Bucle de Wilson

Operador de bucle de campo de calibre

En la teoría cuántica de campos , los bucles de Wilson son operadores invariantes de calibre que surgen del transporte paralelo de variables de calibre alrededor de bucles cerrados . Codifican toda la información de calibre de la teoría, lo que permite la construcción de representaciones de bucles que describen completamente las teorías de calibre en términos de estos bucles. En la teoría de calibre pura, desempeñan el papel de operadores de orden para el confinamiento , donde satisfacen lo que se conoce como la ley del área. Originalmente formulados por Kenneth G. Wilson en 1974, se utilizaron para construir enlaces y plaquetas que son los parámetros fundamentales en la teoría de calibre de red . ^[1] Los bucles de Wilson caen en la clase más amplia de operadores de bucle , con otros ejemplos notables siendo los bucles de 't Hooft , que son duales magnéticos de los bucles de Wilson, y los bucles de Polyakov , que son la versión térmica de los bucles de Wilson.

Definición

Una conexión en un fibrado principal con el espacio-tiempo separa el espacio tangente en cada punto a lo largo de la fibra en un subespacio vertical y un subespacio horizontal . Las curvas en el espacio-tiempo se elevan a curvas en el fibrado principal cuyos vectores tangentes se encuentran en el subespacio horizontal. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle V_{p}}$ ${\displaystyle H_{p}}$

Para definir correctamente los bucles de Wilson en la teoría de gauge es necesario considerar la formulación de haces de fibras de las teorías de gauge. ^[2] Aquí, para cada punto en el espacio-tiempo dimensional hay una copia del grupo de gauge que forma lo que se conoce como una fibra del haz de fibras . Estos haces de fibras se denominan haces principales . Localmente, el espacio resultante se ve como aunque globalmente puede tener alguna estructura retorcida dependiendo de cómo se peguen entre sí las diferentes fibras. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\times G}$

El problema que resuelven las líneas de Wilson es cómo comparar puntos en fibras en dos puntos diferentes del espacio-tiempo. Esto es análogo al transporte paralelo en la relatividad general , que compara vectores tangentes que viven en los espacios tangentes en diferentes puntos. Para los fibrados principales, existe una forma natural de comparar diferentes puntos de fibra mediante la introducción de una conexión , que es equivalente a introducir un campo de calibración. Esto se debe a que una conexión es una forma de separar el espacio tangente del fibrado principal en dos subespacios conocidos como subespacios vertical y horizontal. ^[3] El primero consta de todos los vectores que apuntan a lo largo de la fibra, mientras que el segundo consta de vectores que son perpendiculares a la fibra. Esto permite la comparación de valores de fibra en diferentes puntos del espacio-tiempo al conectarlos con curvas en el fibrado principal cuyos vectores tangentes siempre viven en el subespacio horizontal, por lo que la curva siempre es perpendicular a cualquier fibra dada. ${\displaystyle G}$

Si la fibra de partida está en la coordenada con un punto de partida de la identidad , entonces para ver cómo esto cambia al moverse a otra coordenada espaciotemporal , uno necesita considerar alguna curva espaciotemporal entre y . La curva correspondiente en el fibrado principal, conocida como la sustentación horizontal de , es la curva tal que y que sus vectores tangentes siempre se encuentran en el subespacio horizontal. La formulación del fibrado de fibras de la teoría de gauge revela que el campo de gauge valorado en el álgebra de Lie es equivalente a la conexión que define el subespacio horizontal, por lo que esto conduce a una ecuación diferencial para la sustentación horizontal ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}=e}$ ${\displaystyle x_{f}}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{f}}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=g_{i}}$ ${\displaystyle A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}$

${\displaystyle i{\frac {dg(t)}{dt}}=A_{\mu }(x){\frac {dx^{\mu }}{dt}}g(t).}$

Esto tiene una solución formal única llamada línea de Wilson entre los dos puntos.

