Mecánica hamiltoniana

Formulación de la mecánica clásica utilizando momentos.

Sir William Rowan Hamilton

En física , la mecánica hamiltoniana es una reformulación de la mecánica lagrangiana que surgió en 1833. Introducida por Sir William Rowan Hamilton , ^[1] la mecánica hamiltoniana reemplaza las velocidades (generalizadas) utilizadas en la mecánica lagrangiana por momentos (generalizados) . Ambas teorías proporcionan interpretaciones de la mecánica clásica y describen los mismos fenómenos físicos. ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

La mecánica hamiltoniana tiene una estrecha relación con la geometría (en particular, la geometría simpléctica y las estructuras de Poisson ) y sirve como vínculo entre la mecánica clásica y la cuántica .

Descripción general

Coordenadas del espacio de fase ( p , q ) y hamiltoniano H

Sea un sistema mecánico con el espacio de configuración y el lagrangiano suave. Seleccione un sistema de coordenadas estándar en Las cantidades se llaman momentos . (También momentos generalizados , momentos conjugados y momentos canónicos ). Para un instante de tiempo, la transformación de Legendre se define como el mapa que se supone tiene una inversa suave. Para un sistema con grados de libertad, la mecánica lagrangiana define la función de energía ${\displaystyle (M,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.}$$

La transformada de Legendre se convierte en una función conocida como hamiltoniana . El hamiltoniano satisface ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q}},t\right)=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),}$$

coordenadas del espacio de fasecoordenadas canónicas ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$

De la ecuación de Euler-Lagrange a las ecuaciones de Hamilton

En coordenadas del espacio de fase , la ecuación ( -dimensional) de Euler-Lagrange ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}=0}$$

las ecuaciones de Hamilton ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.}$

Prueba

El hamiltoniano es la transformada de Legendre del lagrangiano , por lo que se tiene ${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})={\boldsymbol {p}}{\boldsymbol {\dot {q}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {p}}&={\boldsymbol {\dot {q}}}\\\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {q}}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {q}}\end{aligned}},}$

Además, dado que las ecuaciones de Euler-Lagrange producen ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {p}}/\mathrm {d} t=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {q}}=-\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {q}}.}$

Del principio de acción estacionaria a las ecuaciones de Hamilton

Sea el conjunto de caminos suaves para los cuales y La acción funcional se define mediante ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,}$$

punto estacionario ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))}$

Interpretación física básica

Una interpretación simple de la mecánica hamiltoniana proviene de su aplicación a un sistema unidimensional que consta de una partícula no relativista de masa m . El valor del hamiltoniano es la energía total del sistema, en este caso la suma de la energía cinética y potencial , tradicionalmente denotadas como T y V , respectivamente. Aquí p es el momento mv y q es la coordenada espacial. Entonces ${\displaystyle H(p,q)}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V,\qquad T={\frac {p^{2}}{2m}},\qquad V=V(q)}$$

TpVqTVescleronómicos

En este ejemplo, la derivada temporal de q es la velocidad, por lo que la primera ecuación de Hamilton significa que la velocidad de la partícula es igual a la derivada de su energía cinética con respecto a su momento. La derivada temporal del momento p es igual a la fuerza newtoniana , por lo que la segunda ecuación de Hamilton significa que la fuerza es igual al gradiente negativo de energía potencial.

Ejemplo

Un péndulo esférico consta de una masa m que se mueve sin fricción sobre la superficie de una esfera . Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la reacción de la esfera y la gravedad . Las coordenadas esféricas se utilizan para describir la posición de la masa en términos de ( r , θ , φ ) , donde r es fijo, r = ℓ .

Péndulo esférico : ángulos y velocidades.

