Teoría del calibre (matemáticas)

Study of vector bundles, principal bundles, and fibre bundles

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y física matemática , la teoría de calibre es el estudio general de las conexiones en haces de vectores , haces principales y haces de fibras . La teoría de calibre en matemáticas no debe confundirse con el concepto estrechamente relacionado de teoría de calibre en física , que es una teoría de campo que admite simetría de calibre . En matemáticas, teoría significa una teoría matemática que encapsula el estudio general de una colección de conceptos o fenómenos, mientras que en el sentido físico una teoría de calibre es un modelo matemático de algún fenómeno natural.

La teoría de calibres en matemáticas suele centrarse en el estudio de ecuaciones de la teoría de calibres. Estas son ecuaciones diferenciales que involucran conexiones en haces de vectores o haces principales, o que involucran secciones de haces de vectores, por lo que existen fuertes vínculos entre la teoría de calibre y el análisis geométrico . Estas ecuaciones suelen tener significado físico y corresponden a conceptos importantes de la teoría cuántica de campos o la teoría de cuerdas , pero también tienen un significado matemático importante. Por ejemplo, las ecuaciones de Yang-Mills son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para una conexión en un haz principal, y en física, las soluciones de estas ecuaciones corresponden a soluciones en vacío de las ecuaciones de movimiento de una teoría de campo clásica , partículas conocidas como instantones .

La teoría de calibre ha encontrado usos en la construcción de nuevos invariantes de variedades suaves , la construcción de estructuras geométricas exóticas como variedades hiperkähler , así como en dar descripciones alternativas de estructuras importantes en geometría algebraica, como espacios de módulos de haces de vectores y gavillas coherentes .

Historia

El coeficiente dx ¹ ⊗σ ₃ de un instante BPST en la porción (x ¹ ,x ² ) de R ⁴ donde σ ₃ es la tercera matriz de Pauli (arriba a la izquierda). El coeficiente dx ² ⊗σ ₃ (arriba a la derecha). Estos coeficientes determinan la restricción del instante BPST A con g=2,ρ=1,z=0 a este segmento. La intensidad del campo correspondiente se centró alrededor de z=0 (abajo a la izquierda). Una representación visual de la intensidad de campo de un instantón BPST con centro z en la compactación S ⁴ de R ⁴ (abajo a la derecha). El instanton BPST es una solución instanton clásica de las ecuaciones de Yang-Mills en R ⁴ .

La teoría de calibre tiene sus orígenes en la formulación de las ecuaciones de Maxwell que describen el electromagnetismo clásico, que puede expresarse como una teoría de calibre con grupo estructural el grupo circular . El trabajo de Paul Dirac sobre los monopolos magnéticos y la mecánica cuántica relativista alentó la idea de que los haces y las conexiones eran la forma correcta de plantear muchos problemas de la mecánica cuántica. La teoría de calibres en física matemática surgió como un campo de estudio importante con el trabajo fundamental de Robert Mills y Chen-Ning Yang sobre la llamada teoría de calibres de Yang-Mills, que ahora es el modelo fundamental que sustenta el modelo estándar de física de partículas . ^[1]

La investigación matemática de la teoría de calibre tiene su origen en el trabajo de Michael Atiyah , Isadore Singer y Nigel Hitchin sobre las ecuaciones de autodualidad en una variedad de Riemann en cuatro dimensiones. ^{[2] [3]} En este trabajo se estudió el espacio de módulos de conexiones autoduales (instantons) en el espacio euclidiano y se demostró que tiene una dimensión donde es un parámetro entero positivo. Esto se relacionó con el descubrimiento por parte de los físicos de los instantes BPST , soluciones de vacío a las ecuaciones de Yang-Mills en cuatro dimensiones con . Dichos instantes se definen mediante una elección de 5 parámetros, el centro y la escala , correspondientes al espacio de módulos dimensionales. A la derecha se muestra un instante BPST. ${\displaystyle 8k-3}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle 8-3=5}$

Casi al mismo tiempo, Atiyah y Richard Ward descubrieron vínculos entre las soluciones de las ecuaciones de autodualidad y los paquetes algebraicos en el espacio proyectivo complejo . ^[4] Otro descubrimiento temprano significativo fue el desarrollo de la construcción ADHM por Atiyah, Vladimir Drinfeld , Hitchin y Yuri Manin . ^[5] Esta construcción permitió la solución de las ecuaciones anti-auto-dualidad en el espacio euclidiano a partir de datos algebraicos puramente lineales. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

A principios de la década de 1980 se produjeron avances importantes que alentaron el desarrollo de la teoría matemática del calibre. En ese momento, el importante trabajo de Atiyah y Raoul Bott sobre las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann demostró que los problemas de teoría de calibre podían dar lugar a estructuras geométricas interesantes, estimulando el desarrollo de mapas de momentos de dimensión infinita, la teoría Morse equivariante y las relaciones entre Teoría de calibre y geometría algebraica. ^{[6] En este momento,} Karen Uhlenbeck desarrolló importantes herramientas analíticas en el análisis geométrico , quien estudió las propiedades analíticas de las conexiones y la curvatura, demostrando importantes resultados de compacidad. ^[7] Los avances más significativos en este campo se produjeron gracias al trabajo de Simon Donaldson y Edward Witten .

Donaldson utilizó una combinación de geometría algebraica y técnicas de análisis geométrico para construir nuevos invariantes de cuatro variedades , ahora conocidos como invariantes de Donaldson . ^{[8] [9]} Con estas invariantes, se pudieron probar resultados novedosos como la existencia de variedades topológicas que no admiten estructuras suaves, o la existencia de muchas estructuras suaves distintas en el espacio euclidiano . Por este trabajo, Donaldson recibió la Medalla Fields en 1986. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Witten observó de manera similar el poder de la teoría de calibre para describir invariantes topológicos, relacionando cantidades que surgen de la teoría de Chern-Simons en tres dimensiones con el polinomio de Jones , un invariante de nudos . ^[10] Este trabajo y el descubrimiento de las invariantes de Donaldson, así como el nuevo trabajo de Andreas Floer sobre la homología de Floer , inspiraron el estudio de la teoría cuántica de campos topológicos .

Después del descubrimiento del poder de la teoría de calibre para definir invariantes de variedades, el campo de la teoría de calibre matemática amplió su popularidad. Se descubrieron más invariantes, como los invariantes de Seiberg-Witten y los invariantes de Vafa-Witten. ^{[11] [12] El trabajo de Donaldson, Uhlenbeck y} Shing-Tung Yau sobre la correspondencia Kobayashi-Hitchin que relaciona las conexiones de Yang-Mills con haces de vectores estables estableció fuertes vínculos con la geometría algebraica . ^{[13] [14]} El trabajo de Nigel Hitchin y Carlos Simpson sobre los haces de Higgs demostró que los espacios de módulos que surgen de la teoría de calibre podrían tener estructuras geométricas exóticas como la de las variedades de Hyperkähler , así como enlaces a sistemas integrables a través del sistema de Hitchin . ^{[15] [16]} Se realizaron vínculos con la teoría de cuerdas y la simetría especular , donde la teoría de calibre es esencial para formular la conjetura homológica de la simetría especular y la correspondencia AdS/CFT .

