Variedad de personajes

En las matemáticas de la teoría de módulos , dado un grupo de Lie algebraico , reductivo y un grupo finitamente generado , la variedad de carácter de es un espacio de clases de equivalencia de homomorfismos de grupo de a : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(\pi ,G)=\operatorname {Hom} (\pi ,G)/\!\sim \,.}$

Más precisamente, actúa sobre por conjugación , y dos homomorfismos se definen como equivalentes (denotados ) si y solo si sus cierres de órbitas se intersecan. Esta es la relación de equivalencia más débil en el conjunto de órbitas de conjugación, , que produce un espacio de Hausdorff . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi ,G)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi ,G)/G}$

Formulación

Formalmente, y cuando el grupo reductivo se define sobre los números complejos , la variedad de caracteres es el espectro de ideales primos del anillo de invariantes (es decir, el cociente GIT afín ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \mathbb {C} [\operatorname {Hom} (\pi ,G)]^{G}.}$

Aquí, de manera más general, se pueden considerar cuerpos algebraicamente cerrados de característica prima. En esta generalidad, las variedades de caracteres son solo conjuntos algebraicos y no son variedades reales. Para evitar problemas técnicos, a menudo se considera el espacio reducido asociado dividiendo por el radical de 0 (eliminando los nilpotentes ). Sin embargo, esto tampoco produce necesariamente un espacio irreducible. Además, si reemplazamos el grupo complejo por un grupo real, es posible que ni siquiera obtengamos un conjunto algebraico. En particular, un subgrupo compacto maximalista generalmente da un conjunto semialgebraico . Por otro lado, siempre que sea libre siempre obtenemos una variedad honesta; sin embargo, es singular. ${\displaystyle \pi }$

Ejemplos

Una clase interesante de ejemplos surge de las superficies de Riemann : si es una superficie de Riemann entonces la variedad de carácter de , o espacio de módulos de Betti , es la variedad de carácter del grupo de superficies ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{B}(X,G)={\mathfrak {R}}(\pi _{1}(X),G)}$.

Por ejemplo, si y es la esfera de Riemann perforada tres veces, entonces está libre de rango dos, entonces Henri G. Vogt, Robert Fricke y Felix Klein demostraron ^{[1] [2]} que la variedad de caracteres es ; su anillo de coordenadas es isomorfo al anillo polinomial complejo en 3 variables, . Restringiendo a se obtiene una bola tridimensional real cerrada (semi-algebraica, pero no algebraica). ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle G=\mathrm {SU} (2)}$

Otro ejemplo, también estudiado por Vogt y Fricke-Klein, es el caso de y es la esfera de Riemann perforada cuatro veces, por lo que está libre de rango tres. Entonces la variedad de caracteres es isomorfa a la hipersuperficie en dada por la ecuación ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{7}}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ab+cd)x-(ad+bc)y-(ac+bd)z+abcd+xyz-4=0.}$

Esta variedad de caracteres aparece en la teoría de la sexta ecuación de Painleve, ^[3] y tiene una estructura natural de Poisson tal que son funciones de Casimir, por lo que las hojas simplécticas son superficies cúbicas afines de la forma ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=c_{4}}$

Variantes

Esta construcción de la variedad de caracteres no es necesariamente la misma que la de Marc Culler y Peter Shalen (generada por evaluaciones de trazas), aunque cuando concuerdan, ya que Claudio Procesi ha demostrado que en este caso el anillo de invariantes es de hecho generado solo por trazas. Como las funciones de traza son invariantes por todos los automorfismos internos, la construcción de Culler-Shalen esencialmente supone que estamos actuando por sobre incluso si . ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}=\operatorname {Hom} (\pi ,H)}$ ${\displaystyle G\neq H}$

Por ejemplo, cuando es un grupo libre de rango 2 y , la acción de conjugación es trivial y la variedad del carácter es el toro ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G=\mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

Pero el álgebra de trazas es una subálgebra estrictamente pequeña (hay menos invariantes). Esto proporciona una acción involutiva sobre el toro que debe tenerse en cuenta para producir la variedad de caracteres de Culler-Shalen. La involución sobre este toro produce una 2-esfera. El punto es que hasta la conjugación todos los puntos son distintos, pero la traza identifica elementos con elementos antidiagonales diferentes (la involución). ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$

Conexión con la geometría

Existe una interacción entre estos espacios de módulos y los espacios de módulos de los fibrados principales , fibrados vectoriales , fibrados de Higgs y estructuras geométricas en espacios topológicos, dada generalmente por la observación de que, al menos localmente, los objetos equivalentes en estas categorías están parametrizados por clases de conjugación de homomorfismos de holonomía de conexiones planas. En otras palabras, con respecto a un espacio base para los fibrados o un espacio topológico fijo para las estructuras geométricas, el homomorfismo de holonomía es un homomorfismo de grupo desde al grupo de estructura del fibrado. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle G}$

Conexión a módulos de madeja

El anillo de coordenadas de la variedad de caracteres se ha relacionado con los módulos de madeja en la teoría de nudos . ^{[4] [5]} El módulo de madeja es aproximadamente una deformación (o cuantificación) de la variedad de caracteres. Está estrechamente relacionado con la teoría cuántica de campos topológicos en dimensión 2+1.

Véase también

• Teoría de invariantes geométricos

Referencias

1. Horowitz, RD (1972). "Caracteres de grupos libres representados en el grupo lineal especial bidimensional". Communications on Pure and Applied Mathematics . XXV (6): 635–649. doi :10.1002/cpa.3160250602.
2. Magnus, W. (1980). "Anillos de caracteres de Fricke y grupos de automorfismos de grupos libres". Math. Z. 170 : 91–103. doi :10.1007/BF01214715. S2CID  120977131.
3. Iwasaki, K. (2002). "Una acción de grupo modular sobre superficies cúbicas y la monodromía de la ecuación de Painlevé VI". Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci . 78 (7): 131–5. doi : 10.3792/pjaa.78.131 . MR  1930217. Zbl  1058.34125.
4. Doug Bullock, Anillos de caracteres y el módulo de madeja de corchetes de Kauffman ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {C} )}$ , Commentarii Mathematici Helvetici 72 (1997), n.º 4, 521–542. MR 1600138
5. Przytycki, Józef H. ; Sikora, Adam S. (2000). "Sobre álgebras de madeja y variedades de caracteres". Topología . 39 (1): 115–148. arXiv : q-alg/9705011 . doi :10.1016/S0040-9383(98)00062-7. MR  1710996. S2CID  14740329. ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {C} )}$