En física teórica , la dualidad T (abreviatura de dualidad espacio-objetivo ) es una equivalencia de dos teorías físicas, que pueden ser teorías cuánticas de campos o teorías de cuerdas . En el ejemplo más simple de esta relación, una de las teorías describe cuerdas que se propagan en un espacio-tiempo con forma de círculo de cierto radio , mientras que la otra teoría describe cuerdas que se propagan en un espacio-tiempo con forma de círculo de radio proporcional a . La idea de T-dualidad fue señalada por primera vez por Bala Sathiapalan en un oscuro artículo de 1987. [1] Las dos teorías de T-dual son equivalentes en el sentido de que todas las cantidades observables en una descripción se identifican con cantidades en la descripción dual. Por ejemplo, el impulso en una descripción toma valores discretos y es igual al número de veces que la cuerda se enrolla alrededor del círculo en la descripción dual.
La idea de T-dualidad se puede extender a teorías más complicadas, incluidas las teorías de supercuerdas . La existencia de estas dualidades implica que teorías de supercuerdas aparentemente diferentes son en realidad físicamente equivalentes. Esto llevó a la comprensión, a mediados de la década de 1990, de que las cinco teorías de supercuerdas consistentes son sólo casos límites diferentes de una única teoría de once dimensiones llamada teoría M.
En general, la T-dualidad relaciona dos teorías con diferentes geometrías espacio-temporales. De esta manera, la dualidad T sugiere un posible escenario en el que las nociones clásicas de geometría se desmoronan en una teoría de la física de escalas de Planck . [2] Las relaciones geométricas sugeridas por la dualidad T también son importantes en matemáticas puras . De hecho, según la conjetura SYZ de Andrew Strominger , Shing-Tung Yau y Eric Zaslow , la dualidad T está estrechamente relacionada con otra dualidad llamada simetría especular , que tiene importantes aplicaciones en una rama de las matemáticas llamada geometría algebraica enumerativa .
La dualidad T es un ejemplo particular de una noción general de dualidad en física. El término dualidad se refiere a una situación en la que dos sistemas físicos aparentemente diferentes resultan ser equivalentes de una manera no trivial. Si dos teorías están relacionadas por una dualidad, significa que una teoría puede transformarse de alguna manera para que termine pareciéndose a la otra teoría. Se dice entonces que las dos teorías son duales entre sí bajo la transformación. Dicho de otra manera, las dos teorías son descripciones matemáticamente diferentes del mismo fenómeno.
Como muchas de las dualidades estudiadas en física teórica, la dualidad T se descubrió en el contexto de la teoría de cuerdas . [3] En la teoría de cuerdas, las partículas no se modelan como puntos de dimensión cero sino como objetos extendidos unidimensionales llamados cuerdas . La física de las cuerdas se puede estudiar en varios números de dimensiones. Además de las tres dimensiones familiares de la experiencia cotidiana (arriba/abajo, izquierda/derecha, adelante/atrás), las teorías de cuerdas pueden incluir una o más dimensiones compactas que están enrolladas en círculos.
Una analogía estándar para esto es considerar un objeto multidimensional como una manguera de jardín. [4] Si la manguera se mira desde una distancia suficiente, parece tener una sola dimensión: su longitud. Sin embargo, cuando uno se acerca a la manguera, descubre que contiene una segunda dimensión, su circunferencia. Así, una hormiga que se arrastrara en su interior se movería en dos dimensiones. Estas dimensiones adicionales son importantes en la dualidad T, que relaciona una teoría en la que las cuerdas se propagan en un círculo de cierto radio con una teoría en la que las cuerdas se propagan en un círculo de radio .
En matemáticas, el número de vueltas de una curva en el plano alrededor de un punto dado es un número entero que representa el número total de veces que esa curva viaja en sentido antihorario alrededor del punto. La noción de número de devanado es importante en la descripción matemática de la dualidad T, donde se utiliza para medir el devanado de cuerdas alrededor de dimensiones adicionales compactas .
Por ejemplo, la imagen siguiente muestra varios ejemplos de curvas en el plano, ilustradas en rojo. Se supone que cada curva es cerrada , lo que significa que no tiene puntos finales y se le permite intersectarse a sí misma. Cada curva tiene una orientación dada por las flechas en la imagen. En cada situación, se distingue un punto en el plano, ilustrado en negro. El número de vueltas de la curva alrededor de este punto distinguido es igual al número total de vueltas en sentido antihorario que da la curva alrededor de este punto.
Al contar el número total de vueltas, las vueltas en el sentido contrario a las agujas del reloj cuentan como positivas, mientras que las vueltas en el sentido de las agujas del reloj cuentan como negativas . Por ejemplo, si la curva primero rodea el origen cuatro veces en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego gira el origen una vez en el sentido de las agujas del reloj, entonces el número total de vueltas de la curva es tres. Según este esquema, una curva que no recorre el punto distinguido en absoluto tiene un número de devanado cero, mientras que una curva que viaja en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto tiene un número de devanado negativo. Por tanto, el número de devanados de una curva puede ser cualquier número entero. Las imágenes de arriba muestran curvas con números de bobinado entre −2 y 3:
Las teorías más simples en las que surge la dualidad T son los modelos sigma bidimensionales con espacios objetivo circulares, es decir, bosones libres compactados . Se trata de teorías cuánticas de campos simples que describen la propagación de cuerdas en un espacio-tiempo imaginario con forma de círculo. Por lo tanto, las cuerdas pueden modelarse como curvas en el plano que están confinadas a formar un círculo, digamos de radio , alrededor del origen . En lo que sigue, se supone que las cadenas están cerradas (es decir, sin puntos finales).
