producto cartesiano

Mathematical set formed from two given sets

Producto cartesiano de los conjuntos y ${\displaystyle \scriptstyle A\times B}$ ${\displaystyle \scriptstyle A=\{x,y,z\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle B=\{1,2,3\}}$

En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos , el producto cartesiano de dos conjuntos A y B , denotado A  ×  B , es el conjunto de todos los pares ordenados ( a , b ) donde a está en A y b está en B. ^[1] En términos de notación de constructor de conjuntos , es decir

${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ and }}\ b\in B\}.}$^{[2] [3]}

Se puede crear una tabla tomando el producto cartesiano de un conjunto de filas y un conjunto de columnas. Si se toma el producto cartesiano filas × columnas , las celdas de la tabla contienen pares ordenados de la forma (valor de fila, valor de columna) . ^[4]

De manera similar, se puede definir el producto cartesiano de n conjuntos, también conocido como producto cartesiano n veces , que puede representarse mediante una matriz de n dimensiones, donde cada elemento es una n - tupla . Un par ordenado es una tupla o pareja de 2 . De manera más general aún, se puede definir el producto cartesiano de una familia indexada de conjuntos.

El producto cartesiano lleva el nombre de René Descartes , ^[5] cuya formulación de la geometría analítica dio lugar al concepto, que se generaliza aún más en términos de producto directo .

Definición de teoría de conjuntos

Una definición rigurosa del producto cartesiano requiere que se especifique un dominio en la notación del constructor de conjuntos . En este caso, el dominio tendría que contener el propio producto cartesiano. Para definir el producto cartesiano de los conjuntos y , con la definición típica de Kuratowski de un par como , un dominio apropiado es el conjunto donde denota el conjunto potencia . Entonces el producto cartesiano de los conjuntos y se definiría como ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle A\times B=\{x\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))\mid \exists a\in A\ \exists b\in B:x=(a,b)\}.}$$

Ejemplos

Una baraja de cartas

Baraja estándar de 52 cartas

Un ejemplo ilustrativo es la baraja estándar de 52 cartas . Los rangos de naipes estándar {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} forman un conjunto de 13 elementos. Los palos de cartas {♠, ♥ , ♦ , ♣ } forman un conjunto de cuatro elementos. El producto cartesiano de estos conjuntos devuelve un conjunto de 52 elementos que consta de 52 pares ordenados , que corresponden a los 52 naipes posibles.

Rangos × Trajes devuelve un conjunto de la forma {(A, ♠), (A,  ♥ ), (A,  ♦ ), (A, ♣), (K, ♠), …, (3, ♣), (2 , ♠), (2,  ♥ ), (2,  ♦ ), (2, ♣)}.

Trajes × Rangos devuelve un conjunto de la forma {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10),…, (♣, 6), (♣ , 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Estos dos conjuntos son distintos, incluso disjuntos , pero existe una biyección natural entre ellos, bajo la cual (3, ♣) corresponde a (♣, 3) y así sucesivamente.

Un sistema de coordenadas bidimensional

Coordenadas cartesianas de puntos de ejemplo.

El principal ejemplo histórico es el plano cartesiano en geometría analítica . Para representar formas geométricas de forma numérica y extraer información numérica de las representaciones numéricas de las formas, René Descartes asignó a cada punto del plano un par de números reales , llamados coordenadas . Por lo general, el primer y segundo componente de dicho par se denominan coordenadas xey , respectivamente (ver imagen). El conjunto de todos esos pares (es decir, el producto cartesiano ℝ×ℝ , donde ℝ denota los números reales) se asigna así al conjunto de todos los puntos del plano. ^{[ cita necesaria ]}

Implementación más común (teoría de conjuntos)

Una definición formal del producto cartesiano a partir de principios de la teoría de conjuntos se deriva de una definición de par ordenado . La definición más común de pares ordenados, la definición de Kuratowski , es . Según esta definición, es un elemento de y es un subconjunto de ese conjunto, donde representa el operador del conjunto potencia . Por lo tanto, la existencia del producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera en ZFC se deriva de los axiomas de emparejamiento , unión , conjunto potencia y especificación . Dado que las funciones generalmente se definen como un caso especial de relaciones , y las relaciones generalmente se definen como subconjuntos del producto cartesiano, la definición del producto cartesiano de dos conjuntos es necesariamente anterior a la mayoría de las demás definiciones. ${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

No conmutatividad y no asociatividad

Sean conjuntos A , B , C y D.

El producto cartesiano A × B no es conmutativo ,

${\displaystyle A\times B\neq B\times A,}$^[4]

porque los pares ordenados se invierten a menos que se cumpla al menos una de las siguientes condiciones: ^[7]

• A es igual a B , o
• A o B es el conjunto vacío .

Por ejemplo:

Un = {1,2}; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

Un = {1,2}; segundo = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

Estrictamente hablando, el producto cartesiano no es asociativo (a menos que uno de los conjuntos involucrados esté vacío).

${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$

Si por ejemplo A  = {1}, entonces ( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A ) .

Intersecciones, uniones y subconjuntos

El producto cartesiano satisface la siguiente propiedad con respecto a las intersecciones (ver imagen del medio).

${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$

En la mayoría de los casos, la afirmación anterior no es cierta si reemplazamos la intersección con la unión (ver imagen de la derecha).

${\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}$

De hecho, tenemos eso:

${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}$

Para la diferencia establecida, también tenemos la siguiente identidad:

${\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}$

Aquí hay algunas reglas que demuestran la distributividad con otros operadores (ver imagen más a la izquierda): ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A\times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{aligned}}}$

${\displaystyle (A\times B)^{\complement }=\left(A^{\complement }\times B^{\complement }\right)\cup \left(A^{\complement }\times B\right)\cup \left(A\times B^{\complement }\right)\!,}$

donde denota el complemento absoluto de A . ${\displaystyle A^{\complement }}$

Otras propiedades relacionadas con los subconjuntos son:

$${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq B{\text{, then }}A\times C\subseteq B\times C;}$$

${\displaystyle {\text{if both }}A,B\neq \emptyset {\text{, then }}A\times B\subseteq C\times D\!\iff \!A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq D.}$^[8]

Cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Por ejemplo, definiendo dos conjuntos: A = {a, b} y B = {5, 6} . Tanto el conjunto A como el conjunto B constan de dos elementos cada uno. Su producto cartesiano, escrito como A × B , da como resultado un nuevo conjunto que tiene los siguientes elementos:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

donde cada elemento de A está emparejado con cada elemento de B , y donde cada par constituye un elemento del conjunto de salida. El número de valores en cada elemento del conjunto resultante es igual al número de conjuntos cuyo producto cartesiano se está tomando; 2 en este caso. La cardinalidad del conjunto de salida es igual al producto de las cardinalidades de todos los conjuntos de entrada. Eso es,

| A × B | = | Un | · | B |. ^[4]

En este caso, | A × B | = 4

Similarmente,

| A × B × C | = | Un | · | B | · | C |

etcétera.

El conjunto A × B es infinito si A o B son infinitos y el otro conjunto no es el conjunto vacío. ^[9]

Productos cartesianos de varios conjuntos.

Producto cartesiano n -ario

El producto cartesiano se puede generalizar al producto cartesiano n -ario sobre n conjuntos X ₁ , ..., X _n como el conjunto

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$

de n -tuplas . Si las tuplas se definen como pares ordenados anidados , se pueden identificar con ( X ₁ ×... × X _{n −1} ) × X _n . Si una tupla se define como una función en {1, 2, ..., n } que toma su valor en i como el i- ésimo elemento de la tupla, entonces el producto cartesiano X ₁ × ... × X _n es el conjunto de funciones

${\displaystyle \{x:\{1,\ldots ,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\ |\ x(i)\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$

potencia cartesiana n -aria

El cuadrado cartesiano de un conjunto X es el producto cartesiano X ² = X × X . Un ejemplo es el plano bidimensional R ² = R × R donde R es el conjunto de números reales : ^[1] R ² es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) donde x e y son números reales (ver el plano cartesiano sistema coordinado ).

La potencia cartesiana n -aria de un conjunto X , denotada , se puede definir como ${\displaystyle X^{n}}$

${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$

Un ejemplo de esto es R ³ = R × R × R , siendo R nuevamente el conjunto de números reales, ^[1] y más generalmente R ⁿ .

La potencia cartesiana n -aria de un conjunto X es isomorfa al espacio de funciones de un n -elemento establecido en X . Como caso especial, la potencia cartesiana 0-aria de X puede considerarse un conjunto singleton , correspondiente a la función vacía con codominio X.

Productos cartesianos infinitos

Es posible definir el producto cartesiano de una familia de conjuntos indexados arbitrarios (posiblemente infinitos ) . Si I es cualquier conjunto de índices y es una familia de conjuntos indexados por I , entonces el producto cartesiano de los conjuntos en se define como ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ \forall i\in I.\ f(i)\in X_{i}\right\},}$

es decir, el conjunto de todas las funciones definidas en el conjunto de índices I tal que el valor de la función en un índice particular i es un elemento de X _i . Incluso si cada uno de los X _i no está vacío, el producto cartesiano puede estar vacío si no se asume el axioma de elección , que equivale a la afirmación de que cada uno de esos productos no está vacío. también se puede denotar . ^[10] ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle {\mathsf {X}}}$ ${\displaystyle {}_{i\in I}X_{i}}$

Para cada j en I , la función

${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},}$

definido por se llama j- ésimo mapa de proyección . ${\displaystyle \pi _{j}(f)=f(j)}$

La potencia cartesiana es un producto cartesiano donde todos los factores _Xi son el mismo conjunto X . En este caso,

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\prod _{i\in I}X}$

es el conjunto de todas las funciones de I a X , y con frecuencia se denota X ^I. Este caso es importante en el estudio de la exponenciación cardinal . Un caso especial importante es cuando el conjunto índice son los números naturales : este producto cartesiano es el conjunto de todas las secuencias infinitas con el iésimo término en su correspondiente conjunto X _i . Por ejemplo, cada elemento de ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots }$

se puede visualizar como un vector con componentes de números reales numerables e infinitos. Este conjunto se denomina frecuentemente , o . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

Otras formas

forma abreviada

Si se multiplican varios conjuntos (por ejemplo, X ₁ , X ₂ , X ₃ ,…), entonces algunos autores ^[11] optan por abreviar el producto cartesiano simplemente × X _i .

Producto cartesiano de funciones

Si f es una función de X a A y g es una función de Y a B , entonces su producto cartesiano f × g es una función de X × Y a A × B con

${\displaystyle (f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}$

Esto se puede extender a tuplas y colecciones infinitas de funciones. Esto es diferente del producto cartesiano estándar de funciones consideradas como conjuntos.

Cilindro

Sea un conjunto y . Entonces el cilindro de con respecto a es el producto cartesiano de y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\times A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Normalmente, se considera que es el universo del contexto y se deja de lado. Por ejemplo, si es un subconjunto de los números naturales , entonces el cilindro de es . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\times \mathbb {N} }$

Definiciones fuera de la teoría de conjuntos

Teoría de categorías

Aunque el producto cartesiano se aplica tradicionalmente a conjuntos, la teoría de categorías proporciona una interpretación más general del producto de estructuras matemáticas. Esto es distinto, aunque relacionado, con la noción de cuadrado cartesiano en la teoría de categorías, que es una generalización del producto de fibra .

La exponenciación es el adjunto derecho del producto cartesiano; por tanto, cualquier categoría con un producto cartesiano (y un objeto final ) es una categoría cerrada cartesiana .

Teoría de grafos

En teoría de grafos , el producto cartesiano de dos gráficas G y H es la gráfica denotada por G × H , cuyo conjunto de vértices es el producto cartesiano (ordinario) V ( G ) × V ( H ) y tal que dos vértices ( u , v ) y ( u ′, v ′) son adyacentes en G × H , si y solo si u = u ′ y v es adyacente a v ′ en H , o v = v ′ y u es adyacente a u ′ en G. El producto cartesiano de gráficos no es un producto en el sentido de la teoría de categorías. En cambio, el producto categórico se conoce como producto tensorial de gráficos .

Ver también

• Axioma de conjunto potencia (para demostrar la existencia del producto cartesiano)
• Producto directo
• Producto vacío
• relación finita
• Unión (SQL) § Unión cruzada
• Órdenes sobre el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados
• Producto exterior
• Producto (teoría de categorías)
• Topología del producto
• Tipo de producto

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Producto cartesiano". MundoMatemático . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
2. Warner, S. (1990). Álgebra moderna . Publicaciones de Dover . pag. 6.
3. Nykamp, ​​Duane. "Definición de producto cartesiano". Perspectiva matemática . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
4. "Producto cartesiano". web.mnstate.edu . Archivado desde el original el 18 de julio de 2020 . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
5. "Cartesiano". Merriam-Webster.com . 2009 . Consultado el 1 de diciembre de 2009 .
6. Corry, S. "Un bosquejo de los rudimentos de la teoría de conjuntos" (PDF) . Consultado el 5 de mayo de 2023 .
7. Singh, S. (27 de agosto de 2009). Producto cartesiano . Obtenido del sitio web de Connexions: http://cnx.org/content/m15207/1.5/
8. Producto cartesiano de subconjuntos. (15 de febrero de 2011). PruebaWiki . Obtenido a las 05:06, 1 de agosto de 2011 en https://proofwiki.org/w/index.php?title=Cartesian_Product_of_Subsets&oldid=45868
9. Pedro S. (1998). Un curso intensivo en matemáticas de conjuntos infinitos. Revisión de St. John, 44 (2), 35–59. Obtenido el 1 de agosto de 2011 de http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm
10. FR Drake, Teoría de conjuntos: introducción a los cardenales grandes , p. 24. Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, vol. 76 (1978). ISBN 0-7204-2200-0.
11. Osborne, M. y Rubinstein, A., 1994. Un curso de teoría de juegos . Prensa del MIT.

enlaces externos

• Producto cartesiano en ProvenMath
• "Producto directo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Cómo encontrar el Producto Cartesiano, Portal Educativo Academy