En geometría , la densidad de un poliedro estrella es una generalización del concepto de número de devanados desde dos dimensiones a dimensiones superiores, representando el número de devanados del poliedro alrededor del centro de simetría del poliedro. Se puede determinar pasando un rayo desde el centro hasta el infinito, pasando solo a través de las facetas del politopo y no a través de ninguna característica de dimensiones inferiores, y contando cuántas facetas atraviesa. Para los poliedros en los que este recuento no depende de la elección del rayo, y en los que el punto central no está en ninguna faceta, la densidad viene dada por este recuento de facetas cruzadas.
El mismo cálculo se puede realizar para cualquier poliedro convexo , incluso uno sin simetrías, eligiendo como centro cualquier punto interior al poliedro. Para estos poliedros, la densidad será 1. De manera más general, para cualquier poliedro que no se interseca (acóptico), la densidad se puede calcular como 1 mediante un cálculo similar que elige un rayo desde un punto interior que solo pasa a través de facetas de el poliedro, suma uno cuando este rayo pasa del interior al exterior del poliedro, y resta uno cuando este rayo pasa del exterior al interior del poliedro. Sin embargo, esta asignación de señales a los cruces generalmente no se aplica a los poliedros estelares, ya que no tienen un interior y un exterior bien definidos.
Los teselados con caras superpuestas pueden definir de manera similar la densidad como el número de coberturas de caras sobre un punto determinado. [1]
La densidad de un polígono es el número de veces que el límite poligonal gira alrededor de su centro. Para polígonos convexos y, más generalmente, polígonos simples (que no se cruzan entre sí), la densidad es 1, según el teorema de la curva de Jordan .
La densidad de un polígono también puede denominarse número de giro ; la suma de los ángulos de giro de todos los vértices dividida por 360°. Este será un número entero para todos los caminos unicursales en un plano.
La densidad de un polígono compuesto es la suma de las densidades de los polígonos que lo componen.
Para un polígono estrella regular { p / q }, la densidad es q . Se puede determinar visualmente contando el número mínimo de cruces de bordes de un rayo desde el centro hasta el infinito.
Un poliedro y su dual tienen la misma densidad.
Se puede considerar un poliedro una superficie con curvatura gaussiana concentrada en los vértices y definida por un defecto de ángulo . La densidad de un poliedro es igual a la curvatura total (suma de todos sus vértices) dividida por 4π. [2]
Por ejemplo, un cubo tiene 8 vértices, cada uno con 3 cuadrados , dejando un defecto de ángulo de π/2. 8×π/2=4π. Entonces la densidad del cubo es 1.
La densidad de un poliedro con caras simples y figuras de vértices es la mitad de la Característica de Euler , χ. Si su género es g , su densidad es 1- g .
Arthur Cayley usó la densidad como una forma de modificar la fórmula del poliedro de Euler ( V − E + F = 2) para que funcione para los poliedros de estrellas regulares , donde d v es la densidad de una figura de vértice , d f de una cara y D del poliedro. como un todo:
Por ejemplo, el gran icosaedro , {3, 5/2}, tiene 20 caras triangulares ( d f = 1), 30 aristas y 12 figuras de vértices pentagramáticas ( d v = 2), dando
Esto implica una densidad de 7. La fórmula del poliedro de Euler sin modificar falla para el pequeño dodecaedro estrellado {5/2, 5} y su doble gran dodecaedro {5, 5/2}, para el cual V - E + F = -6.
Los poliedros de estrellas regulares existen en dos pares duales, y cada figura tiene la misma densidad que su dual: un par (dodecaedro estrellado pequeño-dodecaedro grande) tiene una densidad de 3, mientras que el otro ( dodecaedro estrellado grande -icosaedro grande) tiene una densidad de 7.
Edmund Hess generalizó la fórmula de los poliedros estelares con diferentes tipos de caras, algunas de las cuales pueden plegarse hacia atrás sobre otras. El valor resultante de densidad corresponde al número de veces que el poliedro esférico asociado cubre la esfera.
Esto permitió a Coxeter et al. para determinar las densidades de la mayoría de los poliedros uniformes , que tienen un tipo de vértice y múltiples tipos de cara. [4]
Para los hemipoliedros , algunas de cuyas caras pasan por el centro, no se puede definir la densidad. Los poliedros no orientables tampoco tienen densidades bien definidas.
Hay 10 4 politopos de estrellas regulares (llamados 4 politopos de Schläfli-Hess ), que tienen densidades entre 4, 6, 20, 66, 76 y 191. Vienen en pares duales, con la excepción del auto-dual. Figuras de densidad-6 y densidad-66.