El lagrangiano para este sistema es ^[2]

$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\varphi }}^{2}\right)+mg\ell \cos \theta .}$$

Así, el hamiltoniano es

$${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\varphi }{\dot {\varphi }}-L}$$

$${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=m\ell ^{2}{\dot {\theta }}}$$

$${\displaystyle P_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}.}$$

$${\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mg\ell \cos \theta {\Big ]}} _{V}={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta .}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&={P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt]{\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}}$$

momento angularel acimutcoordenada cíclica ${\displaystyle P_{\varphi }}$ ${\displaystyle L_{z}=\ell \sin \theta \times m\ell \sin \theta \,{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Derivando las ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton se pueden derivar mediante un cálculo con el lagrangiano , posiciones generalizadas q ⁱ y velocidades generalizadas. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$⋅qdonde ^yo .^[3]Aquí trabajamosfuera de la estructura, lo que significa que,,soncoordenadas independientes en el espacio de fase, que no están obligadas a seguir ninguna ecuación de movimiento (en particular,no es una derivada de). Eldiferencial totaldel lagrangiano es: ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$ ${\displaystyle q^{i}}$

$${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

${\displaystyle p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {L}}=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,.\end{aligned}}}$$

Después de reordenar se obtiene:

$${\displaystyle \mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

El término entre paréntesis en el lado izquierdo es simplemente el hamiltoniano definido anteriormente, por lo tanto: ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

También se puede calcular el diferencial total del hamiltoniano con respecto a las coordenadas ,, en lugar de ,, dando : ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Ahora podemos equiparar estas dos expresiones , una en términos de y la otra en términos de : ${\displaystyle d{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

$${\displaystyle \sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Dado que estos cálculos son diferentes, se pueden equiparar los coeficientes respectivos de , , en los dos lados: ${\displaystyle \mathrm {d} q^{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} p_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} t}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .}$$

En el caparazón, se sustituyen funciones paramétricas que definen una trayectoria en el espacio de fase con velocidades , obedeciendo las ecuaciones de Lagrange : ${\displaystyle q^{i}=q^{i}(t)}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .}$$

Reorganizar y escribir en términos de on-shell da: ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .}$$

Por tanto, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a las ecuaciones de Hamilton:

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.}$$

En el caso de las ecuaciones independientes del tiempo y , es decir , las de Hamilton constan de 2 n ecuaciones diferenciales de primer orden , mientras que las ecuaciones de Lagrange constan de n ecuaciones de segundo orden. Las ecuaciones de Hamilton generalmente no reducen la dificultad de encontrar soluciones explícitas, pero de ellas se pueden derivar importantes resultados teóricos, porque las coordenadas y los momentos son variables independientes con roles casi simétricos. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0}$

Las ecuaciones de Hamilton tienen otra ventaja sobre las ecuaciones de Lagrange: si un sistema tiene simetría, de modo que alguna coordenada no ocurre en el hamiltoniano (es decir, una coordenada cíclica ), la coordenada de momento correspondiente se conserva a lo largo de cada trayectoria, y esa coordenada se puede reducir a una constante en las otras ecuaciones del conjunto. Esto reduce efectivamente el problema de n coordenadas a ( n − 1) coordenadas: esta es la base de la reducción simpléctica en geometría. En el marco lagrangiano, la conservación del impulso también sigue inmediatamente; sin embargo, todas las velocidades generalizadas todavía ocurren en el marco lagrangiano, y aún debe resolverse un sistema de ecuaciones en n coordenadas. ^[4] ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$

Los enfoques lagrangiano y hamiltoniano proporcionan la base para resultados más profundos en la mecánica clásica y sugieren formulaciones análogas en la mecánica cuántica : la formulación de integral de trayectoria y la ecuación de Schrödinger .

