Número de enlace

Invariante numérico que describe la vinculación de dos curvas cerradas en un espacio tridimensional

Las dos curvas de este enlace toroide (2, 8) tienen el enlace número cuatro.

En matemáticas , el número de enlace es un invariante numérico que describe el enlace de dos curvas cerradas en un espacio tridimensional . Intuitivamente, el número de enlace representa el número de veces que cada curva rodea a la otra. En el espacio euclidiano , el número de enlace es siempre un número entero , pero puede ser positivo o negativo dependiendo de la orientación de las dos curvas (esto no es cierto para las curvas en la mayoría de las 3 variedades , donde los números de enlace también pueden ser fracciones o simplemente no existir). en absoluto).

El número de enlace fue introducido por Gauss en forma de integral de enlace . Es un importante objeto de estudio en teoría de nudos , topología algebraica y geometría diferencial , y tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y ciencias , incluida la mecánica cuántica , el electromagnetismo y el estudio del superenrollamiento del ADN .

Definición

Dos curvas cerradas cualesquiera en el espacio, si se les permite pasar entre sí pero no entre sí, se pueden mover exactamente a una de las siguientes posiciones estándar. Esto determina el número de enlace:

Cada curva puede pasar a través de sí misma durante este movimiento, pero las dos curvas deben permanecer separadas en todo momento. Esto se formaliza como homotopía regular , que además requiere que cada curva sea una inmersión , no un mapa cualquiera. Sin embargo, esta condición agregada no cambia la definición de número de enlace (no importa si se requiere que las curvas sean siempre inmersiones o no), que es un ejemplo de un principio h (principio de homotopía), lo que significa que la geometría reduce a la topología.

Prueba

Este hecho (que el número vinculante es el único invariante) se prueba más fácilmente colocando un círculo en una posición estándar y luego mostrando que el número vinculante es el único invariante del otro círculo. En detalle:

• Una curva única es homotópica regular de un círculo estándar (cualquier nudo se puede desatar si se permite que la curva pase a través de sí misma). El hecho de que sea homotópico es claro, ya que el 3-espacio es contráctil y, por lo tanto, todos los mapas que contiene son homotópicos, aunque el hecho de que esto se pueda hacer mediante inmersiones requiere algún argumento geométrico.
• El complemento de un círculo estándar es homeomorfo a un toro sólido al que se le ha quitado un punto (esto se puede ver interpretando el espacio tridimensional como las 3 esferas sin el punto en el infinito, y las 3 esferas como dos toros sólidos pegados a lo largo del círculo). límite), o el complemento se puede analizar directamente.
• El grupo fundamental de 3 espacios menos un círculo son los números enteros, correspondientes al número de enlace. Esto se puede ver a través del teorema de Seifert-Van Kampen (ya sea sumando el punto en el infinito para obtener un toro sólido, o sumando el círculo para obtener 3 espacios, permite calcular el grupo fundamental del espacio deseado).
• Por lo tanto, las clases de homotopía de una curva en el espacio tridimensional menos un círculo se determinan mediante el número de enlace.
• También es cierto que las clases de homotopía regulares están determinadas por el número de enlace, lo que requiere un argumento geométrico adicional.

Calcular el número de enlace

Con seis cruces positivos y dos cruces negativos, estas curvas tienen el enlace número dos.

Existe un algoritmo para calcular el número de enlace de dos curvas a partir de un diagrama de enlace . Etiquete cada cruce como positivo o negativo , según la siguiente regla: ^[1]

El número total de cruces positivos menos el número total de cruces negativos es igual al doble del número de enlace. Eso es:

${\displaystyle {\text{linking number}}={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}}}$

donde n ₁ , n ₂ , n ₃ , n ₄ representan el número de cruces de cada uno de los cuatro tipos. Las dos sumas y son siempre iguales, ^[2] lo que lleva a la siguiente fórmula alternativa ${\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!}$ ${\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!}$

${\displaystyle {\text{linking number}}\,=\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.}$

La fórmula implica sólo los cruces inferiores de la curva azul por la roja, mientras que sólo implica los cruces superiores. ${\displaystyle n_{1}-n_{4}}$ ${\displaystyle n_{2}-n_{3}}$

Propiedades y ejemplos

Las dos curvas del enlace de Whitehead tienen el número de enlace cero.

• Dos curvas cualesquiera no vinculadas tienen un número de enlace cero. Sin embargo, dos curvas con número de enlace cero todavía pueden estar enlazadas (por ejemplo, el enlace de Whitehead ).
• Invertir la orientación de cualquiera de las curvas niega el número de enlace, mientras que invertir la orientación de ambas curvas lo deja sin cambios.
• El número de enlace es quiral : tomar la imagen especular del enlace niega el número de enlace. La convención para el número de enlace positivo se basa en la regla de la mano derecha .
• El número de devanado de una curva orientada en el plano x - y es igual a su número de enlace con el eje z (pensando en el eje z como una curva cerrada en las 3 esferas ).
• De manera más general, si cualquiera de las curvas es simple , entonces el primer grupo de homología de su complemento es isomorfo a Z. En este caso, el número de enlace está determinado por la clase de homología de la otra curva.
• En física , el número de enlace es un ejemplo de número cuántico topológico .

