Modelo XY clásico

Modelo reticular de mecánica estadística.

El modelo XY clásico (a veces también llamado modelo clásico de rotor ( rotador ) o modelo O(2) ) es un modelo reticular de mecánica estadística . En general, el modelo XY puede verse como una especialización del modelo de n vectores de Stanley ^[1] para n = 2 .

Definición

Dada una red D -dimensional Λ , por cada sitio de red j ∈ Λ hay un vector bidimensional de longitud unitaria s _j = (cos θ _j , sin θ _j )

La configuración de espín , s = ( s _j ) _{j ∈ Λ} es una asignación del ángulo − π < θ _j ≤ π para cada j ∈ Λ .

Dada una interacción invariante de traducción Jij = _J ( i − j ) y un campo externo dependiente de un punto , la energía de configuración es ${\displaystyle \mathbf {h} _{j}=(h_{j},0)}$

${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-\sum _{j}\mathbf {h} _{j}\cdot \mathbf {s} _{j}=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\cos(\theta _{i}-\theta _{j})-\sum _{j}h_{j}\cos \theta _{j}}$

El caso en el que Jij = 0 excepto para ij _el vecino más cercano se denomina caso de vecino más cercano .

La probabilidad de configuración viene dada por la distribución de Boltzmann con temperatura inversa β ≥ 0 :

${\displaystyle P(\mathbf {s} )={\frac {e^{-\beta H(\mathbf {s} )}}{Z}}\qquad Z=\int _{[-\pi ,\pi ]^{\Lambda }}\prod _{j\in \Lambda }d\theta _{j}\;e^{-\beta H(\mathbf {s} )}.}$

donde Z es la normalización o función de partición . ^[2] La notación indica la expectativa de la variable aleatoria A ( s ) en el límite de volumen infinito, después de que se hayan impuesto condiciones de contorno periódicas . ${\displaystyle \langle A(\mathbf {s} )\rangle }$

Resultados rigurosos

• La existencia del límite termodinámico para las correlaciones de energía libre y espín fue demostrada por Ginibre , extendiendo a este caso la desigualdad de Griffiths . ^[3]
• Utilizando la desigualdad de Griffiths en la formulación de Ginibre, Aizenman y Simon ^[4] demostraron que la correlación de espín de dos puntos del modelo ferromagnético XY en la dimensión D , el acoplamiento J > 0 y la temperatura inversa β está dominada por (es decir, tiene un límite superior dado por) la correlación de dos puntos del modelo ferromagnético de Ising en dimensión D , acoplamiento J > 0 y temperatura inversab/2
  $${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$$
  Por tanto, la β crítica del modelo XY no puede ser menor que el doble de la temperatura crítica del modelo de Ising.
  $${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}}$$

Una dimensión

Como en cualquier modelo de n vectores 'vecino más cercano' con condiciones de contorno libres (no periódicas), si el campo externo es cero, existe una solución exacta simple. En el caso de condiciones de frontera libres, el hamiltoniano es

$${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-J[\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+\cdots +\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})]}$$

$${\displaystyle \theta _{j}=\theta _{j}'+\theta _{j-1}\qquad j\geq 2}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\int _{-\pi }^{\pi }d\theta _{1}\cdots d\theta _{L}\;e^{\beta J\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}\cdots e^{\beta J\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})}\\&=2\pi \prod _{j=2}^{L}\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}=(2\pi )\left[\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}\right]^{L-1}=(2\pi )^{L}(I_{0}(\beta J))^{L-1}\end{aligned}}}$$

función de Bessel modificadaenergía libre ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle L\to \infty }$

$${\displaystyle f(\beta ,h=0)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z=-{\frac {1}{\beta }}\ln[2\pi I_{0}(\beta J)]}$$

^[5]

$${\displaystyle {\frac {c}{k_{\rm {B}}}}=\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{L(k_{\rm {B}}T)^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}(\ln Z)=K^{2}\left(1-{\frac {\mu }{K}}-\mu ^{2}\right)}$$

${\displaystyle K=J/k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \mu }$

Calor específico exacto por giro en el modelo unidimensional XY

$${\displaystyle \mu (K)=\langle \cos(\theta -\theta ')\rangle ={\frac {I_{1}(K)}{I_{0}(K)}}}$$

Incluso en el límite termodinámico no hay divergencia en el calor específico. De hecho, al igual que el modelo unidimensional de Ising, el modelo unidimensional XY no tiene transiciones de fase a temperatura finita.