Objetos de interés fundamentales

Los objetos fundamentales de interés en la teoría de calibres son las conexiones entre haces de vectores y haces principales . En esta sección recordamos brevemente estas construcciones y nos referimos a los artículos principales sobre ellas para obtener más detalles. Las estructuras descritas aquí son estándar dentro de la literatura sobre geometría diferencial, y se puede encontrar una introducción al tema desde una perspectiva de la teoría de calibre en el libro de Donaldson y Peter Kronheimer . ^[17]

Paquetes principales

Paquete principal Z /2 Z no trivial sobre el círculo. No existe una forma obvia de identificar qué punto corresponde a +1 o -1 en cada fibra. Este paquete no es trivial ya que no hay una sección definida globalmente de la proyección π .

El haz de cuadros de la tira de Möbius es un haz principal no trivial sobre el círculo. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Los objetos centrales de estudio en la teoría de calibre son los paquetes principales y los paquetes de vectores. La elección de cuál estudiar es esencialmente arbitraria, ya que se puede pasar entre ellos, pero los haces principales son los objetos naturales desde la perspectiva física para describir campos de calibre , y matemáticamente codifican de manera más elegante la correspondiente teoría de conexiones y curvatura para haces de vectores asociados. a ellos.

Un haz principal con estructura de grupo ${\displaystyle G}$ , o un haz principal ${\displaystyle G}$ , consiste en un quíntuple donde es un haz de fibras liso con espacio de fibras isomorfo a un grupo de Lie , y representa una acción de grupo derecho libre y transitivo sobre el cual se preservan las fibras, en el Sentimos que para todos , para todos . Aquí está el espacio total y el espacio base . Utilizando la acción de grupo correcta para todas y cada una de las opciones , el mapa define un difeomorfismo entre la fibra y el grupo de Lie como variedades suaves. Sin embargo, tenga en cuenta que no existe una forma natural de equipar las fibras con la estructura de los grupos de Lie, ya que no existe una elección natural de elemento para cada uno . ${\displaystyle (P,X,\pi ,G,\rho )}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle \pi (pg)=\pi (p)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\textstyle p\in P_{x}}$ ${\displaystyle g\mapsto pg}$ ${\displaystyle P_{x}\cong G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p\in P_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Los ejemplos más simples de paquetes principales se dan cuando es el grupo circular . En este caso, el paquete principal tiene una dimensión donde . Otro ejemplo natural ocurre cuando es el paquete marco del paquete tangente de la variedad , o más generalmente el paquete marco de un paquete vectorial sobre . En este caso la fibra de viene dada por el grupo lineal general . ${\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle \dim P=n+1}$ ${\displaystyle \dim X=n}$ ${\displaystyle P={\mathcal {F}}(TX)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Dado que un haz principal es un haz de fibras, localmente tiene la estructura de un producto. Es decir, existe una cobertura abierta de y difeomorfismos que conmutan con las proyecciones y , de modo que las funciones de transición definidas por satisfacen la condición de cociclo ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }:P_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x,g)=(x,g_{\alpha \beta }(x)g)}$

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x)g_{\beta \gamma }(x)=g_{\alpha \gamma }(x)}$

en cualquier triple superposición . Para definir un paquete principal, es suficiente especificar dicha elección de funciones de transición. Luego, el paquete se define pegando paquetes triviales a lo largo de las intersecciones utilizando las funciones de transición. La condición de cociclo asegura precisamente que esto defina una relación de equivalencia en la unión disjunta y por lo tanto que el espacio cociente esté bien definido. Esto se conoce como teorema de construcción de haces de fibras y el mismo proceso funciona para cualquier haz de fibras descrito por funciones de transición, no solo para haces principales o haces de vectores. ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\times G}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G}$ ${\displaystyle P=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G/{\sim }}$

Observe que una elección de sección local satisfactoria es un método equivalente para especificar un mapa de trivialización local. Es decir, se puede definir dónde está el elemento de grupo único tal que . ${\displaystyle s_{\alpha }:U_{\alpha }\to P_{U_{\alpha }}}$ ${\displaystyle \pi \circ s_{\alpha }=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(p)=(\pi (p),{\tilde {s}}_{\alpha }(p))}$ ${\displaystyle {\tilde {s}}_{\alpha }(p)\in G}$ ${\displaystyle p{\tilde {s}}_{\alpha }(p)^{-1}=s_{\alpha }(\pi (p))}$

Paquetes de vectores

Un paquete de vectores sobre una base con una sección . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$

Un haz de vectores es un triple donde es un haz de fibras con fibra dada por un espacio vectorial donde es un campo. El número es el rango del paquete de vectores. Nuevamente se tiene una descripción local de un paquete de vectores en términos de una cubierta abierta trivializadora. Si es tal cobertura, entonces bajo el isomorfismo ${\displaystyle (E,X,\pi )}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }:E_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times \mathbb {K} ^{r}}$

se obtienen secciones locales distinguidas de correspondientes a los vectores base de coordenadas de , denotados . Estos están definidos por la ecuación ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{r}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{r}}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }({\boldsymbol {e}}_{i}(x))=(x,e_{i}).}$

Por lo tanto, especificar una trivialización equivale a dar una colección de secciones locales que son linealmente independientes en todas partes y usar esta expresión para definir el isomorfismo correspondiente. Esta colección de secciones locales se denomina marco . ${\displaystyle r}$

De manera similar a los paquetes principales, se obtienen funciones de transición para un paquete de vectores, definido por ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x,v)=(x,g_{\alpha \beta }(x)v).}$

Si uno toma estas funciones de transición y las usa para construir la trivialización local para un paquete principal con fibra igual al grupo de estructura , se obtiene exactamente el paquete marco de , un paquete principal. ${\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

Paquetes asociados

Dado un paquete principal y una representación de en un espacio vectorial , se puede construir un paquete de vectores asociado con fibra en el espacio vectorial . Para definir este paquete de vectores, se considera la acción correcta sobre el producto definido por y se define como el espacio cociente con respecto a esta acción. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E=P\times _{\rho }V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P\times V}$ ${\displaystyle (p,v)g=(pg,\rho (g^{-1})v)}$ ${\displaystyle P\times _{\rho }V=(P\times V)/G}$

En términos de funciones de transición, el paquete asociado se puede entender de manera más simple. Si el paquete principal tiene funciones de transición con respecto a una trivialización local , entonces se construye el paquete de vectores asociado utilizando las funciones de transición . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \rho \circ g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \operatorname {GL} (V)}$

La construcción del haz asociado se puede realizar para cualquier espacio de fibras , no solo para un espacio vectorial, siempre que exista un homomorfismo de grupo. Un ejemplo clave es el paquete adjunto A mayúscula con fibra , construido utilizando el homomorfismo de grupo definido por conjugación . Tenga en cuenta que a pesar de tener fibra , el haz adjunto no es un haz principal ni es isomorfo como un haz de fibras consigo mismo. Por ejemplo, si es abeliano, entonces la acción de conjugación es trivial y será el haz de fibras trivial independientemente de si es trivial o no como haz de fibras. Otro ejemplo clave es el paquete adjunto en minúscula construido utilizando la representación adjunta donde está el álgebra de Lie de . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (G)}$ ${\displaystyle g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Transformaciones de calibre

