modelo sigma

Teoría de campo de una partícula puntual confinada a moverse en una variedad fija

En física , un modelo sigma es una teoría de campo que describe el campo como una partícula puntual confinada a moverse en una variedad fija. Esta variedad puede considerarse cualquier variedad de Riemann , aunque lo más común es que sea un grupo de Lie o un espacio simétrico . El modelo puede estar cuantificado o no. Un ejemplo de la versión no cuantificada es el modelo Skyrme ; no se puede cuantificar debido a no linealidades de potencia mayores que 4. En general, los modelos sigma admiten soluciones topológicas de solitones (clásicas), por ejemplo, el Skyrmion para el modelo Skyrme. Cuando el campo sigma se acopla a un campo calibre, el modelo resultante se describe mediante la teoría de Ginzburg-Landau . Este artículo está dedicado principalmente a la teoría de campos clásica del modelo sigma; La teoría cuantificada correspondiente se presenta en el artículo titulado " Modelo sigma no lineal ".

Descripción general

El nombre tiene sus raíces en la física de partículas, donde un modelo sigma describe las interacciones de piones . Desafortunadamente, el "mesón sigma" no está descrito en el modelo sigma, sino sólo un componente del mismo. ^[1]

El modelo sigma fue introducido por Gell-Mann y Lévy (1960, sección 5); El nombre modelo σ proviene de un campo en su modelo correspondiente a un mesón sin espín llamado σ , un mesón escalar introducido anteriormente por Julian Schwinger . ^[2] El modelo sirvió como el prototipo dominante de la ruptura espontánea de la simetría de O(4) hasta O(3): los tres generadores axiales rotos son la manifestación más simple de la ruptura de la simetría quiral , el O(3) intacto superviviente representa el isospin .

En entornos de física de partículas convencionales , el campo generalmente se considera SU(N) , o el subespacio vectorial del cociente del producto de los campos quirales izquierdo y derecho. En las teorías de la materia condensada , el campo se considera O(N) . Para el grupo de rotación O (3), el modelo sigma describe el ferroimán isotrópico ; De manera más general, el modelo O(N) aparece en el efecto Hall cuántico , el helio-3 superfluido y las cadenas de espín . ${\displaystyle (SU(N)_{L}\times SU(N)_{R})/SU(N)}$

En los modelos de supergravedad , el campo se considera un espacio simétrico . Dado que los espacios simétricos se definen en términos de su involución , su espacio tangente se divide naturalmente en subespacios de paridad pares e impares. Esta división ayuda a impulsar la reducción dimensional de las teorías de Kaluza-Klein .

En su forma más básica, el modelo sigma puede considerarse puramente la energía cinética de una partícula puntual; como campo, esto es simplemente la energía de Dirichlet en el espacio euclidiano.

En dos dimensiones espaciales, el modelo O(3) es completamente integrable .

Definición

La densidad lagrangiana del modelo sigma se puede escribir de diversas formas, cada una adecuada para un tipo particular de aplicación. La definición más simple y genérica escribe el lagrangiano como la traza métrica del retroceso del tensor métrico en una variedad de Riemann . Para un campo sobre un espacio-tiempo , esto puede escribirse como ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$

donde es el tensor métrico en el espacio de campo , y son las derivadas en la variedad espacio-temporal subyacente . ${\displaystyle g_{ij}(\phi )}$ ${\displaystyle \phi \in \Phi }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

Esta expresión se puede descomprimir un poco. El espacio de campo se puede elegir para que sea cualquier variedad de Riemann . Históricamente, este es el "sigma" del modelo sigma; Aquí se evita el símbolo históricamente apropiado para evitar conflictos con muchos otros usos comunes de en geometría. Las variedades de Riemann siempre vienen con un tensor métrico . Dado un atlas de cartas en , el espacio de campo siempre puede trivializarse localmente , en el sentido de que, dado en el atlas, se puede escribir un mapa que proporcione coordenadas locales explícitas en ese parche. El tensor métrico en ese parche es una matriz que tiene componentes ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U\subset \Phi }$ ${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi =(\phi ^{1},\cdots ,\phi ^{n})}$ ${\displaystyle g_{ij}(\phi ).}$