El mismo cálculo para la condición de frontera periódica (y aún h = 0 ) requiere el formalismo de matriz de transferencia , aunque el resultado es el mismo. ^[6]

(Haga clic en "mostrar" a la derecha para ver los detalles del formalismo de la matriz de transferencia).

La función de partición se puede evaluar como

$${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\prod _{i=1}^{N}\oint d\theta _{i}e^{\beta J\cos(\theta _{i}-\theta _{i+1})}\right\}}$$

que puede tratarse como la traza de una matriz, es decir, un producto de matrices (escalares, en este caso). La traza de una matriz es simplemente la suma de sus valores propios, y en el límite termodinámico solo sobrevivirá el valor propio más grande, por lo que la función de partición se puede escribir como un producto repetido de este valor propio máximo. Esto requiere resolver el problema de valores propios. ${\displaystyle L\to \infty }$

$${\displaystyle \oint d\theta '\exp\{\beta J\cos(\theta '-\theta )\}\psi (\theta ')=z_{i}\psi (\theta )}$$

Tenga en cuenta la expansión

$${\displaystyle \exp\{\beta J\cos(\theta -\theta ')\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(\beta J)e^{in(\theta -\theta ')}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\omega _{n}\psi _{n}^{*}(\theta ')\psi _{n}(\theta )}$$

que representa una representación matricial diagonal en base a sus funciones propias de onda plana . Los valores propios de la matriz son simplemente funciones de Bessel modificadas evaluadas en , es decir . Para cualquier valor particular de , estas funciones de Bessel modificadas satisfacen y . Por lo tanto, en el límite termodinámico el valor propio dominará la traza, y así . ${\displaystyle \psi =\exp(in\theta )}$ ${\displaystyle \beta J}$ ${\displaystyle \omega _{n}=2\pi I_{n}(\beta J)}$ ${\displaystyle \beta J}$ ${\displaystyle I_{0}>I_{1}>I_{2}>\cdots }$ ${\displaystyle I_{-n}(\beta J)=I_{n}(\beta J)}$ ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle Z=[2\pi I_{0}(\beta J)]^{L}}$

Este enfoque de matriz de transferencia también es necesario cuando se utilizan condiciones de contorno libres, pero con un campo aplicado . Si el campo aplicado es lo suficientemente pequeño como para poder tratarlo como una perturbación del sistema en campo cero, entonces se puede estimar la susceptibilidad magnética . Esto se hace utilizando los estados propios calculados mediante el enfoque de la matriz de transferencia y calculando el cambio de energía con la teoría de perturbaciones de segundo orden , y luego comparándolo con la expansión de energía libre . Se encuentra ^[7] ${\displaystyle h\neq 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \chi \equiv \partial M/\partial h}$ ${\displaystyle F=F_{0}-{\frac {1}{2}}\chi h^{2}}$

$${\displaystyle \chi (h\to 0)={\frac {C}{T}}{\frac {1+\mu }{1-\mu }}}$$

constante de Curie ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mu =\tanh K}$

Dos dimensiones

Maganetización cuadrática media para una red de 25x25 (Ota: ^[8] 30x30), lo que sugiere un aumento en el momento magnético que no está presente en el límite termodinámico.

El modelo bidimensional XY con interacciones del vecino más cercano es un ejemplo de un sistema bidimensional con simetría continua que no tiene orden de largo alcance como lo requiere el teorema de Mermin-Wagner . Asimismo, no existe una transición de fase convencional que esté asociada con una ruptura de simetría . Sin embargo, como se analizará más adelante, el sistema muestra signos de una transición de un estado desordenado de alta temperatura a un estado cuasi ordenado por debajo de cierta temperatura crítica, llamada transición de Kosterlitz-Thouless . En el caso de una red discreta de espines, el modelo XY bidimensional se puede evaluar utilizando el enfoque de matriz de transferencia, reduciendo el modelo a un problema de valores propios y utilizando el valor propio más grande de la matriz de transferencia. Aunque la solución exacta es difícil de resolver, es posible utilizar ciertas aproximaciones para obtener estimaciones de la temperatura crítica que se produce a bajas temperaturas. Por ejemplo, Mattis (1984) utilizó una aproximación a este modelo para estimar una temperatura crítica del sistema como ${\displaystyle T_{c}}$