Definición integral de Gauss

Dadas dos curvas diferenciables que no se cruzan , defina el mapa de Gauss desde el toro a la esfera por ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}}$

Elija un punto en la esfera unitaria, v , de modo que la proyección ortogonal del vínculo al plano perpendicular a v proporcione un diagrama de vínculo. Observe que un punto ( s , t ) que va a v bajo el mapa de Gauss corresponde a un cruce en el diagrama de enlaces donde termina . Además, una vecindad de ( s , t ) se asigna bajo el mapa de Gauss a una vecindad de v preservando o invirtiendo la orientación dependiendo del signo del cruce. Por tanto, para calcular el número de enlace del diagrama correspondiente a v basta con contar el número con signo de veces que el mapa de Gauss cubre v . Dado que v es un valor regular , este es precisamente el grado del mapa de Gauss (es decir, el número con signo de veces que la imagen de Γ cubre la esfera). La invariancia isotópica del número de enlace se obtiene automáticamente ya que el grado es invariante en mapas homotópicos. Cualquier otro valor regular daría el mismo número, por lo que el número de enlace no depende de ningún diagrama de enlace en particular. ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$

Esta formulación del número de enlace de γ ₁ y γ ₂ permite una fórmula explícita como integral de línea doble , la integral de enlace de Gauss :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\[4pt]&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\det \left({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right)}{\left|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right|^{3}}}\,ds\,dt\end{aligned}}}$

Esta integral calcula el área total con signo de la imagen del mapa de Gauss (siendo el integrando el jacobiano de Γ) y luego la divide por el área de la esfera (que es 4 π ).

En la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos , la definición integral de Gauss surge al calcular el valor esperado del bucle de Wilson observable en la teoría del calibre de Chern-Simons . Explícitamente, la acción abeliana de Chern-Simons para una forma unipotencial de calibre en una variedad triple está dada por ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S_{CS}={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}A\wedge dA}$

Estamos interesados ​​en realizar la integral de trayectoria de Feynman para Chern-Simons en : ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\int {\mathcal {D}}A_{\mu }\exp \left({\frac {ik}{4\pi }}\int d^{3}x\varepsilon ^{\lambda \mu \nu }A_{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }+i\int _{\gamma _{1}}dx^{\mu }\,A_{\mu }+i\int _{\gamma _{2}}dx^{\mu }\,A_{\mu }\right)}$

Aquí está el símbolo antisimétrico. Dado que la teoría es simplemente gaussiana, no se necesita regularización o renormalización ultravioleta. Por lo tanto, la invariancia topológica del lado derecho garantiza que el resultado de la integral de ruta será una invariante topológica. Lo único que queda por hacer es proporcionar un factor de normalización general y se presentará una elección natural. Dado que la teoría es gaussiana y abeliana, la integral de trayectoria se puede hacer simplemente resolviendo la teoría clásicamente y sustituyendo . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A}$

Las ecuaciones clásicas del movimiento son

${\displaystyle \varepsilon ^{\lambda \mu \nu }\partial _{\mu }A_{\nu }={\frac {2\pi }{k}}J^{\lambda }}$

Aquí, hemos acoplado el campo de Chern-Simons a una fuente con un término en lagrangiano. Obviamente, sustituyendo el apropiado , podemos recuperar los bucles de Wilson. Como estamos en 3 dimensiones, podemos reescribir las ecuaciones de movimiento en una notación más familiar: ${\displaystyle -J_{\mu }A^{\mu }}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\frac {2\pi }{k}}{\vec {J}}}$

Tomando el rizo de ambos lados y eligiendo el calibre de Lorenz , las ecuaciones quedan ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {2\pi }{k}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}}$

De la electrostática, la solución es

${\displaystyle A_{\lambda }({\vec {x}})={\frac {1}{2k}}\int d^{3}{\vec {y}}\,{\frac {\varepsilon _{\lambda \mu \nu }\partial ^{\mu }J^{\nu }({\vec {y}})}{|{\vec {x}}-{\vec {y}}|}}}$

La integral de ruta para arbitrario ahora se hace fácilmente sustituyéndola en la acción de Chern-Simons para obtener una acción efectiva para el campo. Para obtener la integral de trayectoria para los bucles de Wilson, sustituimos una fuente que describe dos partículas que se mueven en bucles cerrados, es decir , con ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=J_{1}+J_{2}}$