La variedad base debe ser una variedad diferenciable ; por convención, es el espacio de Minkowski en aplicaciones de física de partículas , el espacio euclidiano bidimensional plano para aplicaciones de materia condensada , o una superficie de Riemann , la hoja mundial en teoría de cuerdas . Es simplemente la antigua derivada covariante de la variedad espacio-temporal base. Cuando es plano, es simplemente el gradiente ordinario de una función escalar (como lo es un campo escalar, desde el punto de vista de sí mismo). En un lenguaje más preciso, es un sección del haz de chorro de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\partial \phi /\partial x^{\mu }}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\nabla \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi }$ ${\displaystyle M\times \Phi }$

Ejemplo: modelo sigma no lineal O(N)

Tomando el delta de Kronecker , es decir, el producto escalar escalar en el espacio euclidiano, se obtiene el modelo sigma no lineal. Es decir, escriba como el vector unitario en , de modo que , con el producto escalar euclidiano ordinario. Luego la esfera , cuyas isometrías son el grupo de rotación . El lagrangiano entonces se puede escribir como ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle \phi ={\hat {u}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\hat {u}}\cdot {\hat {u}}=1}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\hat {u}}\in S^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }{\hat {u}}\cdot \nabla _{\mu }{\hat {u}}}$

Porque , este es el límite continuo del ferromagnet isotrópico en una red, es decir, del modelo clásico de Heisenberg . Porque este es el límite continuo del modelo XY clásico . Véase también el modelo de n vectores y el modelo de Potts para revisiones de los equivalentes del modelo de red . El límite continuo se toma escribiendo ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}](i,j)={\frac {{\hat {u}}_{i}-{\hat {u}}_{j}}{h}}}$

como la diferencia finita en ubicaciones de red vecinas Luego, en el límite , y después de eliminar los términos constantes (la "magnetización masiva"). ${\displaystyle i,j.}$ ${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}]\to \partial _{\mu }{\hat {u}}}$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{j}\to \partial _{\mu }{\hat {u}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {u}}}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{i}=1}$

En notación geométrica

El modelo sigma también se puede escribir en una notación más completamente geométrica, como un haz de fibras con fibras sobre una variedad diferenciable . Dada una sección , fija un punto. El avance en es un mapa de paquetes tangentes. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$ ${\displaystyle x\in M.}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{x}\phi :T_{x}M\to T_{\phi (x)}\Phi \quad }$tomando ${\displaystyle \quad \partial _{\mu }\mapsto {\frac {\partial \phi ^{i}}{\partial x^{\mu }}}\partial _{i}}$

donde se considera una base del espacio vectorial ortonormal y la base del espacio vectorial . La es una forma diferencial . La acción del modelo sigma es entonces simplemente el producto interno convencional en formas k con valores vectoriales ${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \partial _{i}=\partial /\partial q^{i}}$ ${\displaystyle T\Phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$

donde es el producto de la cuña y es la estrella de Hodge . Este es un producto interno de dos maneras diferentes. En la primera forma, dadas dos formas diferenciables cualesquiera en , el dual de Hodge define un producto interno invariante en el espacio de formas diferenciales, comúnmente escrito como ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle \ =\ \int _{M}\alpha \wedge {*\beta }}$

Lo anterior es un producto interno en el espacio de formas cuadradas integrables, convencionalmente considerado como el espacio de Sobolev. De esta manera, se puede escribir ${\displaystyle L^{2}.}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \mathrm {d} \phi ,\mathrm {d} \phi \rangle \!\rangle }$