$${\displaystyle (2k_{\rm {B}}T_{c}/J)\ln(2k_{\rm {B}}T_{c}/J)=1}$$

$${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.8816}$$

de Monte Carlo , por ejemplo con el algoritmo Metropolismodelo de Pottsfactor de Boltzmann^[9] ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \Delta \theta _{i}\in (-\Delta ,\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta E_{i}}$ ${\displaystyle e^{-\beta \Delta E_{i}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J=0.8935(1)}$

Calor específico del modelo bidimensional XY, calculado mediante simulación de Monte Carlo en redes cuadradas de tamaño hasta 4096 x 4096 (Nguyen: ^[10] ), que muestra una característica en , encima de la transición KT . El recuadro muestra la posición del pico en función del tamaño de la red. ${\displaystyle k_{\rm {B}}T/J\approx 1.167}$

$${\displaystyle {\frac {\langle M\rangle }{N}}={\frac {1}{N}}|\langle \mathbf {s} \rangle |={\frac {1}{N}}\left|\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i},\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)\right\rangle \right|}$$

$${\displaystyle {\frac {\langle M^{2}\rangle }{N^{2}}}={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle s_{x}^{2}+s_{y}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)^{2}\right\rangle }$$

^[11] ${\displaystyle N=L\times L}$ ${\displaystyle \langle M^{2}\rangle \approx N^{-T/4\pi }}$

Además, utilizando la mecánica estadística se pueden relacionar promedios termodinámicos con cantidades como el calor específico calculando

$${\displaystyle c/k_{\rm {B}}={\frac {\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}}{N(k_{\rm {B}}T)^{2}}}}$$

^[12] ${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.88}$ ${\displaystyle 1.167(1)k_{\rm {B}}T/J}$

La naturaleza de las transiciones críticas y la formación de vórtices se puede dilucidar considerando una versión continua del modelo XY. Aquí, los espines discretos se reemplazan por un campo que representa el ángulo del espín en cualquier punto del espacio. En este caso, el ángulo de los giros debe variar suavemente con los cambios de posición. Desarrollando el coseno original como una serie de Taylor , el hamiltoniano se puede expresar en la aproximación continua como ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$ ${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$

$${\displaystyle E=\int {\frac {J}{2}}(\nabla \theta )^{2}\,d^{2}\mathbf {x} }$$

Mapa de colores del modelo XY bidimensional (discreto) en una red de 250x250 en . Cada giro está representado por un color que corresponde a un ángulo entre ${\displaystyle k_{\rm {B}}T/J=0.4}$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

La versión continua del modelo XY se utiliza a menudo para modelar sistemas que poseen parámetros de orden con los mismos tipos de simetría, por ejemplo, helio superfluido o cristales líquidos hexáticos. Esto es lo que los diferencia de otras transiciones de fase que siempre van acompañadas de una ruptura de simetría. Los defectos topológicos en el modelo XY conducen a una transición sin unión de vórtices desde la fase de baja temperatura a la fase desordenada de alta temperatura . De hecho, el hecho de que a altas temperaturas las correlaciones decaigan exponencialmente rápido, mientras que a bajas temperaturas decaigan con la ley de potencia, aunque en ambos regímenes M ( β ) = 0 , se llama transición de Kosterlitz-Thouless . Kosterlitz y Thouless proporcionaron un argumento simple de por qué esto sería así: esto considera que el estado fundamental consiste en todos los espines en la misma orientación, con la adición luego de un solo vórtice. La presencia de estos aporta una entropía de aproximadamente , donde es una escala de longitud efectiva (por ejemplo, el tamaño de la red para una red discreta). Mientras tanto, la energía del sistema aumenta debido al vórtice, en una cantidad . Juntándolos, la energía libre de un sistema cambiaría debido a la formación espontánea de un vórtice en una cantidad ${\displaystyle \Delta S=k_{\rm {B}}\ln(L^{2}/a^{2})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Delta E=\pi J\ln(L/a)}$

