En geometría , el poliedro de Szilassi es un poliedro no convexo , topológicamente un toro , con siete caras hexagonales .
Los 14 vértices y 21 aristas del poliedro de Szilassi forman una incrustación del gráfico de Heawood en la superficie de un toroide. [1] Cada cara de este poliedro comparte un borde con cada otra cara. Como resultado, se necesitan siete colores para colorear todas las caras adyacentes. Este ejemplo muestra que, en superficies topológicamente equivalentes a un toroide , algunas subdivisiones requieren siete colores, lo que proporciona el límite inferior del teorema de los siete colores . La otra mitad del teorema establece que todas las subdivisiones toroidales se pueden colorear con siete colores o menos.
El poliedro Szilassi tiene un eje de simetría de 180 grados . Esta simetría intercambia tres pares de caras congruentes, dejando un hexágono desapareado que tiene la misma simetría rotacional que el poliedro.
El tetraedro y el poliedro de Szilassi son los dos únicos poliedros conocidos en los que cada cara comparte una arista con la otra.
Si un poliedro con f caras está incrustado en una superficie con h agujeros, de tal manera que cada cara comparte un borde con cada otra cara, se deduce de alguna manipulación de la característica de Euler que
Esta ecuación se satisface para el tetraedro con h = 0 y f = 4, y para el poliedro de Szilassi con h = 1 y f = 7.
La siguiente solución posible, h = 6 y f = 12, correspondería a un poliedro con 44 vértices y 66 aristas. Sin embargo, no se sabe si un poliedro de este tipo puede realizarse geométricamente sin autocruces (en lugar de como un politopo abstracto ). De manera más general, esta ecuación puede satisfacerse precisamente cuando f es congruente con 0, 3, 4 o 7 módulo 12. [2] [3]
¿Existe un poliedro no convexo sin autointersecciones con más de siete caras, todas las cuales comparten un borde entre sí?
El poliedro Szilassi lleva el nombre del matemático húngaro Lajos Szilassi , quien lo descubrió en 1977. [4] [1] El dual del poliedro Szilassi, el poliedro de Császár , fue descubierto anteriormente por Ákos Császár (1949); tiene siete vértices, 21 aristas que conectan cada par de vértices y 14 caras triangulares. Al igual que el poliedro de Szilassi, el poliedro de Császár tiene la topología de un toroide. [5]