Una transformación de calibre de un paquete de vectores o paquete principal es un automorfismo de este objeto. Para un paquete principal, una transformación de calibre consiste en un difeomorfismo que conmuta con el operador de proyección y la acción correcta . Para un paquete de vectores, una transformación de calibre se define de manera similar mediante un difeomorfismo que conmuta con el operador de proyección, que es un isomorfismo lineal de espacios vectoriales en cada fibra. ${\displaystyle \varphi :P\to P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi :E\to E}$ ${\displaystyle \pi }$

Las transformaciones de calibre (de o ) forman un grupo bajo composición, llamado grupo de calibre , típicamente denotado . Este grupo se puede caracterizar como el espacio de secciones globales del paquete adjunto o, en el caso de un paquete vectorial, donde denota el paquete de marcos. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} (P))}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E)))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

También se puede definir una transformación de calibre local como un isomorfismo de paquete local sobre un subconjunto abierto trivializante . Esto se puede especificar de forma única como un mapa ( en el caso de paquetes de vectores), donde el isomorfismo del paquete inducido se define por ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle g_{\alpha }:U_{\alpha }\to G}$ ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(p)=pg_{\alpha }(\pi (p))}$

y de manera similar para paquetes de vectores.

Observe que dadas dos trivializaciones locales de un paquete principal sobre el mismo subconjunto abierto , la función de transición es precisamente una transformación de calibre local . Es decir, las transformaciones de calibre locales son cambios de trivialización local para paquetes principales o paquetes de vectores. ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \alpha }:U_{\alpha }\to G}$

Conexiones en paquetes principales

Se requiere una conexión de paquete principal para que sea compatible con la acción de grupo correcta de on . Esto se puede visualizar como la multiplicación correcta que une los subespacios horizontales entre sí. Esta equivarianza de los subespacios horizontales interpretada en términos de la forma de conexión conduce a sus propiedades de equivarianza características. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle H\subset TP}$ ${\displaystyle \omega }$

Una forma de conexión de haz principal puede considerarse como un operador de proyección en el paquete tangente del paquete principal . El núcleo de la forma de conexión lo dan los subespacios horizontales de la conexión de Ehresmann asociada . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle TP}$ ${\displaystyle P}$

Una conexión en un haz principal es un método para conectar fibras cercanas para capturar la noción de que una sección es constante u horizontal . Dado que las fibras de un haz principal abstracto no se identifican naturalmente entre sí, ni tampoco con el espacio de fibras mismo, no existe una forma canónica de especificar qué secciones son constantes. Una elección de trivialización local conduce a una posible elección, donde si es trivial sobre un conjunto , entonces se podría decir que una sección local es horizontal si es constante con respecto a esta trivialización, en el sentido de que para todos y uno . En particular, un paquete principal trivial viene equipado con una conexión trivial . ${\displaystyle s:X\to P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(s(x))=(x,g)}$ ${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle P=X\times G}$

En general, una conexión viene dada por una elección de subespacios horizontales de los espacios tangentes en cada punto , de modo que en cada punto se tiene dónde está el paquete vertical definido por . Estos subespacios horizontales deben ser compatibles con la estructura del paquete principal al requerir que la distribución horizontal sea invariante bajo la acción del grupo correcto: donde denota multiplicación correcta por . Una sección se dice que es horizontal si se identifica con su imagen interior , que es una subvariedad de un paquete tangente . Dado un campo vectorial , existe una elevación horizontal única . La curvatura de la conexión viene dada por la forma de dos con valores en el paquete adjunto definido por ${\displaystyle H_{p}\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle T_{p}P=H_{p}\oplus V_{p}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\ker d\pi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{pg}=d(R_{g})(H_{p})}$ ${\displaystyle R_{g}:P\to P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T_{p}s\subset H_{p}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Ts}$ ${\displaystyle v\in \Gamma (TX)}$ ${\displaystyle v^{\#}\in \Gamma (H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {ad} (P))}$

${\displaystyle F(v_{1},v_{2})=[v_{1}^{\#},v_{2}^{\#}]-[v_{1},v_{2}]^{\#}}$

¿Dónde está el corchete de Lie de los campos vectoriales ? Dado que el paquete vertical consta de los espacios tangentes a las fibras de y estas fibras son isomorfas al grupo de Lie cuyo paquete tangente se identifica canónicamente con , existe una forma única de dos valores valorada en álgebra de Lie correspondiente a la curvatura. Desde la perspectiva del teorema de integrabilidad de Frobenius , la curvatura mide precisamente en qué medida la distribución horizontal no logra ser integrable y, por lo tanto, en qué medida no logra integrarse localmente como una subvariedad horizontal. ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle TG=G\times {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$

La elección de subespacios horizontales puede expresarse de manera equivalente mediante un operador de proyección que es equivariante en el sentido correcto, llamado conexión uniforme . Para una distribución horizontal , esto se define por donde denota la descomposición de un vector tangente con respecto a la descomposición de suma directa . Debido a la equivarianza, esta proyección uniforme puede considerarse valorada en álgebra de Lie, dando algunos . ${\displaystyle \nu :TP\to V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nu _{H}(h+v)=v}$ ${\displaystyle h+v}$ ${\displaystyle TP=H\oplus V}$ ${\displaystyle \nu \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$

Una trivialización local para está dada de manera equivalente por una sección local y la conexión de forma única y curvatura se puede retirar a lo largo de este mapa suave. Esto le da a la conexión local una forma única que toma valores en el paquete adjunto de . La ecuación estructural de Cartan dice que la curvatura se puede expresar en términos de la forma única local mediante la expresión ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\alpha }:U_{\alpha }\to P_{U_{\alpha }}}$ ${\displaystyle A_{\alpha }=s_{\alpha }^{*}\nu \in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$

${\displaystyle F=dA_{\alpha }+{\frac {1}{2}}[A_{\alpha },A_{\alpha }]}$

donde utilizamos el corchete de Lie en el paquete de álgebra de Lie que se identifica con la trivialización local . ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\times {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

Bajo una transformación de calibre local , la conexión local de forma única se transforma mediante la expresión ${\displaystyle g:U_{\alpha }\to G}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=(g\circ s)^{*}\nu }$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=\operatorname {ad} (g)\circ A_{\alpha }+(g^{-1})^{*}\theta }$

donde denota la forma Maurer-Cartan del grupo Lie . En el caso de que sea una matriz del grupo de Lie , se tiene la expresión más simple ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=gA_{\alpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}.}$

Conexiones en paquetes de vectores

La derivada covariante de una conexión en un haz de vectores puede recuperarse de su transporte paralelo. Los valores de una sección se transportan en paralelo a lo largo del camino de regreso a , y luego se toma la derivada covariante en el espacio vectorial fijo, la fibra sobre . ${\displaystyle s(\gamma (t))}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x}$