${\displaystyle g_{f}(t_{f})=W[x_{i},x_{f}]={\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\int _{x_{i}}^{x_{f}}A_{\mu }\,dx^{\mu }{\bigg )},}$

donde es el operador de ordenamiento de trayectorias , que es innecesario para las teorías abelianas . El levantamiento horizontal que comienza en algún punto de fibra inicial distinto de la identidad simplemente requiere la multiplicación por el elemento inicial del levantamiento horizontal original. En términos más generales, se cumple que si entonces para todo . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(0)={\tilde {\gamma }}(0)g}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(t)={\tilde {\gamma }}(t)g}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Bajo una transformación de ancho local, la línea Wilson se transforma como ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle W[x_{i},x_{f}]\rightarrow g(x_{f})W[x_{i},x_{f}]g^{-1}(x_{i}).}$

Esta propiedad de transformación de calibre se utiliza a menudo para introducir directamente la línea de Wilson en presencia de campos de materia que se transforman en la representación fundamental del grupo de calibre, donde la línea de Wilson es un operador que hace que la combinación sea invariante en el calibre. ^[4] Permite la comparación del campo de materia en diferentes puntos de una manera invariante en el calibre. Alternativamente, las líneas de Wilson también se pueden introducir añadiendo una partícula de prueba infinitamente pesada cargada bajo el grupo de calibre. Su carga forma un espacio de Hilbert interno cuantificado , que se puede integrar, produciendo la línea de Wilson como la línea del mundo de la partícula de prueba. ^[5] Esto funciona en la teoría cuántica de campos independientemente de si hay o no contenido de materia en la teoría. Sin embargo, la conjetura de los pantanos conocida como conjetura de completitud afirma que en una teoría consistente de la gravedad cuántica , cada línea de Wilson y línea de 't Hooft de una carga particular consistente con la condición de cuantificación de Dirac debe tener una partícula correspondiente de esa carga presente en la teoría. ^[6] Desacoplar estas partículas tomando el límite de masa infinita ya no funciona ya que esto formaría agujeros negros . ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x_{i})^{\dagger }W[x_{i},x_{f}]\phi (x_{f})}$

La traza de las líneas de Wilson cerradas es una cantidad invariante de calibre conocida como bucle de Wilson.

${\displaystyle W[\gamma ]={\text{tr}}{\bigg [}{\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\oint _{\gamma }A_{\mu }\,dx^{\mu }{\bigg )}{\bigg ]}.}$

Matemáticamente, el término dentro de la traza se conoce como holonomía , que describe un mapeo de la fibra en sí misma al elevarse horizontalmente a lo largo de un bucle cerrado. El conjunto de todas las holonomías en sí mismo forma un grupo , que para los haces principales debe ser un subgrupo del grupo de calibre. Los bucles de Wilson satisfacen la propiedad de reconstrucción donde conocer el conjunto de bucles de Wilson para todos los bucles posibles permite la reconstrucción de toda la información invariante de calibre sobre la conexión de calibre. ^[7] Formalmente, el conjunto de todos los bucles de Wilson forma una base sobrecompleta de soluciones a la restricción de la ley de Gauss.

El conjunto de todas las líneas de Wilson se corresponde biunívocamente con las representaciones del grupo de calibración. Esto se puede reformular en términos del lenguaje del álgebra de Lie utilizando la red de pesos del grupo de calibración . En este caso, los tipos de bucles de Wilson se corresponden biunívocamente con donde es el grupo de Weyl . ^[8] ${\displaystyle \Lambda _{w}}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}/W}$ ${\displaystyle W}$

Operadores espaciales de Hilbert

Una visión alternativa de los bucles de Wilson es considerarlos como operadores que actúan sobre el espacio de Hilbert de estados en la firma de Minkowski . ^[5] Dado que el espacio de Hilbert vive en una única porción de tiempo, los únicos bucles de Wilson que pueden actuar como operadores en este espacio son los formados utilizando bucles espaciales . Tales operadores crean un bucle cerrado de flujo eléctrico , que se puede ver notando que el operador de campo eléctrico es distinto de cero en el bucle, pero se desvanece en todos los demás lugares. Usando el teorema de Stokes se deduce que el bucle espacial mide el flujo magnético a través del bucle. ^[9] ${\displaystyle W[\gamma ]}$ ${\displaystyle E^{i}}$ ${\displaystyle E^{i}W[\gamma ]|0\rangle \neq 0}$

