Este poliedro no tiene diagonales ; cada par de vértices está conectado por una arista. Los siete vértices y 21 aristas del poliedro de Császár forman una incrustación del gráfico completo K 7 en un toro topológico . De los 35 triángulos posibles a partir de vértices del poliedro, sólo 14 son caras.
gráfico completo
Modelo STL 3D de un poliedro de CsászárProyección ortográfica interactiva de un poliedro de Csaszar. En la imagen SVG, mueva el mouse hacia la izquierda y hacia la derecha para rotar el modelo.
El tetraedro y el poliedro de Császár son los dos únicos poliedros conocidos (que tienen un límite múltiple ) sin diagonales: cada dos vértices del polígono están conectados por un borde, por lo que no hay segmento de línea entre dos vértices que no se encuentre en el poliedro. Perímetro. Es decir, los vértices y aristas del poliedro de Császár forman un grafo completo . [1]
La descripción combinatoria de este poliedro ha sido descrita anteriormente por Möbius . [2] En un artículo de Bokowski y Eggert (1991) se pueden encontrar tres poliedros diferentes adicionales de este tipo. [3]
Si el límite de un poliedro con v vértices forma una superficie con h agujeros, de tal manera que cada par de vértices está conectado por una arista, se deduce, mediante alguna manipulación de la característica de Euler , que [4]
hvhvhv[5][6]
De manera más general, esta ecuación sólo puede satisfacerse cuando v es congruente con 0, 3, 4 o 7 módulo 12. [7]
Historia y poliedros relacionados.
El poliedro de Császár lleva el nombre del topólogo húngaro Ákos Császár , quien lo descubrió en 1949. [8] El poliedro dual del poliedro de Császár, el poliedro Szilassi , fue descubierto más tarde, en 1977, por Lajos Szilassi ; tiene 14 vértices, 21 aristas y siete caras hexagonales , cada una de las cuales comparte una arista con las demás. Al igual que el poliedro de Császár, el poliedro de Szilassi tiene la topología de un toroide. [9] [10]
Hay otros poliedros conocidos, como el poliedro de Schönhardt, para el cual no hay diagonales interiores (es decir, todas las diagonales están fuera del poliedro), así como superficies no múltiples sin diagonales. [11] [12]
Referencias
^ Gardner, Martin (1988), Viajes en el tiempo y otros desconciertos matemáticos, WH Freeman and Company, p. 140, Bibcode : 1988ttom.book.......G, ISBN 0-7167-1924-X
^ Möbius, AF (1967) [1886], "Mittheilungen aus Möbius' Nachlass: I", en Klein, Felix (ed.), Zur Theorie der Polyëder und der Elementarverwandtschaft , Gesammelte Werke, vol. II, pág. 552, OCLC 904788205
^ Bokowski, J.; Eggert, A. (1991), "Todas las realizaciones del toro de Möbius con 7 vértices", Topología estructural , 17 : 59–76, CiteSeerX 10.1.1.970.6870 , hdl :2099/1067
^ Gardner (1988), pág. 142.
^ Bokowski, J.; Guedes de Oliveira, A. (2000), "Sobre la generación de matroides orientadas", Geometría computacional y discreta , 24 : 197–208, doi :10.1007/s004540010027
^ Ziegler, Günter M. (2008), "Superficies poliédricas de alto género", en Bobenko, AI; Schröder, P.; Sullivan, JM ; Ziegler, GM (eds.), Geometría diferencial discreta , Seminarios de Oberwolfach, vol. 38, Springer-Verlag, págs. 191–213, arXiv : math.MG/0412093 , doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_10, ISBN978-3-7643-8620-7, S2CID 15911143
^ Lutz, Frank H. (2001), "Toroide de Császár", Modelos de geometría electrónica : 2001.02.069
^ Császár, A. (1949), "Un poliedro sin diagonales" (PDF) , Acta Sci. Matemáticas. Szeged , 13 : 140–142, archivado desde el original (PDF) el 18 de septiembre de 2017.
^ Gardner, Martin (1992), Música fractal, Hypercards y más: recreaciones matemáticas de Scientific American , WH Freeman and Company, p. 118, ISBN0-7167-2188-0
^ Szabó, Sándor (1984), "Poliedros sin diagonales", Periodica Mathematica Hungarica , 15 (1): 41–49, doi :10.1007/BF02109370, S2CID 189834222
^ Szabó, Sándor (2009), "Poliedros sin diagonales II", Periodica Mathematica Hungarica , 58 (2): 181–187, doi :10.1007/s10998-009-10181-x, S2CID 45731540