Una conexión en un haz de vectores se puede especificar de manera similar al caso de los haces principales anteriores, conocido como conexión de Ehresmann . Sin embargo, las conexiones de haces vectoriales admiten una descripción más potente en términos de un operador diferencial. Una conexión en un paquete de vectores es una elección de operador diferencial lineal ${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}X\otimes E)=\Omega ^{1}(E)}$

tal que

${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$

para todos y secciones . La derivada covariante de una sección en la dirección de un campo vectorial está definida por ${\displaystyle f\in C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \nabla _{v}(s)=\nabla s(v)}$

donde a la derecha usamos el emparejamiento natural entre y . Esta es una nueva sección del paquete de vectores , considerada como la derivada de en la dirección de . El operador es el operador derivada covariante en la dirección de . La curvatura de está dada por el operador con valores en el paquete de endomorfismo , definido por ${\displaystyle \Omega ^{1}(X)}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nabla _{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\operatorname {End} (E))}$

${\displaystyle F_{\nabla }(v_{1},v_{2})=\nabla _{v_{1}}\nabla _{v_{2}}-\nabla _{v_{2}}\nabla _{v_{1}}-\nabla _{[v_{1},v_{2}]}.}$

En una trivialización local, la derivada exterior actúa como una conexión trivial (que corresponde en la imagen del paquete principal a la conexión trivial discutida anteriormente). Es decir, para un marco local se define ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{r}}$

${\displaystyle d(s^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})=ds^{i}\otimes {\boldsymbol {e}}_{i}}$

donde aquí hemos utilizado la notación de Einstein para una sección local . ${\displaystyle s=s^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}$

Dos conexiones cualesquiera se diferencian por una forma univaluada . Para ver esto, observe que la diferencia de dos conexiones es lineal: ${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}-\nabla _{2})(s).}$

En particular, dado que cada paquete de vectores admite una conexión (usando particiones de unidad y conexiones triviales locales), el conjunto de conexiones en un paquete de vectores tiene la estructura de un espacio afín de dimensión infinita modelado en el espacio vectorial . Este espacio se denota comúnmente . ${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Aplicando esta observación localmente, cada conexión sobre un subconjunto trivializante difiere de la conexión trivial por alguna conexión local uniforme , con la propiedad de que en . En términos de esta forma de conexión local, la curvatura se puede escribir como ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle \nabla =d+A_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle F_{A}=dA_{\alpha }+A_{\alpha }\wedge A_{\alpha }}$

donde el producto de cuña ocurre en el componente de una forma y se componen endomorfismos en el componente de endomorfismo. Para volver a la teoría de los paquetes principales, observe que en el lado derecho ahora realizamos cuña de formas unitarias y conmutador de endomorfismos. ${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$

Bajo una transformación de calibre del paquete de vectores , una conexión se transforma en una conexión mediante la conjugación . La diferencia aquí es actuar sobre los endomorfismos de . Bajo una transformación de calibre local se obtiene la misma expresión ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle u\cdot \nabla }$ ${\displaystyle (u\cdot \nabla )_{v}(s)=u(\nabla _{v}(u^{-1}(s))}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla -\nabla =-(\nabla u)u^{-1}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=gA_{\alpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}}$

como en el caso de los paquetes principales.

Conexiones inducidas

Una conexión en un paquete principal induce conexiones en paquetes de vectores asociados. Una forma de ver esto es en términos de los formularios de conexión local descritos anteriormente. Es decir, si una conexión de paquete principal tiene formas de conexión local y es una representación de la definición de un paquete de vectores asociado , entonces las formas unidireccionales de conexión local inducida se definen por ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=P\times _{\rho }V}$

${\displaystyle \rho _{*}A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E)).}$

Aquí está el homomorfismo inducido del álgebra de Lie y utilizamos el hecho de que este mapa induce un homomorfismo de paquetes de vectores . ${\displaystyle \rho _{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)\to \operatorname {End} (E)}$

La curvatura inducida se puede definir simplemente por

${\displaystyle \rho _{*}F_{A}\in \Omega ^{2}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E)).}$

Aquí se ve cómo las expresiones locales para curvatura se relacionan para paquetes principales y paquetes vectoriales, ya que el corchete de Lie en el álgebra de Lie se envía al conmutador de endomorfismos del homomorfismo del álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle \rho _{*}}$

Espacio de conexiones

El objeto central de estudio en la teoría matemática del calibre es el espacio de conexiones en un paquete de vectores o paquete principal. Este es un espacio afín de dimensión infinita modelado en el espacio vectorial (o en el caso de paquetes de vectores). Se dice que dos conexiones son equivalentes de calibre si existe una transformación de calibre tal que La teoría de calibre se ocupa de las clases de conexiones de equivalencia de calibre. Por lo tanto, en cierto sentido la teoría de calibre se ocupa de las propiedades del espacio cociente , que en general no es ni un espacio de Hausdorff ni una variedad suave . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(X,\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(X,\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle A,A'\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A'=u\cdot A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$

Muchas propiedades interesantes de la variedad base se pueden codificar en la geometría y topología de los espacios de módulos de conexiones en haces principales y haces de vectores . Los invariantes de , como los invariantes de Donaldson o los invariantes de Seiberg-Witten, se pueden obtener calculando cantidades numéricas derivadas de espacios de módulos de conexiones sobre . La aplicación más famosa de esta idea es el teorema de Donaldson , que utiliza el espacio de módulos de las conexiones de Yang-Mills en un paquete principal sobre una variedad de cuatro simplemente conectada para estudiar su forma de intersección. Por este trabajo, Donaldson recibió la medalla Fields . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle X}$

Convenciones de notación

Existen varias convenciones de notación utilizadas para conexiones en paquetes de vectores y paquetes principales que se resumirán aquí.

• La letra es el símbolo más común utilizado para representar una conexión en un paquete de vectores o paquete principal. Proviene del hecho de que si uno elige una conexión fija de todas las conexiones, entonces cualquier otra conexión puede escribirse para alguna forma única . También proviene del uso de para denotar la forma local de la conexión en un haz de vectores, que posteriormente proviene del potencial electromagnético en física. A veces, el símbolo también se usa para referirse a la forma de conexión, generalmente en un paquete principal, y generalmente en este caso se refiere a la forma única de conexión global en el espacio total del paquete principal, en lugar de las formas de conexiones locales correspondientes. Esta convención generalmente se evita en la literatura matemática ya que a menudo choca con el uso de para una forma de Kähler cuando la variedad subyacente es una variedad de Kähler . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nabla _{0}\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \nabla =\nabla _{0}+A}$ ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(X,\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$
• El símbolo se usa más comúnmente para representar una conexión en un conjunto de vectores como operador diferencial y, en ese sentido, se usa indistintamente con la letra . También se utiliza para referirse a los operadores de derivadas covariantes . La notación alternativa para el operador de conexión y los operadores de derivada covariante es enfatizar la dependencia de la elección de , o o . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nabla _{X}}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D_{A}}$ ${\displaystyle d_{A}}$
• El operador se refiere más comúnmente a la derivada covariante exterior de una conexión (y por eso a veces se escribe para una conexión ). Dado que la derivada covariante exterior en grado 0 es la misma que la derivada covariante regular, la conexión o derivada covariante misma a menudo se denota en lugar de . ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{\nabla }}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle \nabla }$
• El símbolo o se utiliza más comúnmente para referirse a la curvatura de una conexión. Cuando se hace referencia a la conexión con , a la curvatura se hace referencia con en lugar de . Otras convenciones involucran o o , por analogía con el tensor de curvatura de Riemann en la geometría de Riemann , que se denota por . ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F_{\omega }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{A}}$ ${\displaystyle R_{\nabla }}$ ${\displaystyle R}$
• La letra se utiliza a menudo para indicar una conexión de haz principal o conexión de Ehresmann cuando se debe poner énfasis en la distribución horizontal . En este caso, el operador de proyección vertical correspondiente a (la conexión uniforme en ) suele denotarse , o , o . Usando esta convención, a veces se denota la curvatura para enfatizar la dependencia, y puede referirse al operador de curvatura en el espacio total o a la curvatura en la base . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\subset TP}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle F_{H}}$ ${\displaystyle F_{H}}$ ${\displaystyle F_{H}\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F_{H}\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {ad} (P))}$
• El paquete adjunto del álgebra de Lie generalmente se denota por , y el paquete adjunto del grupo de Lie por . Esto no está de acuerdo con la convención en la teoría de los grupos de Lie , donde se refiere a la representación de on , y se refiere a la representación del álgebra de Lie de on sí mismo mediante el corchete de Lie . En la teoría de grupos de Lie, la acción de conjugación (que define el paquete ) a menudo se denota por . ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle \Psi _{g}}$

