Mapa de Kirwan

En geometría diferencial , el mapa de Kirwan , introducido por el matemático británico Frances Kirwan , es el homomorfismo

${\displaystyle H_{G}^{*}(M)\to H^{*}(M/\!/_{p}G)}$

dónde

• ${\displaystyle M}$es un G-espacio hamiltoniano , es decir, una variedad simpléctica actuada por un grupo de Lie G con un mapa de momentos . ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$
• ${\displaystyle H_{G}^{*}(M)}$es el anillo de cohomología equivariante de ; es decir, el anillo de cohomología del cociente de homotopía de por . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle EG\times _{G}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle M/\!/_{p}G=\mu ^{-1}(p)/G}$es el cociente simpléctico de por en un valor central regular de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\in Z({\mathfrak {g}}^{*})}$ ${\displaystyle \mu }$

Se define como el mapa de cohomología equivariante inducida por la inclusión seguida del isomorfismo canónico . ${\displaystyle \mu ^{-1}(p)\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle H_{G}^{*}(\mu ^{-1}(p))=H^{*}(M/\!/_{p}G)}$

Un teorema de Kirwan ^[1] dice que si es compacto , entonces la función es sobreyectiva en coeficientes racionales. El resultado análogo se cumple entre la K-teoría del cociente simpléctico y la K-teoría topológica equivariante de . ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Referencias

1. Kirwan, FC (1984). Cohomología de cocientes en geometría compleja y algebraica. Mathematical Notes. Vol. 31. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-21456-6.
2. Harada, M.; Landweber, G. (2007). "Surjectividad para espacios G hamiltonianos en teoría K". Trans. Amer. Math. Soc . 359 (12): 6001–25. arXiv : math/0503609 . doi :10.1090/S0002-9947-07-04164-5. JSTOR  20161853. S2CID  17690407.