En geometría , un poliedro toroidal es un poliedro que también es un toroide (un toro con agujeros g ), que tiene un género topológico ( g ) de 1 o mayor. Ejemplos notables incluyen los poliedros de Császár y Szilassi .
Los poliedros toroidales se definen como colecciones de polígonos que se encuentran en sus bordes y vértices, formando una variedad al hacerlo. Es decir, cada arista debe ser compartida por exactamente dos polígonos, y en cada vértice las aristas y caras que se encuentran en el vértice deben estar unidas en un solo ciclo de aristas y caras alternas, el vínculo del vértice. Para poliedros toroidales, esta variedad es una superficie orientable . [1] Algunos autores restringen la frase "poliedros toroidales" para que signifique más específicamente poliedros topológicamente equivalentes al toro (género 1) . [2]
En este ámbito, es importante distinguir los poliedros toroidales incrustados , cuyas caras son polígonos planos en el espacio euclidiano tridimensional que no se cruzan entre sí, de los poliedros abstractos , superficies topológicas sin ninguna realización geométrica especificada. [3] Intermedios entre estos dos extremos están los poliedros formados por polígonos geométricos o polígonos estelares en el espacio euclidiano a los que se les permite cruzarse entre sí.
En todos estos casos, la naturaleza toroidal de un poliedro puede verificarse por su orientabilidad y por el hecho de que su característica de Euler no es positiva. La característica de Euler se generaliza a V − E + F = 2 − 2 g , donde g es su género topológico.
Dos de los poliedros toroidales incrustados más simples posibles son los poliedros de Császár y Szilassi.
El poliedro de Császár es un poliedro toroidal de siete vértices con 21 aristas y 14 caras triangulares. [6] Éste y el tetraedro son los únicos poliedros conocidos en los que cada segmento de línea posible que conecta dos vértices forma un borde del poliedro. [7] Su dual, el poliedro Szilassi , tiene siete caras hexagonales que son todas adyacentes entre sí, [8] proporcionando así la existencia de la mitad del teorema de que el número máximo de colores necesarios para un mapa en un toro (género uno) es siete. [9]
El poliedro de Császár tiene la menor cantidad de vértices posibles de cualquier poliedro toroidal incrustado, y el poliedro Szilassi tiene la menor cantidad de caras posibles de cualquier poliedro toroidal incrustado.
John H. Conway describió un deltaedro toroidal en 1997, que contiene 18 vértices y 36 caras. Algunas caras adyacentes son coplanares . Conway sugirió que debería ser el toroide deltaédrico con el menor número de caras posibles. [10]
Una categoría especial de poliedros toroidales se construye exclusivamente mediante caras poligonales regulares , sin cruces y con la restricción adicional de que las caras adyacentes no pueden estar en el mismo plano entre sí. Estos se llaman toroides de Stewart , [11] y llevan el nombre de Bonnie Stewart , quien los estudió intensamente. [12] Son análogos a los sólidos de Johnson en el caso de los poliedros convexos ; sin embargo, a diferencia de los sólidos de Johnson, hay infinitos toroides de Stewart. [13] Incluyen también deltaedros toroidales , poliedros cuyas caras son todas triángulos equiláteros.
Una clase restringida de toroides de Stewart, también definidos por Stewart, son los poliedros toroidales cuasiconvexos . Estos son toroides de Stewart que incluyen todos los bordes de sus cascos convexos . Para tal poliedro, cada cara del casco convexo se encuentra en la superficie del toroide o es un polígono cuyos bordes se encuentran en la superficie del toroide. [14]
Un poliedro que está formado por un sistema de polígonos que se cruzan corresponde a una variedad topológica abstracta formada por sus polígonos y su sistema de aristas y vértices compartidos, y el género del poliedro puede determinarse a partir de esta variedad abstracta. Los ejemplos incluyen el octahemioctaedro del género 1 , el cubicuboctaedro pequeño del género 3 y el gran dodecaedro del género 4 .
Un poliedro de corona o estefanoide es un poliedro toroidal que también es noble , siendo a la vez isogonal (vértices iguales) e isoédrico (caras iguales). Los poliedros de la corona se intersecan a sí mismos y son topológicamente autoduales . [15]