Propiedades del hamiltoniano

• El valor del hamiltoniano es la energía total del sistema si y sólo si la función de energía tiene la misma propiedad. (Ver definición de ). ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• ${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}}$cuando , forma una solución de las ecuaciones de Hamilton. ${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$
  De hecho, y todo excepto el término final se anula. ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$no cambia bajo transformaciones puntuales , es decir, cambios suaves de coordenadas espaciales. (Se deriva de la invariancia de la función de energía bajo transformaciones puntuales. La invariancia de se puede establecer directamente). ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.}$(Ver § Derivación de las ecuaciones de Hamilton ).
• ${\displaystyle -{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}}$. (Compare las ecuaciones de Hamilton y Euler-Lagrange o consulte § Derivación de las ecuaciones de Hamilton ).
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0}$si y solo si . ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0}$
  Una coordenada para la cual se cumple la última ecuación se llama cíclica (o ignorable ). Cada coordenada cíclica reduce el número de grados de libertad en , hace que se conserve el momento correspondiente y hace que las ecuaciones de Hamilton sean más fáciles de resolver. ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Hamiltoniano como energía total del sistema.

En su aplicación a un sistema dado, el hamiltoniano a menudo se considera

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$$

donde está la energía cinética y es la energía potencial. Usar esta relación puede ser más sencillo que calcular primero el lagrangiano y luego derivar el hamiltoniano del lagrangiano. Sin embargo, la relación no es cierta para todos los sistemas. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

La relación es válida para sistemas no relativistas cuando se satisfacen todas las condiciones siguientes ^{[5] [6]}

$${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$

$${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}}$$

donde es el tiempo, es el número de grados de libertad del sistema y cada uno es una función escalar arbitraria de . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c_{ij}({\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

En palabras, esto significa que la relación es verdadera si no contiene el tiempo como variable explícita (es escleronómica ), no contiene la velocidad generalizada como variable explícita y cada término de es cuadrático en velocidad generalizada. ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$

Prueba

Antes de esta demostración, es importante abordar una ambigüedad en la notación matemática relacionada. Si bien se puede utilizar un cambio de variables para igualar , es importante señalarlo . En este caso, el lado derecho siempre se evalúa como 0. Para realizar un cambio de variables dentro de una derivada parcial, se debe utilizar la regla de la cadena multivariable . Por tanto, para evitar ambigüedades, se deben indicar los argumentos de función de cualquier término dentro de una derivada parcial. ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)={\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\neq {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$

Además, esta prueba utiliza la notación para implicar que . ${\displaystyle f(a,b,c)=f(a,b)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f(a,b,c)}{\partial c}}=0}$

Prueba

A partir de las definiciones del hamiltoniano, de los momentos generalizados y del lagrangiano para un sistema de grados de libertad ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}p_{i}{\dot {q}}_{i}{\biggr )}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$

$${\displaystyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$

Sustituyendo los momentos generalizados en el hamiltoniano se obtiene

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$

Sustituyendo el lagrangiano en el resultado se obtiene

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-\left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)+V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\end{aligned}}}$$

Ahora supongamos que

$${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i}$$

y también asumir que

$${\displaystyle {\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$

La aplicación de estos supuestos da como resultado

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}}$$

A continuación supongamos que T es de la forma

$${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}}$$

donde cada uno es una función escalar arbitraria de . ${\displaystyle c_{ij}({\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

Diferenciando esto con respecto a , , se obtiene ${\displaystyle {\dot {q}}_{l}}$ ${\displaystyle l\in [1,n]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial \left[c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\end{aligned}}}$$

Dividir la suma, evaluar la derivada parcial y volver a unir la suma da

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}^{2}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}\\&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}0{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}+2c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}}$$

Sumar (esto multiplicado por ) da como resultado ${\displaystyle {\dot {q}}_{l}}$ ${\displaystyle l}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\dot {q}}_{l}\right)&=\sum _{l=1}^{n}\left(\left(\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\right){\dot {q}}_{l}\right)\\&=\sum _{l=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\end{aligned}}}$$

Esta simplificación es el resultado del teorema de la función homogénea de Euler .

Por tanto, el hamiltoniano se convierte en

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}}$$

Aplicación a sistemas de masas puntuales.