Operador de orden

Dado que las líneas de Wilson temporales corresponden a la configuración creada por quarks estacionarios infinitamente pesados, el bucle de Wilson asociado con un bucle rectangular con dos componentes temporales de longitud y dos componentes espaciales de longitud , puede interpretarse como un par quark -antiquark con una separación fija. En tiempos grandes, el valor esperado de vacío del bucle de Wilson proyecta el estado con la energía mínima , que es el potencial entre los quarks. ^[10] Los estados excitados con energía se suprimen exponencialmente con el tiempo y, por lo tanto, el valor esperado es como ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle V(r)+\Delta E}$

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-TV(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-T\Delta E})),}$

lo que hace que el bucle de Wilson sea útil para calcular el potencial entre pares de quarks. Este potencial debe ser necesariamente una función monótonamente creciente y cóncava de la separación de quarks. ^{[11] [12]} Dado que los bucles de Wilson espaciales no son fundamentalmente diferentes de los temporales, el potencial de quarks está realmente relacionado directamente con la estructura de la teoría pura de Yang-Mills y es un fenómeno independiente del contenido de materia. ^[13]

El teorema de Elitzur asegura que los operadores locales no invariantes de norma no pueden tener valores de expectativa distintos de cero. En su lugar, se deben utilizar operadores no locales invariantes de norma como parámetros de orden para el confinamiento. El bucle de Wilson es exactamente un parámetro de orden de este tipo en la teoría pura de Yang-Mills , donde en la fase de confinamiento su valor de expectativa sigue la ley del área ^[14]

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-aA[\gamma ]}}$

para un bucle que encierra un área . Esto está motivado por el potencial entre quarks de prueba infinitamente pesados ​​que en la fase de confinamiento se espera que crezca linealmente donde se conoce como la tensión de la cuerda. Mientras tanto, en la fase de Higgs el valor esperado sigue la ley del perímetro ${\displaystyle A[\gamma ]}$ ${\displaystyle V(r)\sim \sigma r}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-bL[\gamma ]},}$

donde es la longitud del perímetro del bucle y es una constante. La ley del área de los bucles de Wilson se puede utilizar para demostrar el confinamiento en ciertas teorías de baja dimensión directamente, como para el modelo de Schwinger cuyo confinamiento está impulsado por instantones . ^[15] ${\displaystyle L[\gamma ]}$ ${\displaystyle b}$

Formulación en red

En la teoría de campos reticulares , las líneas y bucles de Wilson desempeñan un papel fundamental en la formulación de campos de calibración en la red . Las líneas de Wilson más pequeñas en la red, aquellas entre dos puntos reticulares adyacentes, se conocen como enlaces, con un solo enlace que comienza desde un punto reticular y va en la dirección denotada por . Cuatro enlaces alrededor de un solo cuadrado se conocen como plaquetas, y su traza forma el bucle de Wilson más pequeño. ^[16] Son estas plaquetas las que se utilizan para construir la acción de calibración reticular conocida como acción de Wilson . Los bucles de Wilson más grandes se expresan como productos de variables de enlace a lo largo de algún bucle , denotado por ^[17] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U_{\mu }(n)}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L[U]={\text{tr}}{\bigg [}\prod _{n\in \gamma }U_{\mu }(n){\bigg ]}.}$

Estos bucles de Wilson se utilizan para estudiar numéricamente el confinamiento y los potenciales de quarks . Las combinaciones lineales de bucles de Wilson también se utilizan como operadores de interpolación que dan lugar a estados de bola de pegamento . ^[18] Las masas de bola de pegamento se pueden extraer de la función de correlación entre estos interpoladores. ^[19]