Denota este círculo por . Se puede pensar en este círculo como una copia de la línea real con dos puntos identificados si difieren en un múltiplo de la circunferencia del círculo . De ello se deduce que el estado de una cadena en un momento dado se puede representar como una función de un único parámetro real . Esta función se puede desarrollar en una serie de Fourier como
Aquí se indica el número de enrollamiento de la cuerda alrededor del círculo, y se ha señalado el modo constante de la serie de Fourier. Dado que esta expresión representa la configuración de una cadena en un tiempo fijo, todos los coeficientes ( y el ) también son funciones del tiempo.
Denotemos la derivada temporal del modo constante . Esto representa un tipo de impulso en la teoría. Se puede demostrar, utilizando el hecho de que las cadenas consideradas aquí son cerradas, que este impulso sólo puede tomar valores discretos de la forma para algún número entero . En un lenguaje más físico, se dice que el espectro de impulso está cuantificado .
En la situación descrita anteriormente, la energía total, o hamiltoniana , de la cuerda viene dada por la expresión
Dado que los momentos de la teoría están cuantificados, los dos primeros términos de esta fórmula son , y esta expresión no cambia cuando se reemplaza simultáneamente el radio por e intercambia el número de devanado y el número entero . La sumatoria en la expresión for tampoco se ve afectada por estos cambios, por lo que la energía total no cambia. De hecho, esta equivalencia de los hamiltonianos se reduce a una equivalencia de dos teorías de la mecánica cuántica: una de estas teorías describe cuerdas que se propagan en un círculo de radio , mientras que la otra describe cuerdas que se propagan en un círculo de radio con el momento y los números de devanado intercambiados. Esta equivalencia de teorías es la manifestación más simple de la dualidad T.
Hasta mediados de la década de 1990, los físicos que trabajaban en la teoría de cuerdas creían que había cinco versiones distintas de la teoría: tipo I , tipo IIA , tipo IIB y las dos versiones de la teoría de cuerdas heteróticas ( SO(32) y E 8 × E 8 ). . Las diferentes teorías permiten diferentes tipos de cuerdas y las partículas que surgen a bajas energías exhiben diferentes simetrías.
A mediados de la década de 1990, los físicos notaron que estas cinco teorías de cuerdas en realidad están relacionadas por dualidades muy no triviales. Una de estas dualidades es la dualidad T. Por ejemplo, se demostró que la teoría de cuerdas tipo IIA es equivalente a la teoría de cuerdas tipo IIB a través de la dualidad T y también que las dos versiones de la teoría de cuerdas heteróticas están relacionadas por la dualidad T.
La existencia de estas dualidades demostró que las cinco teorías de cuerdas no eran en realidad todas teorías distintas. En 1995, en la conferencia sobre teoría de cuerdas en la Universidad del Sur de California , Edward Witten hizo la sorprendente sugerencia de que estas cinco teorías eran simplemente límites diferentes de una única teoría ahora conocida como teoría M. [5] La propuesta de Witten se basó en la observación de que diferentes teorías de supercuerdas están vinculadas por dualidades y el hecho de que las teorías de cuerdas heteróticas tipo IIA y E 8 × E 8 están estrechamente relacionadas con una teoría gravitacional llamada supergravedad de once dimensiones . Su anuncio dio lugar a una oleada de trabajos conocidos ahora como la segunda revolución de las supercuerdas .
En teoría de cuerdas y geometría algebraica , el término " simetría especular " se refiere a un fenómeno que involucra formas complicadas llamadas variedades Calabi-Yau . Estas variedades proporcionan una geometría interesante sobre la cual las cuerdas pueden propagarse, y las teorías resultantes pueden tener aplicaciones en la física de partículas . [6] A finales de la década de 1980, se observó que tal variedad Calabi-Yau no determina de forma única la física de la teoría. En cambio, encontramos que hay dos variedades Calabi-Yau que dan lugar a la misma física. [7] Se dice que estas variedades son "espejos" entre sí. Esta dualidad especular es una importante herramienta computacional en la teoría de cuerdas y ha permitido a los matemáticos resolver problemas difíciles en geometría enumerativa . [8]
Un enfoque para comprender la simetría especular es la conjetura SYZ , sugerida por Andrew Strominger , Shing-Tung Yau y Eric Zaslow en 1996. [9] Según la conjetura SYZ, la simetría especular se puede entender dividiendo un complicado Calabi-Yau colector en piezas más simples y considerando los efectos de la dualidad T en estas piezas. [10]
The simplest example of a Calabi–Yau manifold is a torus (a surface shaped like a donut). Such a surface can be viewed as the product of two circles. This means that the torus can be viewed as the union of a collection of longitudinal circles (such as the red circle in the image). There is an auxiliary space which says how these circles are organized, and this space is itself a circle (the pink circle). This space is said to parametrize the longitudinal circles on the torus. In this case, mirror symmetry is equivalent to T-duality acting on the longitudinal circles, changing their radii from to , with the inverse of the string tension.
The SYZ conjecture generalizes this idea to the more complicated case of six-dimensional Calabi–Yau manifolds like the one illustrated above. As in the case of a torus, one can divide a six-dimensional Calabi–Yau manifold into simpler pieces, which in this case are 3-tori (three-dimensional objects which generalize the notion of a torus) parametrized by a 3-sphere (a three-dimensional generalization of a sphere).[11] T-duality can be extended from circles to the three-dimensional tori appearing in this decomposition, and the SYZ conjecture states that mirror symmetry is equivalent to the simultaneous application of T-duality to these three-dimensional tori.[12] In this way, the SYZ conjecture provides a geometric picture of how mirror symmetry acts on a Calabi–Yau manifold.