Para un sistema de masas puntuales, el requisito de que sea cuadrático en velocidad generalizada siempre se cumple en el caso en que , que es un requisito de todos modos. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$

Prueba

Considere la energía cinética de un sistema de N masas puntuales. Si se supone que , entonces se puede demostrar que (Ver Aplicación Esclerónoma § ). Por lo tanto, la energía cinética es ${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$

$${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\biggl (}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}){\biggr )}}$$

La regla de la cadena para muchas variables se puede utilizar para expandir la velocidad.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {d\mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{dt}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\end{aligned}}}$$

Resultando en

$${\displaystyle {\begin{aligned}T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(m_{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)\right)\right)\\&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}}$$

Esto es de la forma requerida.

Conservacion de energia

Si se cumplen las condiciones para , entonces la conservación del hamiltoniano implica conservación de energía. Esto requiere la condición adicional de que no contenga el tiempo como variable explícita. ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$

Con respecto a la formulación extendida de Euler-Lagrange (Ver Mecánica lagrangiana § Extensiones para incluir fuerzas no conservativas ), la función de disipación de Rayleigh representa la disipación de energía por naturaleza. Por tanto, la energía no se conserva cuando . Esto es similar al potencial dependiente de la velocidad. ${\displaystyle R\neq 0}$

En resumen, los requisitos que debe cumplir un sistema no relativista son ^{[5] [6]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V={\text{constant of time}}}$

1. ${\displaystyle V=V({\boldsymbol {q}})}$
2. ${\displaystyle T=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$
3. ${\displaystyle T}$es una función cuadrática homogénea en ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}}$

Hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético.

Una ilustración suficiente de la mecánica hamiltoniana la proporciona el hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético . En coordenadas cartesianas, el lagrangiano de una partícula clásica no relativista en un campo electromagnético es (en unidades SI ):

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi ,}$$

qcarga eléctricaφpotencial escalar eléctricoAi _sonpotencial del vector magnético ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Este lagrangiano, combinado con la ecuación de Euler-Lagrange , produce la ley de fuerza de Lorentz.

$${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$$

acoplamiento mínimo

Los momentos canónicos están dados por:

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}.}$$

El hamiltoniano, como transformación de Legendre del lagrangiano, es por tanto:

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi .}$$

Esta ecuación se utiliza frecuentemente en mecánica cuántica .

Transformación bajo calibre :

$${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$$

f ( r , t )

$${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$$

En mecánica cuántica, la función de onda también sufrirá una transformación de grupo U(1) local ^[7] durante la Transformación de Gauge, lo que implica que todos los resultados físicos deben ser invariantes bajo transformaciones U(1) locales.

Partícula cargada relativista en un campo electromagnético.

El lagrangiano relativista para una partícula ( masa en reposo y carga ) viene dado por: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$$

Por tanto, el momento canónico de la partícula es

$${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$$

Resolviendo para la velocidad, obtenemos

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$$

Entonces el hamiltoniano es

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$$

Esto da como resultado la ecuación de fuerza (equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange )

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$$

La derivación anterior hace uso de la identidad del cálculo vectorial :

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$$

Una expresión equivalente para el hamiltoniano en función del momento relativista (cinético), es ${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A} }$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$$

Esto tiene la ventaja de que el momento cinético se puede medir experimentalmente, mientras que el momento canónico no. Observe que el hamiltoniano ( energía total ) puede verse como la suma de la energía relativista (cinética+reposo) , más la energía potencial . ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$ ${\displaystyle V=q\varphi }$

De la geometría simpléctica a las ecuaciones de Hamilton

Geometría de los sistemas hamiltonianos.