La formulación reticular de los bucles de Wilson también permite una demostración analítica del confinamiento en la fase fuertemente acoplada , suponiendo la aproximación apagada donde se descuidan los bucles de quarks. ^[20] Esto se hace expandiendo la acción de Wilson como una serie de potencias de trazas de plaquetas, donde el primer término no nulo en el valor esperado del bucle de Wilson en una teoría de calibre da lugar a una ley de área con una tensión de cuerda de la forma ^{[21] [22]} ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$

${\displaystyle \sigma =-{\frac {1}{a^{2}}}\ln {\bigg (}{\frac {\beta }{18}}{\bigg )}(1+{\mathcal {O}}(\beta )),}$

donde es la constante de acoplamiento inversa y es el espaciamiento reticular. Si bien este argumento es válido tanto para el caso abeliano como para el no abeliano, la electrodinámica compacta solo exhibe confinamiento en el acoplamiento fuerte, con una transición de fase a la fase de Coulomb en , dejando la teoría desconfinada en el acoplamiento débil. ^{[23] [24]} No se cree que exista tal transición de fase para las teorías de calibre a temperatura cero , en cambio exhiben confinamiento en todos los valores de la constante de acoplamiento. ${\displaystyle \beta =6/g^{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \beta \sim 1.01}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

Propiedades

Ecuación de bucle de Makeenko-Migdal

De manera similar a la derivada funcional que actúa sobre funciones de funciones , las funciones de bucles admiten dos tipos de derivadas llamadas derivada del área y derivada del perímetro. Para definir la primera, considérese un contorno y otro contorno que es el mismo contorno pero con un bucle extra pequeño en en el plano - con área . Entonces la derivada del área del funcional del bucle se define a través de la misma idea que la derivada usual, como la diferencia normalizada entre los funcionales de los dos bucles ^[25] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \delta \sigma _{\mu \nu }=dx_{\mu }\wedge dx_{\nu }}$ ${\displaystyle F[\gamma ]}$

${\displaystyle {\frac {\delta F[\gamma ]}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}={\frac {1}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}[F[\gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}]-F[\gamma ]].}$

La derivada del perímetro se define de manera similar, por lo que ahora es una ligera deformación del contorno que en la posición tiene un pequeño bucle extruido de longitud en la dirección y de área cero. La derivada del perímetro de la función del bucle se define entonces como ${\displaystyle \gamma _{\delta x_{\mu }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta x_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}F[\gamma ]={\frac {1}{\delta x_{\mu }}}[F[\gamma _{\delta x_{\mu }}]-F[\gamma ]].}$

En el gran límite N , el valor esperado de vacío del bucle de Wilson satisface una ecuación de forma funcional cerrada llamada ecuación de Makeenko-Migdal ^[26]

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}{\frac {\delta }{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}\langle W[\gamma ]\rangle =g^{2}N\oint _{\gamma }dy_{\nu }\delta ^{(D)}(x-y)\langle W[\gamma _{yx}]\rangle \langle W[\gamma _{xy}]\rangle .}$

Aquí, con una línea que no se cierra de a , con los dos puntos, sin embargo, cerca uno del otro. La ecuación también se puede escribir para finitos , pero en este caso no se factoriza y, en cambio, conduce a valores esperados de productos de bucles de Wilson, en lugar del producto de sus valores esperados. ^[27] Esto da lugar a una cadena infinita de ecuaciones acopladas para diferentes valores esperados de bucles de Wilson, análogos a las ecuaciones de Schwinger-Dyson . La ecuación de Makeenko-Migdal se ha resuelto exactamente en la teoría bidimensional . ^[28] ${\displaystyle \gamma =\gamma _{xy}\cup \gamma _{yx}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\text{U}}(\infty )}$

Identidades de Mandelstam

Los grupos de calibre que admiten representaciones fundamentales en términos de matrices tienen bucles de Wilson que satisfacen un conjunto de identidades llamadas identidades de Mandelstam, y estas identidades reflejan las propiedades particulares del grupo de calibre subyacente. ^[29] Las identidades se aplican a bucles formados a partir de dos o más subbucles, siendo un bucle formado primero dando vueltas y luego dando vueltas . ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{2}\circ \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$