Diccionario de terminología matemática y física.

Los campos matemático y físico de la teoría de calibre implican el estudio de los mismos objetos, pero utilizan terminología diferente para describirlos. A continuación se muestra un resumen de cómo estos términos se relacionan entre sí.

Como demostración de este diccionario, considere un término que interactúa entre un campo de partículas electrón-positrón y el campo electromagnético en el lagrangiano de la electrodinámica cuántica : ^[19]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },}$

Matemáticamente esto podría reescribirse

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\langle \psi ,({D\!\!\!\!/}_{A}-m)\psi \rangle _{L^{2}}+\|F_{A}\|_{L^{2}}^{2}}$

donde es una conexión en un paquete principal , es una sección de un paquete de espinor asociado y es el operador de Dirac inducido de la derivada covariante inducida en este paquete asociado. El primer término es un término de interacción en lagrangiano entre el campo de espinor (el campo que representa el electrón-positrón) y el campo de calibre (que representa el campo electromagnético). El segundo término es el funcional regular de Yang-Mills que describe las propiedades básicas de no interacción del campo electromagnético (la conexión ). El término de la forma es un ejemplo de lo que en física se llama acoplamiento mínimo, es decir, la interacción más simple posible entre un campo de materia y un campo de calibre . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {D\!\!\!\!/}_{A}}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nabla _{A}\psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$

Teoría de Yang-Mills

La teoría predominante que ocurre en la teoría matemática del calibre es la teoría de Yang-Mills. Esta teoría implica el estudio de las conexiones que son puntos críticos del funcional Yang-Mills definido por

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}}$

donde es una variedad de Riemann orientada con la forma de volumen de Riemann y una norma en el paquete adjunto . Este funcional es el cuadrado de la norma de la curvatura de la conexión , por lo que las conexiones que son puntos críticos de esta función son aquellas con curvatura lo más pequeña posible (o mínimos locales superiores a ). ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{g}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {YM} }$

Estos puntos críticos se caracterizan como soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas , las ecuaciones de Yang-Mills

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0}$

donde es la derivada covariante exterior inducida de on y es el operador estrella de Hodge . Estas soluciones se denominan conexiones Yang-Mills y son de gran interés geométrico. ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \star }$

La identidad de Bianchi afirma que para cualquier conexión, . Por analogía con las formas diferenciales, una forma armónica se caracteriza por la condición ${\displaystyle d_{A}F_{A}=0}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle d\star \omega =d\omega =0.}$

Si uno definiera una conexión armónica por la condición de que

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=d_{A}F_{A}=0}$

El estudio de entonces de las conexiones Yang-Mills es de naturaleza similar al de las formas armónicas. La teoría de Hodge proporciona un representante armónico único de cada clase de cohomología de De Rham . Al reemplazar una clase de cohomología por una órbita de calibre , se puede considerar que el estudio de las conexiones Yang-Mills intenta encontrar representantes únicos para cada órbita en el espacio cociente de transformaciones de calibre del módulo de conexiones. ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle \{u\cdot A\mid u\in {\mathcal {G}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$

Ecuaciones de autodualidad y anti-autodualidad

En la dimensión cuatro, el operador estrella de Hodge envía dos formas a dos formas, y cuadrados al operador de identidad ,. Por lo tanto, la estrella de Hodge que opera en dos formas tiene valores propios , y las dos formas en una cuádruple variedad de Riemann orientada se dividen como una suma directa. ${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}$ ${\displaystyle \star ^{2}=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)}$

en las dos formas autodual y anti-autodual , dadas por los espacios propios y del operador estrella de Hodge, respectivamente. Es decir, es autodual si y antiautodual si , y toda biforma diferencial admite una división en partes autodual y antiautodual. ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{2}(X)}$ ${\displaystyle \star \alpha =\alpha }$ ${\displaystyle \star \alpha =-\alpha }$ ${\displaystyle \alpha =\alpha _{+}+\alpha _{-}}$

Si la curvatura de una conexión en un paquete principal sobre una variedad cuádruple es autodual o antiautodual, entonces según la identidad de Bianchi , la conexión es automáticamente una conexión Yang-Mills. la ecuacion ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=\pm d_{A}F_{A}=0}$

${\displaystyle \star F_{A}=\pm F_{A}}$

es una ecuación diferencial parcial de primer orden para la conexión y, por lo tanto, es más sencilla de estudiar que la ecuación completa de Yang-Mills de segundo orden. La ecuación se llama ecuación de autodualidad y la ecuación se llama ecuación de antiautodualidad , y las soluciones a estas ecuaciones son conexiones autoduales o conexiones antiautoduales respectivamente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \star F_{A}=F_{A}}$ ${\displaystyle \star F_{A}=-F_{A}}$

Reducción dimensional

Una forma de derivar ecuaciones teóricas de calibre nuevas e interesantes es aplicar el proceso de reducción dimensional a las ecuaciones de Yang-Mills. Este proceso implica tomar las ecuaciones de Yang-Mills sobre una variedad (generalmente considerada como el espacio euclidiano ) e imponer que las soluciones de las ecuaciones sean invariantes bajo un grupo de simetrías traslacionales o de otro tipo. A través de este proceso, las ecuaciones de Yang-Mills conducen a las ecuaciones de Bogomolny que describen monopolos en , las ecuaciones de Hitchin que describen haces de Higgs en superficies de Riemann y las ecuaciones de Nahm en intervalos reales, imponiendo simetría bajo traslaciones en una, dos y tres direcciones respectivamente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Teoría del calibre en una y dos dimensiones.