$${\displaystyle \Delta F=\Delta E-T\Delta S=(\pi J-2k_{\rm {B}}T)\ln(L/a)}$$

${\displaystyle T_{c}=\pi J/2k_{\rm {B}}}$

Para visualizar el modelo de Ising, se puede utilizar una flecha apuntando hacia arriba o hacia abajo, o representado como un punto de color blanco/negro para indicar su estado. Para visualizar el sistema de giro XY, los giros se pueden representar como una flecha que apunta en alguna dirección, o como un punto con algún color. Aquí es necesario representar el espín con un espectro de colores debido a cada una de las posibles variables continuas. Esto se puede hacer utilizando, por ejemplo, un espectro rojo-verde-azul continuo y periódico. Como se muestra en la figura, el cian corresponde a un ángulo cero (apuntando hacia la derecha), mientras que el rojo corresponde a un ángulo de 180 grados (apuntando hacia la izquierda). Luego se pueden estudiar instantáneas de las configuraciones de espín a diferentes temperaturas para dilucidar qué sucede por encima y por debajo de la temperatura crítica del modelo XY. A altas temperaturas, los espines no tendrán una orientación preferida y habrá una variación impredecible de ángulos entre espines vecinos, ya que no habrá una configuración energéticamente favorable preferida. En este caso, el mapa de colores aparecerá muy pixelado. Mientras tanto, a bajas temperaturas, una posible configuración del estado fundamental tiene todos los espines apuntando en la misma orientación (mismo ángulo); estos corresponderían a regiones (dominios) del mapa de colores donde todos los giros tienen aproximadamente el mismo color.

Varias formas de vórtices y antivórtices, mostradas en una simulación de Monte Carlo en ${\displaystyle k_{\rm {B}}T/J=0.4}$

Para identificar los vórtices (o antivórtices) presentes como resultado de la transición de Kosterlitz-Thouless, se puede determinar el cambio de ángulo con signo atravesando un círculo de puntos de la red en sentido antihorario. Si el cambio total de ángulo es cero, esto corresponde a que no hay ningún vórtice presente; mientras que un cambio total en el ángulo de corresponde a un vórtice (o antivórtice). Estos vórtices son objetos topológicamente no triviales que vienen en pares vórtice-antivórtice, que pueden separarse o aniquilarse por pares. En el mapa de colores, estos defectos se pueden identificar en regiones donde hay un gran gradiente de color donde todos los colores del espectro se encuentran alrededor de un punto. Cualitativamente, estos defectos pueden parecer fuentes de flujo que apuntan hacia adentro o hacia afuera, o remolinos de espines que colectivamente se juntan en el sentido de las agujas del reloj o en sentido antihorario, o características de apariencia hiperbólica con algunos espines apuntando hacia el defecto y otros apuntando en dirección contraria al defecto. A medida que se estudia la configuración en escalas de tiempo largas y a bajas temperaturas, se observa que muchos de estos pares vórtice-antivórtice se acercan y eventualmente se aniquilan. Sólo a altas temperaturas estos vórtices y antivórtices se liberan y se desvinculan entre sí. ${\displaystyle \pm 2\pi }$

En el modelo XY continuo, la magnetización espontánea de alta temperatura desaparece:

$${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$$

la expansión del grupo

$${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$$

β ≫ 1teorema de Mermin-Wagner

$${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$$

^[13]

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\geq {\frac {C(\beta )}{1+|i-j|^{\eta (\beta )}}}}$

mientras que McBryan y Spencer encontraron el límite superior, para cualquier ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq {\frac {C(\beta ,\epsilon )}{1+|i-j|^{\eta (\beta ,\epsilon )}}}}$

Tres y más dimensiones

Independientemente del rango de interacción, a una temperatura suficientemente baja la magnetización es positiva.