El hamiltoniano puede inducir una estructura simpléctica en una variedad uniforme de dimensiones pares M ^{2 n} de varias formas equivalentes, siendo la más conocida la siguiente: ^[8]

Como una forma 2 simpléctica cerrada no degenerada ω . Según el teorema de Darboux , en una pequeña vecindad alrededor de cualquier punto de M existen coordenadas locales adecuadas ( coordenadas canónicas o simplécticas ) en las que la forma simpléctica se convierte en:   ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}$

$${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}\,.}$$

isomorfismo naturalespacio tangenteespacio cotangentebilinealidadisomorfismo linealnatural ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$ ${\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )}$ ${\displaystyle \eta \in T_{x}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M)}$

$${\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}$$

(En términos algebraicos, se diría que los módulos -y son isomorfos). Si , entonces, para cada fijo , y . Se conoce como campo vectorial hamiltoniano . La ecuación diferencial respectiva en ${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t}}$ ${\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M)}$ ${\displaystyle J(dH)}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}$$

ecuación de Hamilton ${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}$ ${\displaystyle J(dH)}$ ${\displaystyle x\in M}$

Un sistema hamiltoniano puede entenderse como un haz de fibras E en el tiempo R , siendo la fibra E _t el espacio de posición en el tiempo t ∈ R. El lagrangiano es, por tanto, una función del haz de chorros J sobre E ; tomar la transformada de Legendre por fibras del lagrangiano produce una función en el paquete dual a lo largo del tiempo cuya fibra en t es el espacio cotangente T ^∗ E _t , que viene equipado con una forma simpléctica natural , y esta última función es el hamiltoniano. La correspondencia entre la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana se logra con la forma única tautológica .

Cualquier función H suave de valor real en una variedad simpléctica se puede utilizar para definir un sistema hamiltoniano . La función H se conoce como "la hamiltoniana" o "la función de energía". La variedad simpléctica se denomina entonces espacio de fases . El hamiltoniano induce un campo vectorial especial en la variedad simpléctica, conocido como campo vectorial hamiltoniano .

El campo vectorial hamiltoniano induce un flujo hamiltoniano en la variedad. Esta es una familia de transformaciones de la variedad de un solo parámetro (el parámetro de las curvas se llama comúnmente "el tiempo"); es decir, una isotopía de simplectomorfismos , empezando por la identidad. Según el teorema de Liouville , cada simplectomorfismo conserva la forma del volumen en el espacio de fases . El conjunto de simplectomorfismos inducidos por el flujo hamiltoniano se denomina comúnmente "la mecánica hamiltoniana" del sistema hamiltoniano.

La estructura simpléctica induce un corchete de Poisson . El corchete de Poisson le da al espacio de funciones en la variedad la estructura de un álgebra de Lie .

Si F y G son funciones suaves en M, entonces la función suave ω ( J ( dF ), J ( dG )) está definida correctamente; se llama grupo de Poisson de funciones F y G y se denota { F , G } . El soporte de Poisson tiene las siguientes propiedades:

1. bilinealidad
2. antisimetría
3. Regla de Leibniz : ${\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}$
4. Identidad Jacobi : ${\displaystyle \{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}$
5. no degeneración: si el punto x en M no es crítico para F, entonces existe una función suave G tal que . ${\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}$

Dada una función f

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}$$

distribución de probabilidad ρ ${\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}}$$

Esto se llama teorema de Liouville . Cada función suave G sobre la variedad simpléctica genera una familia de simplectomorfismos de un parámetro y si { G , H } = 0 , entonces G se conserva y los simplectomorfismos son transformaciones de simetría .

Un hamiltoniano puede tener múltiples cantidades conservadas G _i . Si la variedad simpléctica tiene dimensión 2 n y hay n cantidades conservadas funcionalmente independientes G _i que están en involución (es decir, { G _i , G _j } = 0 ), entonces el hamiltoniano es integrable de Liouville . El teorema de Liouville-Arnold dice que, localmente, cualquier hamiltoniano integrable de Liouville puede transformarse mediante un simplectomorfismo en un nuevo hamiltoniano con las cantidades conservadas G _i como coordenadas; las nuevas coordenadas se llaman coordenadas de ángulo de acción . El hamiltoniano transformado depende sólo de G _i y, por tanto, las ecuaciones de movimiento tienen la forma simple

$${\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}$$

F^[9]teorema KAM

La integrabilidad de los campos vectoriales hamiltonianos es una cuestión abierta. En general, los sistemas hamiltonianos son caóticos ; Los conceptos de medida, integridad, integrabilidad y estabilidad están mal definidos.

