces,

${\displaystyle H_{dR}^{*}(BG)=\bigoplus _{k\geq 0}{\text{Sym}}^{2k}({\mathfrak {g}}^{\vee })^{G}}$

Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{dR}^{*}(BU(1))&=\bigoplus _{k=0}{\text{Sym}}^{2k}(\mathbb {R} ^{\vee })\\&\cong \mathbb {R} [t]\\&{\text{ where }}\deg(t)=2\end{aligned}}}$

ya que la acción sobre el álgebra de Lie dual es trivial. ${\displaystyle U(1)}$

Cociente de homotopía

El cociente de homotopía , también llamado espacio de órbita de homotopía o construcción de Borel , es una versión "homotópicamente correcta" del espacio de órbita (el cociente de por su acción) en el que primero se reemplaza por un espacio más grande pero equivalente de homotopía para que la acción sea Garantizado que será gratuito . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Con este fin, construya el paquete universal EG → BG para G y recuerde que EG admite una acción G libre . Entonces el producto EG × X —que es homotópico equivalente a X ya que EG es contráctil—admite una acción G “diagonal” definida por ( e , x ). g = ( eg , g ⁻¹ x ): además, esta acción diagonal es libre ya que lo es en EG . Entonces definimos el cociente de homotopía X _G como el espacio orbital ( EG × X )/ G de esta acción G libre .

En otras palabras, el cociente de homotopía es el paquete X asociado sobre BG obtenido de la acción de G sobre un espacio X y el paquete principal EG → BG . Este paquete X → X _G → BG se llama fibración de Borel .

Un ejemplo de cociente de homotopía

El siguiente ejemplo es la Proposición 1 de [1].

Sea X una curva algebraica proyectiva compleja . Identificamos X como un espacio topológico con el conjunto de los puntos complejos , que es una superficie compacta de Riemann . Sea G un grupo de Lie semisimple, complejo, simplemente conexo. Entonces, cualquier paquete G principal en X es isomorfo a un paquete trivial, ya que el espacio de clasificación es conexo en 2 y X tiene dimensión real 2. Fije un paquete G suave en X. Entonces cualquier paquete G principal es isomorfo a . En otras palabras, el conjunto de todas las clases de pares de isomorfismos que consisten en un paquete G principal en X y una estructura analítica compleja en él puede identificarse con el conjunto de estructuras analíticas complejas en o, equivalentemente, el conjunto de conexiones holomorfas en X. (ya que las conexiones son integrables por razones de dimensión). es un espacio afín complejo de dimensión infinita y, por tanto, es contráctil. ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle P_{\text{sm}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{\text{sm}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P_{\text{sm}}}$ ${\displaystyle \Omega }$

Sea el grupo de todos los automorfismos de (es decir, grupo de calibre ). Entonces, el cociente de homotopía de by clasifica los paquetes G principales analíticos complejos (o equivalentemente algebraicos) en X ; es decir, es precisamente el espacio de clasificación del grupo discreto . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle P_{\text{sm}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Se puede definir la pila de módulos de paquetes principales como la pila de cocientes y luego el cociente de homotopía es, por definición, el tipo de homotopía de . ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle [\Omega /{\mathcal {G}}]}$ ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Clases de características equivalentes

Sea E un paquete de vectores equivariante en una variedad G M. Da lugar a un paquete de vectores en el cociente de homotopía de modo que regresa al paquete sobre . Una clase característica equivariante de E es entonces una clase característica ordinaria de , que es un elemento de la finalización del anillo de cohomología . (Para aplicar la teoría de Chern-Weil , se utiliza una aproximación de dimensión finita de EG ). ${\displaystyle {\widetilde {E}}}$ ${\displaystyle EG\times _{G}M}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}=EG\times E}$ ${\displaystyle EG\times M}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}}$ ${\displaystyle H^{*}(EG\times _{G}M)=H_{G}^{*}(M)}$

Alternativamente, se puede definir primero una clase Chern equivariante y luego definir otras clases características como polinomios invariantes de clases Chern como en el caso ordinario; por ejemplo, la clase Todd equivariante de un paquete de líneas equivariante es la función Todd evaluada en la primera clase Chern equivariante del paquete. (Una clase Todd equivariante de un paquete de líneas es una serie de potencias (no un polinomio como en el caso no equivariante) en la primera clase Chern equivariante; por lo tanto, pertenece a la finalización del anillo de cohomología equivariante).