• A alta temperatura, la magnetización espontánea desaparece: . Además, la expansión del grupo muestra que las correlaciones de espín se agrupan exponencialmente rápido: por ejemplo . ${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$ ${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$
• A baja temperatura, el límite infrarrojo muestra que la magnetización espontánea es estrictamente positiva: . Además, existe una familia de estados extremos de 1 parámetro, tal que , conjeturalmente, en cada uno de estos estados extremos las correlaciones truncadas decaen algebraicamente. ${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |>0}$ ${\displaystyle \langle \;\cdot \;\rangle ^{\theta }}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\rangle ^{\theta }=M(\beta )(\cos \theta ,\sin \theta )}$

Transición de fase

Como se mencionó anteriormente, en una dimensión, el modelo XY no tiene una transición de fase, mientras que en dos dimensiones tiene la transición de Berezinski-Kosterlitz-Thouless entre las fases con funciones de correlación que decaen exponencialmente y de ley de potencia.

En tres dimensiones y superiores, el modelo XY tiene una transición de fase ferromagnética-paramagnética. A bajas temperaturas, la magnetización espontánea es distinta de cero: esta es la fase ferromagnética. A medida que aumenta la temperatura, la magnetización espontánea disminuye gradualmente y desaparece en una temperatura crítica. Permanece cero en todas las temperaturas más altas: esta es la fase paramagnética.

En cuatro dimensiones y más, la transición de fase tiene exponentes críticos de la teoría de campos medios (con correcciones logarítmicas en cuatro dimensiones).

Caso tridimensional: los exponentes críticos

El caso tridimensional es interesante porque los exponentes críticos en la transición de fase no son triviales. Muchos sistemas físicos tridimensionales pertenecen a la misma clase de universalidad que el modelo XY tridimensional y comparten los mismos exponentes críticos, en particular los imanes de plano fácil y el helio-4 líquido . Los valores de estos exponentes críticos se miden mediante experimentos, simulaciones de Monte Carlo y también pueden calcularse mediante métodos teóricos de la teoría cuántica de campos, como el grupo de renormalización y el bootstrap conforme . Los métodos del grupo de renormalización son aplicables porque se cree que el punto crítico del modelo XY está descrito por un punto fijo del grupo de renormalización. Los métodos de arranque conforme son aplicables porque también se cree que es una teoría de campo conforme tridimensional unitaria .

Los exponentes críticos más importantes del modelo XY tridimensional son . Todos ellos se pueden expresar mediante solo dos números: las dimensiones de escala y del campo de parámetro de orden complejo y del operador singlete principal (igual que en la descripción de Ginzburg-Landau ). Otro campo importante es (igual que ), cuya dimensión determina el exponente de corrección a escala . Según un cálculo de arranque conforme, ^[14] estas tres dimensiones vienen dadas por: ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\nu ,\eta }$ ${\displaystyle \Delta _{\phi }}$ ${\displaystyle \Delta _{s}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |\phi |^{2}}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle |\phi |^{4}}$ ${\displaystyle \Delta _{s'}}$ ${\displaystyle \omega }$

Esto da los siguientes valores de los exponentes críticos:

Los métodos de Monte Carlo dan determinaciones compatibles: ^[15] . ${\displaystyle \eta =0.03810(8),\nu =0.67169(7),\omega =0.789(4)}$

Ver también

• Modelo clásico de Heisenberg
• gas de culombio
• bosón de piedra dorada
• modelo ising
• modelo potts
• modelo n -vectorial
• Kosterlitz: transición sin compasión
• defecto topológico
• película superfluida
• modelo sigma
• Modelo seno-Gordon