Aquí se analizan las ecuaciones de Yang-Mills cuando la variedad base es de baja dimensión. En este entorno, las ecuaciones se simplifican drásticamente debido al hecho de que en la dimensión uno no hay dos formas, y en la dimensión dos, el operador estrella de Hodge en dos formas actúa como . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to C^{\infty }(X)}$

Teoría de Yang-Mills

Se pueden estudiar las ecuaciones de Yang-Mills directamente en una variedad de dimensión dos. La teoría de las ecuaciones de Yang-Mills cuando la variedad base es una superficie compacta de Riemann fue desarrollada por Michael Atiyah y Raoul Bott . ^[6] En este caso, el espacio de módulos de las conexiones de Yang-Mills sobre un conjunto de vectores complejo admite varias interpretaciones ricas, y la teoría sirve como el caso más simple para comprender las ecuaciones en dimensiones superiores. Las ecuaciones de Yang-Mills en este caso se convierten en ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \star F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}}$

para alguna constante topológica dependiendo de . Tales conexiones se denominan proyectivamente planas , y en el caso en que el paquete de vectores es topológicamente trivial (entonces ), son precisamente conexiones planas. ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda (E)=0}$

Cuando el rango y el grado del paquete de vectores son coprimos , el espacio de módulos de las conexiones de Yang-Mills es suave y tiene una estructura natural de variedad simpléctica . Atiyah y Bott observaron que dado que las conexiones Yang-Mills son proyectivamente planas, su holonomía proporciona representaciones unitarias proyectivas del grupo fundamental de la superficie, de modo que este espacio tiene una descripción equivalente como un espacio de módulos de representaciones unitarias proyectivas del grupo fundamental de La superficie de Riemann, una variedad con carácter . El teorema de Narasimhan y Seshadri ofrece una descripción alternativa de este espacio de representaciones como el espacio de módulos de haces de vectores holomórficos estables que son suavemente isomorfos al . ^[20] A través de este isomorfismo, el espacio de módulos de las conexiones Yang-Mills adquiere una estructura compleja, que interactúa con la estructura simpléctica de Atiyah y Bott para convertirla en una variedad Kähler compacta. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle E}$

Simon Donaldson dio una prueba alternativa del teorema de Narasimhan y Seshadri que pasaba directamente de las conexiones de Yang-Mills a estructuras holomorfas estables. ^[21] Atiyah y Bott utilizaron esta reformulación del problema para iluminar la íntima relación entre las conexiones extremas de Yang-Mills y la estabilidad de los haces de vectores, como un mapa de momento de dimensión infinita para la acción del grupo de calibre , dado por el mapa de curvatura en sí. Esta observación expresa el teorema de Narasimhan-Seshadri como una especie de versión de dimensión infinita del teorema de Kempf-Ness de la teoría geométrica invariante , que relaciona puntos críticos de la norma al cuadrado del mapa de momentos (en este caso, conexiones de Yang-Mills) con puntos estables. en el cociente algebraico correspondiente (en este caso, haces de vectores holomorfos estables). Posteriormente, esta idea ha sido muy influyente en la teoría de calibres y la geometría compleja desde su introducción. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle A\mapsto F_{A}}$

ecuaciones de nahm

Las ecuaciones de Nahm, introducidas por Werner Nahm , se obtienen como la reducción dimensional de la anti-autodualidad en cuatro dimensiones a una dimensión, imponiendo invariancia traslacional en tres direcciones. ^[22] En concreto, se requiere que la forma de conexión no dependa de las coordenadas . En este escenario, las ecuaciones de Nahm entre un sistema de ecuaciones en un intervalo para cuatro matrices que satisfacen el triple de ecuaciones ${\displaystyle A=A_{0}\,dx^{0}+A_{1}\,dx^{1}+A_{2}\,dx^{2}+A_{3}\,dx^{3}}$ ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3}\in C^{\infty }(I,{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dT_{1}}{dt}}+[T_{0},T_{1}]+[T_{2},T_{3}]=0\\{\frac {dT_{2}}{dt}}+[T_{0},T_{2}]+[T_{3},T_{1}]=0\\{\frac {dT_{3}}{dt}}+[T_{0},T_{3}]+[T_{1},T_{2}]=0.\end{cases}}}$

Nahm demostró que las soluciones de estas ecuaciones (que se pueden obtener con bastante facilidad ya que son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias ) se pueden usar para construir soluciones a las ecuaciones de Bogomolny , que describen monopolos en . Nigel Hitchin demostró que las soluciones de las ecuaciones de Bogomolny podían usarse para construir soluciones de las ecuaciones de Nahm, demostrando que las soluciones de los dos problemas eran equivalentes. ^[23] Donaldson demostró además que las soluciones a las ecuaciones de Nahm son equivalentes a mapas racionales de grado desde la línea proyectiva compleja hacia sí misma, donde está la carga del monopolo magnético correspondiente. ^[24] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$

El espacio de módulos de soluciones de las ecuaciones de Nahm tiene la estructura de una variedad Hyperkähler.

Ecuaciones de Hitchin y haces de Higgs

Las ecuaciones de Hitchin, introducidas por Nigel Hitchin , se obtienen como la reducción dimensional de las ecuaciones de autodualidad en cuatro dimensiones a dos dimensiones imponiendo invariancia de traducción en dos direcciones. ^[25] En este entorno, los dos componentes adicionales de la forma de conexión se pueden combinar en un único endomorfismo de valor complejo y, cuando se expresan de esta manera, las ecuaciones se vuelven conformemente invariantes y, por lo tanto, es natural estudiarlas en una superficie compacta de Riemann en lugar de . Las ecuaciones de Hitchin establecen que para un par en un conjunto de vectores complejo donde , eso ${\displaystyle A_{3}\,dx^{3}+A_{4}\,dx^{4}}$ ${\displaystyle \Phi =A_{3}+iA_{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (A,\Phi )}$ ${\displaystyle E\to \Sigma }$ ${\displaystyle \Phi \in \Omega ^{1,0}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=0\\{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0\end{cases}}}$

¿Dónde está el componente de ? Las soluciones de las ecuaciones de Hitchin se denominan pares de Hitchin . ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle d_{A}}$

Mientras que las soluciones de las ecuaciones de Yang-Mills en una superficie compacta de Riemann corresponden a representaciones unitarias proyectivas del grupo de superficies, Hitchin demostró que las soluciones de las ecuaciones de Hitchin corresponden a representaciones complejas proyectivas del grupo de superficies. El espacio de módulos de los pares de Hitchin tiene naturalmente (cuando el rango y el grado del paquete son coprimos) la estructura de una variedad de Kähler. A través de una analogía de la observación de Atiyah y Bott sobre las ecuaciones de Yang-Mills, Hitchin demostró que los pares de Hitchin corresponden a los llamados haces de Higgs estables , donde un haz de Higgs es un par donde es un haz de vectores holomórfico y es un endomorfismo holomórfico de con valores en el haz canónico de la superficie de Riemann . Esto se muestra a través de una construcción de mapa de momentos de dimensión infinita, y este espacio de módulos de haces de Higgs también tiene una estructura compleja, que es diferente a la que proviene de los pares de Hitchin, lo que lleva a dos estructuras complejas en el espacio de módulos de haces de Higgs. Estos se combinan para dar un tercero, lo que convierte este espacio de módulos en una variedad hiperkähler . ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle E\to \Sigma }$ ${\displaystyle \Phi :E\to E\otimes K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

El trabajo de Hitchin fue posteriormente ampliamente generalizado por Carlos Simpson , y la correspondencia entre las soluciones de las ecuaciones de Hitchin y los haces de Higgs sobre una variedad arbitraria de Kähler se conoce como teorema nobeliano de Hodge . ^{[26] [27] [28] [29] [30]}

Teoría del calibre en tres dimensiones.