La identidad de Mandelstam del primer tipo establece que , siendo esto válido para cualquier grupo de calibración en cualquier dimensión. Las identidades de Mandelstam del segundo tipo se obtienen al notar que en las dimensiones, cualquier objeto con índices totalmente antisimétricos se desvanece, lo que significa que . En la representación fundamental, las holonomías utilizadas para formar los bucles de Wilson son representaciones matriciales de los grupos de calibración. La contratación de holonomías con las funciones delta produce un conjunto de identidades entre bucles de Wilson. Estas pueden escribirse en términos de los objetos definidos iterativamente de modo que y ${\displaystyle W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]=W[\gamma _{2}\circ \gamma _{1}]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \delta _{[b_{1}}^{a_{1}}\delta _{b_{2}}^{a_{2}}\cdots \delta _{b_{N+1}]}^{a_{N+1}}=0}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle M_{K}}$ ${\displaystyle M_{1}[\gamma ]=W[\gamma ]}$

${\displaystyle (K+1)M_{K+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K+1}]=W[\gamma _{K+1}]M_{K}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K}]-M_{K}[\gamma _{1}\circ \gamma _{K+1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}]-\cdots -M_{K}[\gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}\circ \gamma _{K+1}].}$

En esta notación las identidades de Mandelstam del segundo tipo son ^[30]

${\displaystyle M_{N+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{N+1}]=0.}$

Por ejemplo, para un grupo de indicadores esto da como resultado . ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]}$

Si la representación fundamental son matrices de determinante unitario , entonces también se cumple que . Por ejemplo, al aplicar esta identidad a se obtiene ${\displaystyle M_{N}(\gamma ,\dots ,\gamma )=1}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$

${\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}^{-1}]+W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}].}$

Las representaciones fundamentales que consisten en matrices unitarias satisfacen . Además, mientras que la igualdad se cumple para todos los grupos de calibración en las representaciones fundamentales, para los grupos unitarios se cumple además que . ${\displaystyle W[\gamma ]=W^{*}[\gamma ^{-1}]}$ ${\displaystyle W[I]=N}$ ${\displaystyle |W[\gamma ]|\leq N}$

Renormalización

Dado que los bucles de Wilson son operadores de los campos de calibración, la regularización y renormalización de los campos y acoplamientos de la teoría de Yang-Mills subyacente no impide que los bucles de Wilson requieran correcciones de renormalización adicionales. En una teoría de Yang-Mills renormalizada, la forma particular en que se renormalizan los bucles de Wilson depende de la geometría del bucle en consideración. Las características principales son ^{[31] [32] [33] [34]}

• Curva suave no intersecante: solo puede tener divergencias lineales proporcionales al contorno que se pueden eliminar mediante renormalización multiplicativa.
• Curva no intersecante con cúspides : cada cúspide genera un factor de renormalización multiplicativo local adicional que depende del ángulo de la cúspide . ${\displaystyle Z[\phi ]}$ ${\displaystyle \phi }$
• Autointersecciones: Esto conduce a una mezcla de operadores entre los bucles de Wilson asociados con el bucle completo y los subbucles.
• Segmentos similares a luz: Estos dan lugar a divergencias logarítmicas adicionales.

Aplicaciones adicionales

Amplitudes de dispersión

Los bucles de Wilson desempeñan un papel en la teoría de amplitudes de dispersión , donde se ha encontrado un conjunto de dualidades entre ellos y tipos especiales de amplitudes de dispersión. ^[35] Estos se han sugerido por primera vez en un acoplamiento fuerte utilizando la correspondencia AdS/CFT . ^[36] Por ejemplo, en la teoría supersimétrica de Yang-Mills, las amplitudes que violan la helicidad al máximo se factorizan en un componente de nivel de árbol y una corrección de nivel de bucle. ^[37] Esta corrección de nivel de bucle no depende de las helicidades de las partículas, pero se encontró que era dual para ciertos bucles de Wilson poligonales en el gran límite, hasta términos finitos. Si bien esta dualidad inicialmente solo se sugirió en el caso de violación máxima de la helicidad, existen argumentos de que se puede extender a todas las configuraciones de helicidad definiendo generalizaciones supersimétricas apropiadas del bucle de Wilson. ^[38] ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ ${\displaystyle N}$