Notas

1. Stanley, ÉL (1968). "Dependencia de las propiedades críticas de la dimensionalidad de los giros". Cartas de revisión física . 20 (12): 589–592. Código bibliográfico : 1968PhRvL..20..589S. doi :10.1103/PhysRevLett.20.589.
2. Chaikin, primer ministro; Lubensky, TC (2000). Principios de la física de la materia condensada. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521794503.
3. Ginibre, J. (1970). "Formulación general de las desigualdades de Griffiths". Comunicaciones en Física Matemática . 16 (4): 310–328. Código Bib : 1970CMaPh..16..310G. doi :10.1007/BF01646537. S2CID  120649586.
4. Aizenman, M.; Simón, B. (1980). "Una comparación del rotor del avión y los modelos Ising". Letras de Física A. 76 (3–4): 281–282. Código bibliográfico : 1980PhLA...76..281A. doi :10.1016/0375-9601(80)90493-4.
5. Badalian, D. (1996). "Sobre la termodinámica de los espines clásicos con interacción isótropa de Heisenberg en estructuras cuasi periódicas unidimensionales". Física B. 226 (4): 385–390. Código Bib : 1996PhyB..226..385B. doi :10.1016/0921-4526(96)00283-9.
6. Mattis, CC (1984). "Transferir matriz en modelo plano-rotador". Letras de Física A. 104 A (6–7): 357–360. Código bibliográfico : 1984PhLA..104..357M. doi :10.1016/0375-9601(84)90816-8.
7. Mattis, CC (1985). La Teoría del Magnetismo II . Serie Springer en Física del Estado Sólido. ISBN 978-3-642-82405-0.
8. Ota, S.; Ota, SB; Fahnle, M (1992). "Simulaciones microcanónicas de Monte Carlo para el modelo bidimensional XY". Revista de Física: Materia Condensada . 4 (24): 5411. Código bibliográfico : 1992JPCM....4.5411O. doi :10.1088/0953-8984/4/24/011. S2CID  250920391.
9. Hsieh, Y.-D.; Kao, Y.-J.; Sandvik, AW (2013). "Método de escala de tamaño finito para la transición Berezinskii-Kosterlitz-Thouless". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 2013 (9): P09001. arXiv : 1302.2900 . Código Bib : 2013JSMTE..09..001H. doi :10.1088/1742-5468/2013/09/P09001. S2CID  118609225.
10. Nguyen, PH; Boninsegni, M. (2021). "Transición superfluida y calor específico del modelo 2D xy: simulación de Monte Carlo". Ciencias Aplicadas . 11 (11): 4931. arXiv : 2105.14112 . doi : 10.3390/app11114931 .
11. Tobochnik, J.; Chester, GV (1979). "Estudio de Montecarlo del modelo de giro plano". Revisión física B. 20 (9): 3761–3769. Código bibliográfico : 1979PhRvB..20.3761T. doi : 10.1103/PhysRevB.20.3761.
12. Carpeta, K. (2013). Aplicaciones del Método Monte Carlo en Física Estadística . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-51703-7.
13. Fröhlich, J.; Spencer, T. (1981). "La transición Kosterlitz-Thouless en sistemas de espín abelianos bidimensionales y el gas de Coulomb". Comunicaciones en Física Matemática . 81 (4): 527–602. Código bibliográfico : 1981CMaPh..81..527F. doi :10.1007/bf01208273. S2CID  73555642.
14. Chester, Shai M.; Landry, Walter; Liu, Junyu; Polonia, David; Simmons-Duffin, David; Su, Ning; Vichi, Alessandro (2020). "Creación del espacio OPE y exponentes críticos precisos del modelo O (2)". Revista de Física de Altas Energías . 2020 (6): 142. arXiv : 1912.03324 . Código Bib : 2020JHEP...06..142C. doi :10.1007/JHEP06(2020)142. ISSN  1029-8479. S2CID  208910721.
15. Hasenbusch, Martín (26 de diciembre de 2019). "Estudio de Montecarlo de un modelo de reloj mejorado en tres dimensiones". Revisión física B. 100 (22): 224517. arXiv : 1910.05916 . Código Bib : 2019PhRvB.100v4517H. doi : 10.1103/PhysRevB.100.224517. ISSN  2469-9950. S2CID  204509042.

Referencias

• Evgeny Demidov, Vórtices en el modelo XY (2004)

Otras lecturas

• HE Stanley, Introducción a las transiciones de fase y fenómenos críticos , (Oxford University Press, Oxford y Nueva York 1971);
• H. Kleinert , Campos de calibre en materia condensada , vol. I, "LÍNEAS SUPERFLOW Y VORTEX", págs. 1–742, vol. II, "TENSIONES Y DEFECTOS", págs. 743-1456, World Scientific (Singapur, 1989); Tapa blanda ISBN 9971-5-0210-0 (también disponible en línea: Vol. I y Vol. II) 

enlaces externos

• simulación WebGL del modelo XY en tiempo real
• Simulación Monte Carlo interactiva de los modelos Ising, XY y Heisenberg con gráficos 3D (requiere un navegador compatible con WebGL)