En geometría , el número de beso de un espacio matemático se define como el mayor número de esferas unitarias no superpuestas que se pueden disponer en ese espacio de manera que cada una de ellas toque una esfera unitaria común. Para un empaquetado de esferas determinado (disposición de esferas) en un espacio determinado, también se puede definir un número de besos para cada esfera individual como el número de esferas que toca. Para un empaque de celosía , el número de besos es el mismo para todas las esferas, pero para un empaque de esferas arbitrario, el número de besos puede variar de una esfera a otra.
Otros nombres para el número de besos que se han utilizado son número de Newton (en honor al autor del problema) y número de contacto .
En general, el problema del número de besos busca el máximo número de besos posible para esferas de n dimensiones en el espacio euclidiano de ( n + 1) dimensiones . Las esferas ordinarias corresponden a superficies cerradas bidimensionales en un espacio tridimensional.
Encontrar el número de beso cuando los centros de las esferas están confinados a una línea (el caso unidimensional) o un plano (el caso bidimensional) es trivial. Demostrar una solución al caso tridimensional, a pesar de ser fácil de conceptualizar y modelar en el mundo físico, fue difícil para los matemáticos hasta mediados del siglo XX. [1] [2] Las soluciones en dimensiones superiores son considerablemente más desafiantes y solo un puñado de casos se han resuelto exactamente. Para otros, las investigaciones han determinado límites superiores e inferiores, pero no soluciones exactas. [3]
En una dimensión, [4] el número de besos es 2:
En dos dimensiones, el número del beso es 6:
Prueba : Considere un círculo con centro C que está tocado por círculos con centros C 1 , C 2 , .... Considere los rayos C C i . Todos estos rayos emanan del mismo centro C , por lo que la suma de los ángulos entre rayos adyacentes es 360°.
Supongamos por contradicción que hay más de seis círculos en contacto. Entonces al menos dos rayos adyacentes, digamos C C 1 y C C 2 , están separados por un ángulo menor de 60°. Los segmentos CC i tienen la misma longitud – 2 r – para todo i . Por lo tanto, el triángulo C C 1 C 2 es isósceles y su tercer lado, C 1 C 2 , tiene una longitud de lado inferior a 2 r . Por lo tanto, los círculos 1 y 2 se cruzan: una contradicción. [5]
En tres dimensiones, el número de besos es 12, pero establecer el valor correcto fue mucho más difícil que en las dimensiones uno y dos. Es fácil disponer 12 esferas de modo que cada una toque una esfera central, quedando mucho espacio, y no es obvio que no haya forma de empaquetar una decimotercera esfera. (De hecho, hay tanto espacio extra que dos de las 12 esferas exteriores pueden intercambiar lugares mediante un movimiento continuo sin que ninguna de las esferas exteriores pierda contacto con la del centro). Este fue el tema de un famoso desacuerdo entre los matemáticos Isaac Newton y David Gregory . Newton pensó correctamente que el límite era 12; Gregory pensó que cabría un 13. En el siglo XIX se ofrecieron algunas pruebas incompletas de que Newton tenía razón, sobre todo una de Reinhold Hoppe , pero la primera prueba correcta (según Brass, Moser y Pach) no apareció hasta 1953. [1] [2] [6 ]
Los doce vecinos de la esfera central corresponden al número máximo de coordinación en masa de un átomo en una red cristalina en la que todos los átomos tienen el mismo tamaño (como en un elemento químico). Un número de coordinación de 12 se encuentra en una estructura cúbica compacta o hexagonal compacta .
En cuatro dimensiones, se sabía desde hacía algún tiempo que la respuesta era 24 o 25. Es sencillo producir un empaquetamiento de 24 esferas alrededor de una esfera central (se pueden colocar las esferas en los vértices de una esfera centrada de 24 celdas adecuadamente escalada). Al origen). Como en el caso tridimensional, queda mucho espacio sobrante (incluso más, de hecho, que para n = 3), por lo que la situación era aún menos clara. En 2003, Oleg Musin demostró que el número de besos para n = 4 era 24. [7] [8]
El número de besos en n dimensiones se desconoce para n > 4, excepto para n = 8 (donde el número de besos es 240) y n = 24 (donde es 196,560). [9] [10] Los resultados en estas dimensiones se derivan de la existencia de redes altamente simétricas: la red E 8 y la red Leech .
Si los arreglos se restringen a arreglos de celosía , en los que todos los centros de las esferas se encuentran en puntos de una celosía , entonces este número de besos restringido se conoce para n = 1 a 9 y n = 24 dimensiones. [11] Para 5, 6 y 7 dimensiones, la disposición con el número de besos más alto conocido encontrado hasta ahora es la disposición reticular óptima, pero no se ha excluido la existencia de una disposición no reticular con un número de besos más alto.
La siguiente tabla enumera algunos límites conocidos del número de besos en varias dimensiones. [12] Las dimensiones en las que se conoce el número de besos se enumeran en negrita.
El problema del número de besos se puede generalizar al problema de encontrar el número máximo de copias congruentes no superpuestas de cualquier cuerpo convexo que toquen una copia determinada del cuerpo. Existen diferentes versiones del problema dependiendo de si las copias solo deben ser congruentes con el cuerpo original, traducciones del cuerpo original o traducidas mediante un entramado. Para el tetraedro regular , por ejemplo, se sabe que tanto el número de besos de celosía como el número de besos traslativo son iguales a 18, mientras que el número de besos congruente es al menos 56. [14]
Existen varios algoritmos de aproximación en gráficos de intersección donde la relación de aproximación depende del número de besos. [15] Por ejemplo, existe un algoritmo de 10 aproximaciones en tiempo polinómico para encontrar un subconjunto máximo que no se interseca de un conjunto de cuadrados unitarios rotados.
El problema del número de los besos se puede plantear como la existencia de una solución a un conjunto de desigualdades . Sea un conjunto de vectores de posición N D -dimensionales de los centros de las esferas. La condición para que este conjunto de esferas pueda situarse alrededor de la esfera central sin superponerse es: [16]
Así, el problema de cada dimensión puede expresarse en la teoría existencial de los reales . Sin embargo, los métodos generales para resolver problemas de esta forma requieren al menos un tiempo exponencial, razón por la cual este problema solo se ha resuelto hasta en cuatro dimensiones. Al agregar variables adicionales, esto se puede convertir en una única ecuación de cuarto grado en N ( N − 1)/2 + DN variables: [17]
Por tanto, resolver el caso en D = 5 dimensiones y N = 40 + 1 vectores equivaldría a determinar la existencia de soluciones reales a un polinomio cuártico en 1025 variables. Para las dimensiones D = 24 y N = 196560 + 1, la cuarta tendría 19.322.732.544 variables. Una afirmación alternativa en términos de geometría de distancia viene dada por las distancias al cuadrado entre la m -ésima y la n -ésima esfera:
Esto debe complementarse con la condición de que el determinante de Cayley-Menger sea cero para cualquier conjunto de puntos que forme un ( D + 1) simplex en D dimensiones, ya que ese volumen debe ser cero. La configuración proporciona un conjunto de ecuaciones polinómicas simultáneas en solo y que deben resolverse únicamente para valores reales. Los dos métodos, al ser totalmente equivalentes, tienen usos diferentes. Por ejemplo, en el segundo caso se pueden alterar aleatoriamente los valores de y en pequeñas cantidades para intentar minimizar el polinomio en términos de y .