Monopolos

La reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills a tres dimensiones imponiendo invariancia traslacional en una dirección da lugar a las ecuaciones de Bogomolny para un par donde es una familia de matrices. ^[31] Las ecuaciones son ${\displaystyle (A,\Phi )}$ ${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} ^{3}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle F_{A}=\star d_{A}\Phi .}$

Cuando el paquete principal tiene un grupo estructural el grupo circular , las soluciones a las ecuaciones de Bogomolny modelan el monopolo de Dirac que describe un monopolo magnético en el electromagnetismo clásico. El trabajo de Nahm y Hitchin muestra que cuando el grupo estructural es el grupo unitario especial, las soluciones de las ecuaciones monopolo corresponden a soluciones de las ecuaciones de Nahm, y por el trabajo de Donaldson, estas corresponden además a aplicaciones racionales desde hacia sí mismo de grado donde está la carga. del monopolo. Este cargo se define como el límite ${\displaystyle P\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{S_{R}}(\Phi ,F_{A})=4\pi k}$

de la integral del emparejamiento sobre esferas de radio creciente . ${\displaystyle (\Phi ,F_{A})\in \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle S_{R}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle R}$

Teoría de Chern-Simons

La teoría de Chern-Simons en 3 dimensiones es una teoría de campos cuánticos topológicos con una acción funcional proporcional a la integral de la forma de Chern-Simons , una forma triple definida por

${\displaystyle \operatorname {Tr} (F_{A}\wedge A-{\frac {1}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

Las soluciones clásicas a las ecuaciones de Euler-Lagrange de Chern-Simons funcionales en una variedad 3 cerrada corresponden a conexiones planas en el haz principal . Sin embargo, cuando tiene un límite la situación se complica. Edward Witten utilizó la teoría de Chern-Simons para expresar el polinomio de Jones , un invariante de nudo, en términos del valor esperado de vacío de un bucle de Wilson en la teoría de Chern-Simons sobre las tres esferas . ^[10] Esta fue una clara demostración del poder de los problemas de la teoría de calibre para proporcionar nuevos conocimientos en topología, y fue uno de los primeros ejemplos de una teoría cuántica de campos topológica . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle S^{3}}$

En la cuantización de la teoría clásica de Chern-Simons, se estudian las conexiones planas inducidas o proyectivamente planas en el haz principal restringidas a superficies dentro de la variedad 3. Los espacios de estados clásicos correspondientes a cada superficie son precisamente los espacios de módulos de las ecuaciones de Yang-Mills estudiadas por Atiyah y Bott. ^[6] La cuantificación geométrica de estos espacios fue lograda por Nigel Hitchin y Axelrod–Della Pietra–Witten de forma independiente, y en el caso en que el grupo de estructuras es complejo, el espacio de configuración es el espacio de módulos de los haces de Higgs y su cuantificación se logró mediante Witten. ^{[32] [33] [34]} ${\displaystyle \Sigma \subset X}$

Homología de flor

Andreas Floer introdujo un tipo de homología en 3 variedades definida en analogía con la homología Morse en dimensiones finitas. ^[35] En esta teoría de la homología, la función Morse es la funcional de Chern-Simons en el espacio de conexiones en un paquete principal sobre la variedad 3 . Los puntos críticos son las conexiones planas, y las líneas de flujo se definen como los instantones de Yang-Mills que se restringen a las conexiones planas críticas en los dos componentes límite. Esto conduce a la homología instantánea de Floer . La conjetura de Atiyah-Floer afirma que la homología instantánea de Floer concuerda con la homología de Floer de la intersección lagrangiana del espacio de módulos de conexiones planas en la superficie que define una división de Heegaard de , que es simpléctica debido a las observaciones de Atiyah y Bott. ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\times I}$ ${\displaystyle \Sigma \subset X}$ ${\displaystyle X}$

En analogía con la homología de Instanton Floer, se puede definir la homología de Seiberg-Witten Floer donde los instantones se reemplazan con soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten . Por el trabajo de Clifford Taubes se sabe que esto es isomorfo a la homología de contacto incrustada y, posteriormente, a la homología de Heegaard Floer.

Teoría del calibre en cuatro dimensiones.

La teoría de calibres se ha estudiado más intensamente en cuatro dimensiones. Aquí el estudio matemático de la teoría de calibre se superpone significativamente con sus orígenes físicos, ya que el modelo estándar de física de partículas puede considerarse como una teoría cuántica de campos en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones . El estudio de los problemas de la teoría de calibre en cuatro dimensiones conduce naturalmente al estudio de la teoría cuántica de campos topológica . Estas teorías son teorías de calibre físico que son insensibles a los cambios en la métrica de Riemann de la variedad cuádruple subyacente y, por lo tanto, pueden usarse para definir invariantes topológicos (o de estructura suave) de la variedad.

Ecuaciones anti-auto-dualidad

En cuatro dimensiones, las ecuaciones de Yang-Mills admiten una simplificación de las ecuaciones anti-auto-dualidad de primer orden para una conexión en un paquete principal sobre una cuádruple variedad riemanniana orientada . ^[17] Estas soluciones de las ecuaciones de Yang-Mills representan los mínimos absolutos del funcional de Yang-Mills, y los puntos críticos más altos corresponden a las soluciones que no surgen de conexiones anti-auto-duales. El espacio de módulos de soluciones a las ecuaciones anti-auto-dualidad, permite derivar invariantes útiles sobre la variedad cuádruple subyacente. ${\displaystyle \star F_{A}=-F_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$

Cobordismo dado por el espacio de módulos de conexiones anti-autoduales en el teorema de Donaldson

Esta teoría es más efectiva en el caso en que está simplemente conectada . Por ejemplo, en este caso, el teorema de Donaldson afirma que si las cuatro variedades tienen una forma de intersección definida negativa (4 variedades) , y si el paquete principal tiene un grupo estructural, un grupo unitario especial y una segunda clase de Chern , entonces el espacio de módulos es cinco. -dimensional y da un cobordismo entre sí y una unión inconexa de copias con su orientación invertida. Esto implica que la forma de intersección de dicha variedad cuádruple es diagonalizable. Hay ejemplos de cuatro variedades topológicas simplemente conectadas con forma de intersección no diagonalizable, como la variedad E8 , por lo que el teorema de Donaldson implica la existencia de cuatro variedades topológicas sin estructura suave . Esto está en marcado contraste con dos o tres dimensiones, en las que las estructuras topológicas y las estructuras suaves son equivalentes: cualquier variedad topológica de dimensión menor o igual a 3 tiene una estructura suave única. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle c_{2}(P)=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{2}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

Clifford Taubes y Donaldson utilizaron técnicas similares para demostrar que el espacio euclidiano admite incontables e infinitas estructuras suaves distintas. Esto contrasta marcadamente con cualquier dimensión distinta de la cuatro, donde el espacio euclidiano tiene una estructura suave única. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Una extensión de estas ideas conduce a la teoría de Donaldson , que construye más invariantes de variedades de cuatro suaves a partir de los espacios de módulos de conexiones sobre ellas. Estos invariantes se obtienen evaluando clases de cohomología en el espacio de módulos frente a una clase fundamental , que existe debido al trabajo analítico que muestra la orientabilidad y compacidad del espacio de módulos realizado por Karen Uhlenbeck , Taubes y Donaldson.