variedades de Riemann

Un caso especial importante lo constituyen aquellos hamiltonianos que son formas cuadráticas , es decir, hamiltonianos que pueden escribirse como

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}$$

⟨, ⟩ _qproducto internofibras T^∗
_qQ espacio cotangente q espacio de configuración término cinético

Si se considera una variedad de Riemann o una variedad pseudo-riemanniana , la métrica de Riemann induce un isomorfismo lineal entre los paquetes tangente y cotangente. (Ver Isomorfismo musical ). Usando este isomorfismo, se puede definir una cometrica. (En coordenadas, la matriz que define la comética es la inversa de la matriz que define la métrica). Las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para este hamiltoniano son entonces las mismas que las geodésicas de la variedad. En particular, el flujo hamiltoniano en este caso es lo mismo que el flujo geodésico . La existencia de tales soluciones y la integridad del conjunto de soluciones se analizan en detalle en el artículo sobre geodésicas . Véase también Geodésicas como flujos hamiltonianos .

Variedades subriemannianas

Cuando la cometrica es degenerada, entonces no es invertible. En este caso, no se tiene una variedad de Riemann, como tampoco se tiene una métrica. Sin embargo, el hamiltoniano todavía existe. En el caso en que la cometrica sea degenerada en cada punto q de la variedad espacial de configuración Q , de modo que el rango de la cometrica sea menor que la dimensión de la variedad Q , se tiene una variedad subriemanniana .

El hamiltoniano en este caso se conoce como hamiltoniano subriemanniano . Cada uno de estos hamiltonianos determina de forma única la cometrica y viceversa. Esto implica que cada variedad subriemanniana está determinada únicamente por su hamiltoniano subriemanniano, y que lo contrario es cierto: cada variedad subriemanniana tiene un hamiltoniano subriemanniano único. La existencia de geodésicas subriemannianas viene dada por el teorema de Chow-Rashevskii .

El grupo de Heisenberg continuo y de valor real proporciona un ejemplo simple de variedad subriemanniana. Para el grupo de Heisenberg, el hamiltoniano viene dado por

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right).}$$

p _z

Álgebras de Poisson

Los sistemas hamiltonianos se pueden generalizar de varias maneras. En lugar de simplemente observar el álgebra de funciones suaves sobre una variedad simpléctica , la mecánica hamiltoniana se puede formular sobre álgebras de Poisson reales unitales conmutativas generales . Un estado es un funcional lineal continuo en el álgebra de Poisson (equipado con alguna topología adecuada ) tal que para cualquier elemento A del álgebra, A ² se asigna a un número real no negativo.

Una generalización adicional la da la dinámica de Nambu .

Generalización a la mecánica cuántica mediante el corchete de Poisson.

Las ecuaciones de Hamilton anteriores funcionan bien para la mecánica clásica , pero no para la mecánica cuántica , ya que las ecuaciones diferenciales analizadas suponen que se puede especificar la posición exacta y el momento de la partícula simultáneamente en cualquier momento. Sin embargo, las ecuaciones pueden generalizarse aún más para luego extenderse y aplicarse tanto a la mecánica cuántica como a la mecánica clásica, mediante la deformación del álgebra de Poisson sobre p y q al álgebra de corchetes de Moyal .