${\displaystyle J_{i}^{\mu }(x)=\int _{\gamma _{i}}dx_{i}^{\mu }\delta ^{3}(x-x_{i}(t))}$

Dado que la acción efectiva es cuadrática en , está claro que habrá términos que describan la autointeracción de las partículas, y estos no son interesantes ya que estarían allí incluso en presencia de un solo bucle. Por lo tanto, normalizamos la integral de trayectoria mediante un factor que cancela precisamente estos términos. Repasando el álgebra obtenemos ${\displaystyle J}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\exp {\left({\frac {2\pi i}{k}}\Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]\right)},}$

dónde

${\displaystyle \Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]={\frac {1}{4\pi }}\int _{\gamma _{1}}dx^{\lambda }\int _{\gamma _{2}}dy^{\mu }\,{\frac {(x-y)^{\nu }}{|x-y|^{3}}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu },}$

que es simplemente la integral de enlace de Gauss. Este es el ejemplo más simple de una teoría cuántica de campos topológica , donde la integral de ruta calcula invariantes topológicas. Esto también sirvió como indicio de que la variante nobeliana de la teoría de Chern-Simons calcula otros invariantes de nudos, y Edward Witten demostró explícitamente que la teoría nobeliana da el invariante conocido como polinomio de Jones. ^[3]

La teoría del calibre de Chern-Simons vive en 3 dimensiones espacio-temporales. De manera más general, existen teorías de campos cuánticos topológicos de dimensiones superiores. Existen estadísticas más complicadas de múltiples bucles/trenzado de cuerdas de teorías de calibre de 4 dimensiones capturadas por los invariantes de enlace de teorías de campos cuánticos topológicos exóticos en 4 dimensiones de espacio-tiempo. ^[4]

Generalizaciones

Los invariantes de Milnor generalizan el número de enlace a enlaces con tres o más componentes, lo que permite demostrar que los anillos borromeos están enlazados, aunque dos componentes cualesquiera tengan el número de enlace 0.

• Así como las curvas cerradas se pueden vincular en tres dimensiones, dos variedades cerradas cualesquiera de dimensiones myn se pueden vincular en un espacio euclidiano de dimensión . Cualquier enlace de este tipo tiene un mapa de Gauss asociado, cuyo grado es una generalización del número de enlace. ${\displaystyle m+n+1}$
• Cualquier nudo enmarcado tiene un número de autoenlace que se obtiene calculando el número de enlace del nudo C con una nueva curva obtenida moviendo ligeramente los puntos de C a lo largo de los vectores de encuadre. El número de autoenlace que se obtiene al moverse verticalmente (a lo largo del marco de la pizarra) se conoce como número de autoenlace de Kauffman .
• El número de enlace se define para dos círculos enlazados; Dados tres o más círculos, se pueden definir los invariantes de Milnor , que son un número de enlace generalizador invariante numérico.
• En topología algebraica , el producto de copa es una generalización algebraica de gran alcance del número de enlace, siendo los productos de Massey los análogos algebraicos de las invariantes de Milnor .
• Una incrustación sin enlaces de un gráfico no dirigido es una incrustación en un espacio tridimensional de modo que cada dos ciclos tenga un número de enlace cero. Los gráficos que tienen una incrustación sin enlaces tienen una caracterización menor prohibida como los gráficos sin familia Petersen menor .

Ver también

• Curva diferenciable  – Estudio de curvas desde un punto de vista diferencial
• Invariante de Hopf  : invariante de homotopía de mapas entre n-esferas
• Número de besos  – Concepto geométrico
• Writhe  – Invariante de un diagrama de nudos

Notas

1. Este es el mismo etiquetado que se utiliza para calcular la torsión de un nudo , aunque en este caso solo etiquetamos los cruces que involucran ambas curvas del enlace.
2. Esto se desprende del teorema de la curva de Jordan si alguna de las curvas es simple. Por ejemplo, si la curva azul es simple, entonces n ₁  +  n ₃ y n ₂  +  n ₄ representan el número de veces que la curva roja entra y sale de la región delimitada por la curva azul.
3. Witten, E. (1989). "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones". Com. Matemáticas. Física . 121 (3): 351–399. Código bibliográfico : 1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/bf01217730. SEÑOR  0990772. Zbl  0667.57005.
4. Putrov, Pavel; Wang, Juven; Yau, Shing-Tung (septiembre de 2017). "Estadísticas de trenzado e invariantes de enlace de materia cuántica topológica bosónica / fermiónica en dimensiones 2 + 1 y 3 + 1". Anales de Física . 384C : 254–287. arXiv : 1612.09298 . Código Bib : 2017AnPhy.384..254P. doi :10.1016/j.aop.2017.06.019.

Referencias

• AV Chernavskii (2001) [1994], "Coeficiente de vinculación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• AV Chernavskii (2001) [1994], "Número retorcido", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press