Esto hace explícito y claramente evidente que el modelo sigma es simplemente la energía cinética de una partícula puntual. Desde el punto de vista de la variedad , el campo es un escalar y, por lo tanto, puede reconocerse simplemente como el gradiente ordinario de una función escalar. La estrella Hodge es simplemente un elegante dispositivo para realizar un seguimiento de la forma del volumen cuando se integra en el espacio-tiempo curvo. En el caso de que sea plano, se puede ignorar por completo, por lo que la acción es ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\Vert \nabla \phi \Vert ^{2}d^{m}x}$

que es la energía de Dirichlet de . Los extremos clásicos de la acción (las soluciones de las ecuaciones de Lagrange ) son entonces aquellas configuraciones de campo que minimizan la energía de Dirichlet . Otra forma de convertir esta expresión a una forma más fácilmente reconocible es observar que, para una función escalar, se tiene y por lo tanto también se puede escribir ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} *f=0}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

¿Dónde está el operador de Laplace-Beltrami , es decir, el laplaciano ordinario cuando es plano? ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M}$

Que haya otro segundo producto interno en juego simplemente requiere no olvidar que es un vector desde el punto de vista de sí mismo. Es decir, dados dos vectores cualesquiera , la métrica de Riemann define un producto interno ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle v,w\in T\Phi }$ ${\displaystyle g_{ij}}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}}$

Dado que en los gráficos locales tiene un valor vectorial , también se lleva allí el producto interno. Más detalladamente, ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi =(\mathrm {d} \phi ^{1},\cdots ,\mathrm {d} \phi ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi ^{j}}}$

La tensión entre estos dos productos internos se puede hacer aún más explícita si se observa que

${\displaystyle B_{\mu \nu }(\phi )=g_{ij}\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial _{\nu }\phi ^{j}}$

es una forma bilineal ; es un retroceso de la métrica de Riemann . El individuo puede ser tomado como vielbeins . La densidad lagrangiana del modelo sigma es entonces ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }B_{\mu \nu }}$

para la métrica en Dado este pegado, se puede interpretar como una forma de soldadura ; esto se articula más completamente a continuación. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

Motivaciones e interpretaciones básicas.

Se pueden hacer varias observaciones interpretativas y fundamentales sobre el modelo sigma clásico (no cuantificado). La primera de ellas es que el modelo sigma clásico puede interpretarse como un modelo de mecánica cuántica de no interacción. El segundo se refiere a la interpretación de la energía.

Interpretación como mecánica cuántica.

Esto se deriva directamente de la expresión

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

dado anteriormente. Tomando , la función puede interpretarse como una función de onda , y su laplaciano es la energía cinética de esa función de onda. Es solo una maquinaria geométrica que recuerda a uno integrarse en todo el espacio. La notación mecánica cuántica correspondiente es. En el espacio plano, el laplaciano se escribe convencionalmente como . Al ensamblar todas estas piezas, la acción del modelo sigma equivale a ${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle \!\langle \cdot ,\cdot \rangle \!\rangle }$ ${\displaystyle \phi =|\psi \rangle .}$ ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\langle \psi |\nabla ^{2}|\psi \rangle dx^{m}={\frac {1}{2}}\int _{M}\psi ^{\dagger }(x)\nabla ^{2}\psi (x)dx^{m}}$

que es simplemente la energía cinética total de la función de onda , hasta un factor de . En conclusión, el modelo sigma clásico puede interpretarse como la mecánica cuántica de una partícula cuántica libre que no interactúa. Obviamente, agregar un término de al lagrangiano da como resultado la mecánica cuántica de una función de onda en un potencial. Tomar no es suficiente para describir el sistema de partículas, ya que las partículas requieren coordenadas distintas, que no son proporcionadas por la variedad base. Esto se puede solucionar tomando copias del colector base. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \hbar /m}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V(\phi )}$ ${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

La forma de soldadura

Es muy conocido que la estructura geodésica de una variedad de Riemann se describe mediante las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . ^[3] En forma de miniatura, la construcción es la siguiente. Ambos y son variedades de Riemann; lo siguiente está escrito para , se puede hacer lo mismo para . El paquete cotangente , suministrado con los gráficos de coordenadas , siempre puede trivializarse localmente , es decir ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}\Phi }$