Específicamente, la forma más general de la ecuación de Hamilton lee

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}},}$$

fpqHcorchete de PoissonÁlgebra de Lieálgebra de Poissoncorchetes de MoyalHilbrand J. GroenewoldFormulación del espacio de fasestransformada de Wigner-Weyllas distribuciones de probabilidadespacio de fasedistribuciones de cuasi probabilidad de Wigner , sino que, en la configuración clásica del simple corchete de Poisson, también proporciona más poder para ayudar a analizar las cantidades conservadas

Ver también

• Transformación canónica
• Teoría clásica de campos
• Teoría de campos hamiltonianos
• Teoría de campos hamiltonianos covariantes
• Mecanica clasica
• Teoría de sistemas dinámicos
• sistema hamiltoniano
• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein
• Mecánica lagrangiana
• ecuaciones de maxwell
• Hamiltoniano (mecánica cuántica)
• Ecuaciones cuánticas de Hamilton
• Teoría cuántica de campos
• Óptica hamiltoniana
• Teoría de De Donder-Weyl
• Mecánica geométrica
• Mecánica rutina
• mecanica nambu
• Mecánica de fluidos hamiltoniana
• Campo vectorial hamiltoniano

Referencias

1. Hamilton, William Rowan, señor (1833). Sobre un método general para expresar las trayectorias de la luz y de los planetas mediante los coeficientes de una función característica. Impreso por PD Hardy. OCLC  68159539.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Landau y Lifshitz 1976, págs. 33-34
3. Esta derivación sigue la línea indicada en Arnol'd 1989, págs. 65–66.
4. Goldstein, Poole y Safko 2002, págs. 347–349
5. Malham 2016, págs. 49–50
6. Landau y Lifshitz 1976, pág. 14
7. Zinn-Justin, Jean; Guida, Ricardo (4 de diciembre de 2008). "Invariancia de calibre". Scholarpedia . 3 (12): 8287. Código bibliográfico : 2008SchpJ...3.8287Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN  1941-6016.
8. Arnol'd, Kozlov y Neĩshtadt 1988, §3. Mecánica hamiltoniana.
9. Arnold'd, Kozlov y Neĩshtadt 1988

Otras lecturas

• Landau, Lev Davidovich ; Lifshitz, Evgenii Mikhailovich (1976). Mecánica. Curso de Física Teórica . vol. 1. Sykes, JB (John Bradbury), Bell, JS (3ª ed.). Oxford. ISBN 0-08-021022-8. OCLC  2591126.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Abraham, R .; Marsden, JE (1978). Fundamentos de la mecánica (2ª ed., rev., enl. y reiniciada ed.). Reading, Mass.: Benjamin/Cummings Pub. ISBN del condado 0-8053-0102-X. OCLC  3516353.
• Arnold, VI ; Kozlov, VV; Neĩshtadt, AI (1988). "Aspectos matemáticos de la mecánica clásica y celeste". Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, Sistemas Dinámicos III. vol. 3. Anosov, DV Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2. OCLC  16404140.
• Arnold'd, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC  18681352.
• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P. Jr.; Safko, John L. (2002). Mecánica clásica (3ª ed.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 0-201-31611-0. OCLC  47056311.
• Vinogradov, AM ; Kupershmidt, Licenciado en Letras (31 de agosto de 1977). "La estructura de la mecánica hamiltoniana". Encuestas matemáticas rusas . 32 (4): 177–243. Código bibliográfico : 1977RuMaS..32..177V. doi :10.1070/RM1977v032n04ABEH001642. ISSN  0036-0279. S2CID  250805957.

enlaces externos

• Binney, James J. , Mecánica clásica (notas de la conferencia) (PDF) , Universidad de Oxford , consultado el 27 de octubre de 2010
• Tong, David , Classical Dynamics (apuntes de conferencias de Cambridge), Universidad de Cambridge , consultado el 27 de octubre de 2010
• Hamilton, William Rowan , Sobre un método general en dinámica, Trinity College Dublin
• Malham, Simon JA (2016), Introducción a la mecánica lagrangiana y hamiltoniana (notas de la conferencia) (PDF)
• Morin, David (2008), Introducción a la mecánica clásica (material adicional: el método hamiltoniano) (PDF)