En el caso no equivariante, la primera clase de Chern puede verse como una biyección entre el conjunto de todas las clases de isomorfismo de haces de líneas complejos en una variedad M y ^[2] En el caso equivariante, esto se traduce en: el primer Chern equivariante da una biyección entre el conjunto de todas las clases de isomorfismo de haces de líneas complejas equivariantes y . ${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )}$

Teorema de localización

El teorema de localización es una de las herramientas más poderosas de la cohomología equivariante.

Ver también

• Forma diferencial equivalente
• Mapa de Kirwan
• Fórmula de localización para cohomología equivariante
• Variedad GKM
• cohomología de Bredon

Notas

1. Behrend 2004
2. usando la cohomología de Čech y el isomorfismo dado por el mapa exponencial . ${\displaystyle H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$

Referencias

• Atiyah, Michael ; Bott, Raoul (1984), "El mapa de momentos y cohomología equivariante", Topología , 23 : 1–28, doi : 10.1016/0040-9383(84)90021-1
• Brión, M. (1998). "Cohomología equivariante y teoría de la intersección equivariante" (PDF) . Teorías de la Representación y Geometría Algebraica . Serie OTAN ASI. vol. 514. Saltador. págs. 1–37. arXiv : matemáticas/9802063 . doi :10.1007/978-94-015-9131-7_1. ISBN 978-94-015-9131-7. S2CID  14961018.
• Goresky, Mark ; Kottwitz, Robert ; MacPherson, Robert (1998), "Cohomología equivalente, dualidad de Koszul y teorema de localización", Inventiones Mathematicae , 131 : 25–83, CiteSeerX  10.1.1.42.6450 , doi :10.1007/s002220050197, S2CID  6006856
• Hsiang, Wu-Yi (1975). Teoría de cohomología de grupos de transformación topológica . Saltador. doi :10.1007/978-3-642-66052-8. ISBN 978-3-642-66052-8.
• Tu, Loring W. (marzo de 2011). "¿Qué es... la cohomología equivalente?" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 58 (3): 423–6. arXiv : 1305.4293 .

Relación con las pilas

• Behrend, K. (2004). "Cohomología de pilas" (PDF) . Teoría y módulos de intersección . Notas de conferencias del ICTP. vol. 19. págs. 249–294. ISBN 9789295003286.La página 10 del PDF tiene el resultado principal con ejemplos.

Otras lecturas

• Guillemin, VW; Sternberg, S. (1999). Supersimetría y teoría equivariante de Rham . Saltador. doi :10.1007/978-3-662-03992-2. ISBN 978-3-662-03992-2.
• Vergne, M.; Paycha, S. (1998). "Cohomologie équivariante et théoreme de Stokes" (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad Blaise Pascal.

enlaces externos

• Meinrenken, E. (2006), "Cohomología equivalente y el modelo de Cartan" (PDF) , Enciclopedia de física matemática , págs. 242-250, ISBN 978-0-12-512666-3— Excelente artículo de estudio que describe los conceptos básicos de la teoría y los principales teoremas importantes.
• "Cohomología equivalente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Young Hoon Kiem (2008). "Introducción a la teoría de la cohomología equivariante" (PDF) . Universidad Nacional de Seúl.
• ¿Cuál es la cohomología equivariante de un grupo que actúa sobre sí mismo por conjugación?