Compactificaciones de la teoría de cuerdas

En las teorías compactificadas , los estados de campo de calibración de modo cero que son configuraciones de calibración localmente puras pero que son globalmente inequivalentes al vacío están parametrizados por líneas de Wilson cerradas en la dirección compacta. La presencia de estas en una teoría de cuerdas abierta compactificada es equivalente bajo la T-dualidad a una teoría con D-branas no coincidentes , cuyas separaciones están determinadas por las líneas de Wilson. ^[39] Las líneas de Wilson también juegan un papel en las compactificaciones orbifold donde su presencia conduce a un mayor control de la ruptura de la simetría de calibración, dando un mejor manejo del grupo de calibración ininterrumpido final y también proporcionando un mecanismo para controlar el número de multipletes de materia que quedan después de la compactificación. ^[40] Estas propiedades hacen que las líneas de Wilson sean importantes en las compactificaciones de las teorías de supercuerdas. ^{[41] [42]}

Teoría de campos topológicos

En una teoría de campos topológicos , el valor esperado de los bucles de Wilson no cambia bajo deformaciones suaves del bucle ya que la teoría de campos no depende de la métrica . ^[43] Por esta razón, los bucles de Wilson son observables clave en estas teorías y se utilizan para calcular propiedades globales de la variedad . En dimensiones están estrechamente relacionados con la teoría de nudos con el valor esperado de un producto de bucles dependiendo solo de la estructura de la variedad y de cómo los bucles están unidos entre sí. Esto condujo a la famosa conexión hecha por Edward Witten donde utilizó bucles de Wilson en la teoría de Chern-Simons para relacionar su función de partición con los polinomios de Jones de la teoría de nudos. ^[44] ${\displaystyle 2+1}$