${\displaystyle \left.T^{*}\Phi \right|_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{n}}$

La trivialización proporciona coordenadas canónicas en el paquete cotangente. Dado el tensor métrico de , defina la función hamiltoniana ${\displaystyle (q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$

donde, como siempre, hay que tener cuidado de señalar que en esta definición se utiliza la inversa de la métrica: es famoso que el flujo geodésico viene dado por las ecuaciones de Hamilton-Jacobi ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad }$y ${\displaystyle \quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}}$

El flujo geodésico es el flujo hamiltoniano ; las soluciones a lo anterior son las geodésicas de la variedad. Tenga en cuenta, dicho sea de paso, que a lo largo de las geodésicas; el parámetro de tiempo es la distancia a lo largo de la geodésica. ${\displaystyle dH/dt=0}$ ${\displaystyle t}$

El modelo sigma toma los momentos en los dos colectores y los suelda entre sí, en una forma de soldadura . En este sentido, no sorprende la interpretación del modelo sigma como un funcional energético; de hecho, es la unión de dos funcionales energéticos. Precaución: la definición precisa de forma de soldadura requiere que sea un isomorfismo; esto sólo puede suceder si y tienen la misma dimensión real. Además, la definición convencional de forma de soldadura es un grupo de Lie. Ambas condiciones se cumplen en diversas aplicaciones. ${\displaystyle T^{*}\Phi }$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Resultados en varios espacios.

A menudo se considera que el espacio es un grupo de Lie , generalmente SU(N) , en los modelos convencionales de física de partículas, O(N) en las teorías de la materia condensada, o como un espacio simétrico en los modelos de supergravedad . Dado que los espacios simétricos se definen en términos de su involución , su espacio tangente (es decir, el lugar donde vive) se divide naturalmente en subespacios de paridad pares e impares. Esta división ayuda a impulsar la reducción dimensional de las teorías de Kaluza-Klein . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

Grupos de En mentira

Para el caso especial de ser un grupo de Lie , es el tensor métrico del grupo de Lie, formalmente llamado tensor de Cartan o forma Killing . El lagrangiano puede entonces escribirse como el retroceso de la forma Killing. Tenga en cuenta que la forma Killing se puede escribir como una traza sobre dos matrices del álgebra de Lie correspondiente ; por tanto, el lagrangiano también se puede escribir en una forma que implique la traza. Con ligeras reorganizaciones, también se puede escribir como el retroceso de la forma Maurer-Cartan . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle g_{ij}}$

En espacios simétricos

Una variación común del modelo sigma es presentarlo en un espacio simétrico . El ejemplo prototípico es el modelo quiral , que toma el producto

${\displaystyle G=SU(N)\times SU(N)}$

de los campos quirales "izquierdo" y "derecho", y luego construye el modelo sigma en la "diagonal"

${\displaystyle \Phi ={\frac {SU(N)\times SU(N)}{SU(N)}}}$

Tal espacio cociente es un espacio simétrico, por lo que se puede tomar genéricamente dónde está el subgrupo máximo de eso que es invariante bajo la involución de Cartan . El lagrangiano todavía se escribe exactamente como el anterior, ya sea en términos del retroceso de la métrica sobre una métrica o como un retroceso de la forma Maurer-Cartan. ${\displaystyle \Phi =G/H}$ ${\displaystyle H\subset G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$

Notación de seguimiento

En física, la afirmación más común y convencional del modelo sigma comienza con la definición

${\displaystyle L_{\mu }=\pi _{\mathfrak {m}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