Cuando la variedad de cuatro es una variedad de Kähler o una superficie algebraica y el paquete principal tiene una primera clase de Chern que desaparece, las ecuaciones anti-auto-dualidad son equivalentes a las ecuaciones hermitianas de Yang-Mills en la variedad compleja . La correspondencia Kobayashi-Hitchin probada para superficies algebraicas por Donaldson y, en general, por Uhlenbeck y Yau, afirma que las soluciones de las ecuaciones HYM corresponden a haces de vectores holomórficos estables . Este trabajo proporcionó una descripción algebraica alternativa del espacio de módulos y su compactificación, porque el espacio de módulos de haces de vectores holomorfos semiestables sobre una variedad compleja es una variedad proyectiva y, por lo tanto, compacta. Esto indica que una forma de compactar el espacio de módulos de las conexiones es agregar conexiones correspondientes a haces de vectores semiestables, las llamadas conexiones Yang-Mills casi hermitianas . ${\displaystyle X}$

Ecuaciones de Seiberg-Witten

Durante su investigación de la supersimetría en cuatro dimensiones, Edward Witten y Nathan Seiberg descubrieron un sistema de ecuaciones ahora llamado ecuaciones de Seiberg-Witten, para una conexión y un campo de espinor . ^[11] En este caso, la variedad de cuatro debe admitir una estructura de Spin C , que define un paquete de Spin ^C principal con un paquete de líneas determinantes y un paquete de espinor asociado . La conexión está activada y el campo espinor . Las ecuaciones de Seiberg-Witten están dadas por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \psi \in \Gamma (S^{+})}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{+}=\psi \otimes \psi ^{*}-{\frac {1}{2}}|\psi |^{2}\\d_{A}\psi =0.\end{cases}}}$

Las soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten se llaman monopolos. El espacio de módulos de soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten, donde denota la elección de la estructura de Spin, se utiliza para derivar las invariantes de Seiberg-Witten. Las ecuaciones de Seiberg-Witten tienen una ventaja sobre las ecuaciones anti-autodualidad, en el sentido de que las ecuaciones mismas pueden perturbarse ligeramente para dar mejores propiedades al espacio de módulos de soluciones. Para hacer esto, se agrega una forma dual arbitraria a la primera ecuación. Para elecciones genéricas de métricas en la variedad cuádruple subyacente y elección de dos formas perturbadoras, el espacio de módulos de soluciones es una variedad compacta y suave. En buenas circunstancias (cuando la variedad es de tipo simple ), este espacio de módulos es de dimensión cero: una colección finita de puntos. La invariante de Seiberg-Witten en este caso es simplemente el número de puntos en el espacio de módulos. Las invariantes de Seiberg-Witten se pueden utilizar para demostrar muchos de los mismos resultados que las invariantes de Donaldson, pero a menudo con pruebas más sencillas que se aplican con mayor generalidad. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$

Teoría del calibre en dimensiones superiores

Ecuaciones hermitianas de Yang-Mills

Es posible estudiar una clase particular de conexiones Yang-Mills sobre variedades de Kähler o variedades hermitianas . Las ecuaciones hermitianas de Yang-Mills generalizan las ecuaciones anti-auto-dualidad que ocurren en la teoría de Yang-Mills de cuatro dimensiones a haces de vectores holomórficos sobre variedades complejas hermitianas en cualquier dimensión. If es un paquete de vectores holomórfico sobre una variedad compacta de Kähler y es una conexión hermitiana con respecto a alguna métrica hermitiana . Las ecuaciones hermitianas de Yang-Mills son ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{0,2}=0\\\Lambda _{\omega }F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E},\end{cases}}}$

donde es una constante topológica que depende de . Estos pueden verse como una ecuación para la conexión hermitiana o para la métrica hermitiana correspondiente con la conexión Chern asociada . En cuatro dimensiones, las ecuaciones de HYM son equivalentes a las ecuaciones de ASD. En dos dimensiones, las ecuaciones de HYM corresponden a las ecuaciones de Yang-Mills consideradas por Atiyah y Bott. La correspondencia Kobayashi-Hitchin afirma que las soluciones de las ecuaciones HYM están en correspondencia con haces de vectores holomorfos poliestables. En el caso de superficies compactas de Riemann, este es el teorema de Narasimhan y Seshadri demostrado por Donaldson. Para superficies algebraicas fue demostrado por Donaldson, y en general fue demostrado por Karen Uhlenbeck y Shing-Tung Yau . ^{[13] [14]} Este teorema está generalizado en el teorema nobeliano de Hodge de Simpson y, de hecho, es un caso especial del mismo en el que el campo de Higgs de un paquete de Higgs se establece en cero. ^[26] ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (E,\Phi )}$

Instantones de holonomía excepcionales

La eficacia de las soluciones de las ecuaciones de Yang-Mills para definir invariantes de cuatro variedades ha despertado el interés de que puedan ayudar a distinguir entre variedades de holonomía excepcionales , como las variedades G2 en dimensión 7 y las variedades Spin(7) en dimensión 8, así como Estructuras relacionadas, como las variedades Calabi-Yau de 6 variedades y las variedades casi Kähler . ^{[36] [37]}

Teoría de cuerdas

Nuevos problemas de teoría de calibre surgen de los modelos de teoría de supercuerdas . En tales modelos, el universo tiene 10 dimensiones y consta de cuatro dimensiones de espacio-tiempo regular y una variedad Calabi-Yau de 6 dimensiones. En tales teorías, los campos que actúan sobre las cuerdas viven en haces sobre estos espacios de dimensiones superiores, y uno está interesado en los problemas de la teoría de calibre relacionados con ellos. Por ejemplo, el límite de las teorías de campos naturales en la teoría de supercuerdas cuando el radio de la cuerda se acerca a cero (el llamado límite de gran volumen ) en una Calabi-Yau 6 veces viene dado por las ecuaciones hermitianas de Yang-Mills en esta variedad. Alejándonos del límite de gran volumen, se obtiene la ecuación deformada de Hermitian Yang-Mills , que describe las ecuaciones de movimiento para una brana D en el modelo B de la teoría de supercuerdas. La simetría especular predice que las soluciones de estas ecuaciones deberían corresponder a subvariedades lagrangianas especiales del espejo dual Calabi-Yau. ^[38]

Ver también

• Teoría del calibre
• Introducción a la teoría del calibre.
• Grupo calibre (matemáticas)
• Simetría de calibre (matemáticas)
• Teoría de Yang-Mills
• Ecuaciones de Yang-Mills

Referencias

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