Véase también

• Número de bobinado

Referencias

1. Wilson, KG (1974). "Confinamiento de quarks". Phys. Rev. D . 10 (8): 2445–2459. Código Bibliográfico :1974PhRvD..10.2445W. doi :10.1103/PhysRevD.10.2445.
2. Nakahara, M. (2003). "10". Geometría, topología y física (2.ª edición). CRC Press. págs. 374–418. ISBN 978-0750306065.
3. Eschrig, H. (2011). "7". Topología y geometría para la física . Apuntes de clases de física. Springer. pp. 220–222. ISBN 978-3-642-14699-2.
4. Schwartz, MD (2014). "25". Teoría cuántica de campos y el modelo estándar . Cambridge University Press. págs. 488–493. ISBN 9781107034730.
5. Tong, D. (2018), "2", Notas de clase sobre teoría de calibre
6. Banks, T. ; Seiberg, N. (2011). "Simetrías y cuerdas en teoría de campos y gravedad". Phys. Rev. D . 83 : 084019. arXiv : 1011.5120 . doi :10.1103/PhysRevD.83.084019.
7. Giles, R. (1981). "Reconstrucción de potenciales de calibración a partir de bucles de Wilson". Phys. Rev. D . 24 (8): 2160–2168. Código Bibliográfico :1981PhRvD..24.2160G. doi :10.1103/PhysRevD.24.2160.
8. Ofer, A.; Seiberg, N .; Tachikawa, Yuji (2013). "Lectura entre líneas de las teorías de calibración de cuatro dimensiones". JHEP . 2013 (8): 115. arXiv : 1305.0318 . Bibcode :2013JHEP...08..115A. doi :10.1007/JHEP08(2013)115. S2CID  118572353.
9. Peskin, Michael E .; Schroeder, Daniel V. (1995). "15". Introducción a la teoría cuántica de campos . Westview Press. pág. 492. ISBN 9780201503975.
10. Rothe, HJ (2005). "7". Teorías de calibres reticulares: una introducción. World Scientific Lecture Notes in Physics: Volumen 43. Vol. 82. World Scientific Publishing. págs. 95–108. doi :10.1142/8229. ISBN 978-9814365857.
11. Seiler, E. (1978). "Límite superior del potencial de confinamiento del color". Phys. Rev. D . 18 (2): 482–483. Bibcode :1978PhRvD..18..482S. doi :10.1103/PhysRevD.18.482.
12. Bachas, C. (1986). "Concavidad del potencial de quarkonium". Phys. Rev. D . 33 (9): 2723–2725. Bibcode :1986PhRvD..33.2723B. doi :10.1103/PhysRevD.33.2723. PMID  9956963.
13. Greensite, J. (2020). "4". Introducción al problema del confinamiento (2.ª ed.). Springer. pp. 37–40. ISBN 978-3030515621.
14. Makeenko, Y. (2002). "6". Métodos de la teoría de calibre contemporánea . Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge: Cambridge University Press. págs. 117-118. doi :10.1017/CBO9780511535147. ISBN . 978-0521809115.
15. Paranjape, M. (2017). "9". La teoría y las aplicaciones de los cálculos de instantón . Cambridge University Press. pág. 168. ISBN 978-1107155473.
16. Baulieu, L.; Iliopoulos, J .; Sénéor, R. [en francés] (2017). "25". De los campos clásicos a los cuánticos . Oxford University Press. pág. 720. ISBN 978-0198788409.
17. Montvay, I.; Munster, G. (1994). "43". Campos cuánticos en una red . Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge: Cambridge University Press. pág. 105. doi :10.1017/CBO9780511470783. ISBN . 9780511470783. Número de identificación del sujeto  118339104.
18. DeGrand, T.; DeTar, C. (2006). "11". Métodos de red para la cromodinámica cuántica . World Scientific Publishing. págs. 232–233. Bibcode :2006lmqc.book.....D. doi :10.1142/6065. ISBN 978-9812567277.
19. Chen, Y.; et al. (2006). "Espectro de bolas de pegamento y elementos de matriz en redes anisotrópicas". Phys. Rev. D . 73 (1): 014516. arXiv : hep-lat/0510074 . Código Bibliográfico :2006PhRvD..73a4516C. doi :10.1103/PhysRevD.73.014516. S2CID  15741174.
20. Yndurain, FJ (2006). "9". La teoría de las interacciones entre quarks y gluones (4.ª ed.). Springer. pág. 383. ISBN 978-3540332091.
21. Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "3". Cromodinámica cuántica en la red: una presentación introductoria . Apuntes de clase en Física 788. Springer. págs. 58–62. doi :10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3642018497.
22. Drouffe, JM; Zuber, JB (1983). "Métodos de acoplamiento fuerte y de campo medio en teorías de calibración en red". Physics Reports . 102 (1): 1–119. Bibcode :1983PhR...102....1D. doi :10.1016/0370-1573(83)90034-0.