Aquí, el es el retroceso de la forma Maurer-Cartan , para , hacia la variedad espacio-temporal. Es una proyección sobre la pieza de paridad impar de la involución de Cartan. Es decir, dada el álgebra de Lie de , la involución descompone el espacio en componentes de paridad pares e impares correspondientes a los dos estados propios de la involución. El modelo sigma Lagrangiano se puede escribir como ${\displaystyle g^{-1}\partial _{\mu }g}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \pi _{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$

Esto se reconoce instantáneamente como el primer término del modelo Skyrme .

forma métrica

La forma métrica equivalente de esto es escribir un elemento de grupo como la geodésica de un elemento del álgebra de Lie . Son los elementos básicos del álgebra de Lie; son las constantes de estructura de . ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g=\exp(\theta ^{i}T_{i})}$ ${\displaystyle \theta ^{i}T_{i}\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [T_{i},T_{j}]={f_{ij}}^{k}T_{k}}$ ${\displaystyle {f_{ij}}^{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Conectando esto directamente a lo anterior y aplicando la forma infinitesimal de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se obtiene rápidamente la expresión equivalente.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}={\frac {1}{2}}\;{W_{i}}^{m}{W^{n}}_{j}\;\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}\;\;\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$

donde ahora es obviamente (proporcional a) la forma Killing, y son los vielbeins que expresan la métrica "curva" en términos de la métrica "plana" . El artículo sobre la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff proporciona una expresión explícita para los vielbeins. Se pueden escribir como ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$ ${\displaystyle {W_{i}}^{m}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}}$

donde es una matriz cuyos elementos de matriz son . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=\theta ^{i}{f_{ij}}^{k}}$

Para el modelo sigma en un espacio simétrico, a diferencia de un grupo de Lie, están limitados a abarcar el subespacio en lugar de todo . El conmutador Lie encendido no estará dentro ; de hecho, así es y por eso todavía se necesita una proyección. ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}}$

Extensiones

El modelo se puede ampliar de diversas formas. Además del modelo Skyrme antes mencionado , que introduce términos cuárticos, el modelo puede ampliarse con un término de torsión para producir el modelo Wess-Zumino-Witten .

Otra posibilidad se ve con frecuencia en los modelos de supergravedad . Aquí se observa que la forma Maurer-Cartan parece "calibre puro". En la construcción anterior para espacios simétricos, también se puede considerar la otra proyección. ${\displaystyle g^{-1}dg}$

${\displaystyle A_{\mu }=\pi _{\mathfrak {h}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

donde, como antes, el espacio simétrico correspondía a la división . Este término adicional puede interpretarse como una conexión en el haz de fibras (se transforma en un campo calibre). Es lo que "sobra" de la conexión . Se le puede dotar de dinámica propia, escribiendo ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle M\times H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=g_{ij}F^{i}\wedge *F^{j}}$

con . Tenga en cuenta que el diferencial aquí es simplemente "d", y no una derivada covariante; este no es el tensor de energía-estrés de Yang-Mills. Este término no es invariante de calibre por sí solo; debe tomarse junto con la parte de la conexión que se incrusta en , de modo que, en conjunto, ahora con la conexión como parte de ella, junto con este término, forma un lagrangiano invariante de calibre completo (que sí tiene el Yang– Mills términos en él, cuando se expandieron). ${\displaystyle F^{i}=dA^{i}}$ ${\displaystyle L_{\mu }}$ ${\displaystyle L_{\mu }}$

Referencias

1. página 114, David Tong : Conferencias sobre teoría estadística de campos
2. Julian S. Schwinger, "Una teoría de las interacciones fundamentales", Ann. Física. 2 (407), 1957.
3. Jurgen Jost (1991) Geometría y análisis geométrico de Riemann, Springer

• Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), "La corriente del vector axial en la desintegración beta", Il Nuovo Cimento , 16 (4): 705–726, Bibcode :1960NCim...16..705G, doi :10.1007/BF02859738, S2CID  122945049

• Ketov, Sergei (2009). "Modelo Sigma no lineal". Scholarpedia . 4 (1): 8508. Código bibliográfico : 2009SchpJ...4.8508K. doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .