Número de bobinado

Número de veces que una curva gira alrededor de un punto en el plano

Esta curva tiene el devanado número dos alrededor del punto p .

En matemáticas , el número de devanado o índice de devanado de una curva cerrada en el plano alrededor de un punto dado es un número entero que representa el número total de veces que la curva recorre el punto en sentido antihorario, es decir, el número de vueltas de la curva . Para ciertas curvas de plano abierto , el número de vueltas puede ser un número no entero. El número de devanado depende de la orientación de la curva y es negativo si la curva recorre el punto en el sentido de las agujas del reloj.

Los números sinuosos son objetos de estudio fundamentales en topología algebraica y desempeñan un papel importante en cálculo vectorial , análisis complejo , topología geométrica , geometría diferencial y física (como en la teoría de cuerdas ).

Descripción intuitiva

Un objeto que viaja a lo largo de la curva roja da dos vueltas en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de la persona en el origen.

Supongamos que tenemos una curva cerrada orientada en el plano xy . Podemos imaginar la curva como la trayectoria de movimiento de algún objeto, donde la orientación indica la dirección en la que se mueve el objeto. Entonces el número de vueltas de la curva es igual al número total de vueltas en sentido antihorario que da el objeto alrededor del origen.

Al contar el número total de vueltas, el movimiento en sentido antihorario cuenta como positivo, mientras que el movimiento en sentido horario cuenta como negativo. Por ejemplo, si el objeto primero rodea el origen cuatro veces en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego gira el origen una vez en el sentido de las agujas del reloj, entonces el número total de vueltas de la curva es tres.

Usando este esquema, una curva que no recorre el origen en absoluto tiene un número de devanado cero, mientras que una curva que viaja en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen tiene un número de devanado negativo. Por tanto, el número de devanado de una curva puede ser cualquier número entero . Las siguientes imágenes muestran curvas con números de bobinado entre −2 y 3:

Definicion formal

Sea un camino cerrado continuo en el plano menos un punto. El número de bobinado de alrededor es el número entero. ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,a)=s(1)-s(0),}$

¿Dónde está escrito el camino en coordenadas polares, es decir, el camino elevado a través del mapa de cobertura? ${\displaystyle (\rho ,s)}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} \setminus \{a\}:(\rho _{0},s_{0})\mapsto a+\rho _{0}e^{i2\pi s_{0}}.}$

El número de devanado está bien definido debido a la existencia y unicidad del camino elevado (dado el punto de partida en el espacio de cobertura) y porque todas las fibras de son de la forma (por lo que la expresión anterior no depende de la elección del punto de partida). punto). Es un número entero porque el camino está cerrado. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho _{0}\times (s_{0}+\mathbb {Z} )}$

Definiciones alternativas

El número de devanado a menudo se define de diferentes maneras en distintas partes de las matemáticas. Todas las definiciones siguientes son equivalentes a la dada anteriormente:

Numeración de Alejandro

August Ferdinand Möbius propuso una regla combinatoria simple para definir el número de devanado en 1865 ^[1] y nuevamente de forma independiente James Waddell Alexander II en 1928. ^[2] Cualquier curva divide el plano en varias regiones conectadas, una de las cuales es ilimitada. Los números de devanado de la curva alrededor de dos puntos en la misma región son iguales. El número de bobinado alrededor (cualquier punto dentro) de la región ilimitada es cero. Finalmente, los números de devanado para dos regiones adyacentes cualesquiera difieren exactamente en 1; la región con el número de devanado mayor aparece en el lado izquierdo de la curva (con respecto al movimiento hacia abajo de la curva).

Geometría diferencial

En geometría diferencial , generalmente se supone que las ecuaciones paramétricas son diferenciables (o al menos diferenciables por partes). En este caso, la coordenada polar θ está relacionada con las coordenadas rectangulares xey mediante la ecuación:

${\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{where }}r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Lo cual se encuentra diferenciando la siguiente definición de θ:

${\displaystyle \theta (t)=\arctan {\bigg (}{\frac {y(t)}{x(t)}}{\bigg )}}$

Según el teorema fundamental del cálculo , el cambio total en θ es igual a la integral de dθ . Por tanto, podemos expresar el número de devanados de una curva diferenciable como una integral de línea :

${\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,0)={\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma }\,\left({\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx\right).}$

La forma única dθ (definida en el complemento del origen) es cerrada pero no exacta y genera el primer grupo de cohomología de De Rham del plano perforado . En particular, si ω es cualquier forma única diferenciable cerrada definida en el complemento del origen, entonces la integral de ω a lo largo de bucles cerrados da un múltiplo del número de devanado.

Análisis complejo

Los números de devanado desempeñan un papel muy importante en los análisis complejos (cf. el enunciado del teorema del residuo ). En el contexto del análisis complejo , el número de devanados de una curva cerrada en el plano complejo se puede expresar en términos de la coordenada compleja z = x + iy . Específicamente, si escribimos z  =  re ^iθ , entonces ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta }$

y por lo tanto

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .}$

Como es una curva cerrada, el cambio total en es cero y, por lo tanto, la integral de es igual a multiplicado por el cambio total en . Por lo tanto, el número de sinuosos del camino cerrado alrededor del origen viene dado por la expresión ^[3] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \ln(r)}$ ${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}\,.}$

De manera más general, si es una curva cerrada parametrizada por , el número de devanados de aproximadamente , también conocido como índice de con respecto a , se define para complejo como ^[4] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z_{0}}}dt.}$

Este es un caso especial de la famosa fórmula integral de Cauchy .

Algunas de las propiedades básicas del número de devanado en el plano complejo vienen dadas por el siguiente teorema: ^[5]

Teorema. Sea un camino cerrado y sea el complemento conjunto de la imagen de , es decir, . Entonces el índice de con respecto a , ${\displaystyle \gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},}$$

es (i) de valor entero, es decir, para todos ; (ii) constante sobre cada componente (es decir, subconjunto conectado máximo) de ; y (iii) cero si está en el componente ilimitado de . ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle z\in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega }$

Como corolario inmediato, este teorema da el número de curvas de una trayectoria circular alrededor de un punto . Como era de esperar, el número de bobinado cuenta el número de bucles (en sentido contrario a las agujas del reloj) que se realizan alrededor de : ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$

Corolario. Si el camino está definido por , entonces ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}}$

Topología

En topología , el número de devanado es un término alternativo para el grado de un mapeo continuo . En física , los números sinuosos se denominan con frecuencia números cuánticos topológicos . En ambos casos se aplica el mismo concepto.

El ejemplo anterior de una curva que gira alrededor de un punto tiene una interpretación topológica simple. El complemento de un punto en el plano es homotópico equivalente al círculo , de modo que en realidad todo lo que hay que considerar son los mapas del círculo a sí mismo. Se puede demostrar que cada uno de estos mapas se puede deformar continuamente a (es homotópico) uno de los mapas estándar , donde la multiplicación en el círculo se define identificándolo con el círculo unitario complejo. El conjunto de clases de homotopía de aplicaciones de un círculo a un espacio topológico forman un grupo , que se denomina primer grupo de homotopía o grupo fundamental de ese espacio. El grupo fundamental del círculo es el grupo de los números enteros , Z ; y el número de devanados de una curva compleja es simplemente su clase de homotopía. ${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$

Los mapas de las 3 esferas a sí misma también se clasifican mediante un número entero que también se denomina número de bobinado o, a veces, índice de Pontryagin .

número de giro

Esta curva tiene una curvatura total 6 π , girando el número 3, aunque solo tiene una curvatura número 2 alrededor de p .

También se puede considerar el número de curvas del camino con respecto a la tangente del camino mismo. Como camino recorrido en el tiempo, este sería el número de devanado con respecto al origen del vector velocidad. En este caso el ejemplo ilustrado al inicio de este artículo tiene un número de devanado de 3, porque se cuenta el bucle pequeño.

Esto sólo se define para caminos sumergidos (es decir, para caminos diferenciables sin derivadas que no desaparecen en ninguna parte) y es el grado del mapa tangencial de Gauss .

Esto se llama número de giro , número de rotación , ^[6] índice de rotación ^[7] o índice de la curva , y se puede calcular como la curvatura total dividida por 2 π .

Polígonos

En los polígonos , el número de giro se conoce como densidad del polígono . Para polígonos convexos y, más generalmente, polígonos simples (que no se cruzan entre sí), la densidad es 1, según el teorema de la curva de Jordan . Por el contrario, para un polígono estrella regular { p / q }, la densidad es q .

Curvas espaciales

El número de giro no se puede definir para curvas espaciales ya que el grado requiere dimensiones coincidentes. Sin embargo, para curvas de espacio cerrado localmente convexas , se puede definir el signo de giro tangente como , donde es el número de giro de la proyección estereográfica de su indicatriz tangente . Sus dos valores corresponden a las dos clases de homotopía no degenerada de curvas localmente convexas . ^{[8] [9]} ${\displaystyle (-1)^{d}}$ ${\displaystyle d}$

Número de devanado y ecuaciones del ferroimán de Heisenberg.

El número de devanado está estrechamente relacionado con las ecuaciones continuas del ferroimán de Heisenberg (2 + 1) dimensiones y sus extensiones integrables: la ecuación de Ishimori, etc. Las soluciones de las últimas ecuaciones se clasifican por el número de devanado o carga topológica ( invariante topológica y/o topológica) . número cuántico ).

Aplicaciones

Visualización del algoritmo numérico de bobinado de Dan Sunday. Un número sinuoso de 0 significa que el punto está fuera del polígono; otros valores indican que el punto está dentro del polígono

Punto en polígono

El número de devanado de un punto con respecto a un polígono se puede utilizar para resolver el problema de punto en un polígono (PIP), es decir, se puede utilizar para determinar si el punto está dentro del polígono o no.

Generalmente, el algoritmo de proyección de rayos es una mejor alternativa al problema PIP ya que no requiere funciones trigonométricas, al contrario del algoritmo del número de bobinado. Sin embargo, el algoritmo del número de bobinado se puede acelerar para que tampoco requiera cálculos que impliquen funciones trigonométricas. ^[10] La versión acelerada del algoritmo, también conocida como algoritmo del domingo, se recomienda en los casos en los que también se deben tener en cuenta polígonos no simples.

Ver también

• Principio del argumento
• Paradoja de la rotación de monedas
• Coeficiente de vinculación
• Regla distinta de cero
• Densidad de polígonos
• Teorema del residuo
• Símbolo de Schlafli
• Teoría del grado topológico
• Número cuántico topológico
• Giro (matemáticas)
• Bucle de Wilson
• Retorcerse

Referencias

1. Möbius, agosto (1865). "Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders". Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-Physische Klasse . 17 : 31–68.
2. Alejandro, JW (abril de 1928). "Invariantes topológicas de nudos y enlaces". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 30 (2): 275–306. doi : 10.2307/1989123 . JSTOR  1989123.
3. Weisstein, Eric W. "Número de bobinado de contorno". MundoMatemático . Consultado el 7 de julio de 2022 .
4. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático. McGraw-Hill. pag. 201.ISBN _ 0-07-054235-X.
5. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3ª ed.). McGraw-Hill. pag. 203.ISBN _ 0-07-054234-1.
6. Abelson, Harold (1981). Geometría de tortuga: la computadora como medio para explorar las matemáticas . Prensa del MIT. pag. 24.
7. Do Carmo, Manfredo P. (1976). "5. Geometría diferencial global". Geometría Diferencial de Curvas y Superficies . Prentice Hall. pag. 393.ISBN _ 0-13-212589-7.
8. Feldman, EA (1968). "Deformaciones de curvas en espacios cerrados". Revista de Geometría Diferencial . 2 (1): 67–75. doi : 10.4310/jdg/1214501138 . S2CID  116999463.
9. Minarčík, Jiří; Beneš, Michal (2022). "Homotopía no degenerada y flujos geométricos". Homología, Homotopía y Aplicaciones . 24 (2): 255–264. arXiv : 1807.01540 . doi :10.4310/HHA.2022.v24.n2.a12. S2CID  252274622.
10. Domingo, Dan (2001). "Inclusión de un punto en un polígono". Archivado desde el original el 26 de enero de 2013.

enlaces externos

• Número de liquidación en PlanetMath .