23. Lautrup, BE ; Nauenberg, M. (1980). "Transición de fase en QED compacta de cuatro dimensiones". Phys. Lett. B . 95 (1): 63–66. Código Bibliográfico :1980PhLB...95...63L. doi :10.1016/0370-2693(80)90400-1.
24. Guth, AH (1980). "Prueba de existencia de una fase no confinante en la teoría de calibración reticular U(1) de cuatro dimensiones". Phys. Rev. D . 21 (8): 2291–2307. Bibcode :1980PhRvD..21.2291G. doi :10.1103/PhysRevD.21.2291.
25. Migdal, AA (1983). "Ecuaciones de bucles y expansión 1/N". Phys. Rep . 102 (4): 199–290. doi :10.1016/0370-1573(83)90076-5.
26. Makeenko, YM; Migdal, AA (1979). "Ecuación exacta para el promedio de bucle en QCD multicolor". Phys. Lett. B . 88 (1–2): 135–137. Código Bibliográfico :1979PhLB...88..135M. doi :10.1016/0370-2693(79)90131-X.
27. Năstase, H. (2019). "50". Introducción a la teoría cuántica de campos . Cambridge University Press. págs. 469–472. ISBN 978-1108493994.
28. Kazakov, VA; Kostov, IK (1980). "Cuerdas no lineales en la teoría de calibración bidimensional U(∞)". Física nuclear B . 176 (1): 199–215. Código Bibliográfico :1980NuPhB.176..199K. doi :10.1016/0550-3213(80)90072-3.
29. Mandelstam, S. (1968). "Reglas de Feynman para campos electromagnéticos y de Yang-Mills a partir del formalismo teórico de campos independiente de gauge". Phys. Rev . 175 (5): 1580–1603. Bibcode :1968PhRv..175.1580M. doi :10.1103/PhysRev.175.1580.
30. Gambini, R. (2008). "3". Bucles, nudos y teorías de calibre . Págs. 63-67. ISBN 978-0521654753.
31. Korchemskaya, IA; Korchemsky, GP (1992). "Sobre bucles de Wilson similares a la luz". Physics Letters B . 287 (1): 169–175. Código Bibliográfico :1992PhLB..287..169K. doi :10.1016/0370-2693(92)91895-G.
32. Polyakov, AM (1980). "Campos de calibración como anillos de pegamento". Física nuclear B . 164 : 171–188. Código Bibliográfico :1980NuPhB.164..171P. doi :10.1016/0550-3213(80)90507-6.
33. Brandt, RA; Neri, F.; Sato, M. (1981). "Renormalización de funciones de bucle para todos los bucles". Phys. Rev. D . 24 (4): 879–902. Bibcode :1981PhRvD..24..879B. doi :10.1103/PhysRevD.24.879.
34. Korchemsky, GP; Radyushkin, AV (1987). "Renormalización de los bucles de Wilson más allá del orden principal". Física nuclear B . 283 : 342–364. Código Bibliográfico :1987NuPhB.283..342K. doi :10.1016/0550-3213(87)90277-X.
35. Alday, LF ; Radu, R. (2008). "Amplitudes de dispersión, bucles de Wilson y correspondencia entre la teoría de cuerdas y la teoría de gauge". Phys. Rep . 468 (5): 153–211. arXiv : 0807.1889 . Código Bibliográfico :2008PhR...468..153A. doi :10.1016/j.physrep.2008.08.002. S2CID  119220578.
36. Alday, LF ; Maldacena, JM (2007). "Amplitudes de dispersión de gluones en acoplamiento fuerte". JHEP . 6 (6): 64. arXiv : 0705.0303 . Bibcode :2007JHEP...06..064A. doi :10.1088/1126-6708/2007/06/064. S2CID  10711473.
37. Henn, JM [en alemán] (2014). "4". Amplitudes de dispersión en teorías de calibración . Springer. pp. 153–158. ISBN 978-3642540219.
38. Caron-Huot, S. [en alemán] (2011). "Notas sobre las amplitudes de dispersión/dualidad de bucle de Wilson". JHEP . 2011 (7): 58. arXiv : 1010.1167 . Bibcode :2011JHEP...07..058C. doi :10.1007/JHEP07(2011)058. S2CID  118676335.
39. Polchinski, J. (1998). "8". Teoría de cuerdas, volumen I: Introducción a la cuerda bosónica . Cambridge University Press. págs. 263–268. ISBN 978-0143113799.
40. Ibanez, LE; Nilles, HP; Quevedo, F. (1986). "Orbifolds y líneas de Wilson". Phys. Lett. B . 187 (1–2): 25–32. doi :10.1016/0370-2693(87)90066-9.
41. Polchinski, J. (1998). "16". Teoría de cuerdas, volumen II: teoría de supercuerdas y más allá . Cambridge University Press. págs. 288-290. ISBN 978-1551439761.
42. Choi, KS; Kim, JE (2020). Quarks y leptones de supercuerdas plegadas en órbita (2.ª ed.). ISBN 978-3030540043.
43. Fradkin, E. (2021). "22". Teoría cuántica de campos: un enfoque integrado . Princeton University Press. pág. 697. ISBN 978-0691149080.
44. Witten, E. (1989). "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones". Commun. Math. Phys . 121 (3): 351–399. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. S2CID  14951363.