stringtranslate.com

4-colector

En matemáticas , una 4-variedad es una variedad topológica de 4 dimensiones . Una 4-variedad lisa es una 4-variedad con una estructura lisa . En dimensión cuatro, en marcado contraste con dimensiones inferiores, las variedades topológicas y lisas son bastante diferentes. Existen algunas 4-variedades topológicas que no admiten una estructura lisa, e incluso si existe una estructura lisa, no necesita ser única (es decir, hay 4-variedades lisas que son homeomorfas pero no difeomorfas ).

Las 4-variedades son importantes en física porque en la relatividad general , el espacio-tiempo se modela como una 4-variedad pseudo-riemanniana .

Variedades topológicas de 4 dimensiones

El tipo de homotopía de una 4-variedad compacta simplemente conexa depende únicamente de la forma de intersección de la homología de dimensión media. Un famoso teorema de Michael Freedman  (1982) implica que el tipo de homeomorfismo de la variedad depende únicamente de esta forma de intersección y de un invariante llamado invariante de Kirby-Siebenmann y, además, que puede surgir cualquier combinación de forma unimodular e invariante de Kirby-Siebenmann, excepto que si la forma es par, entonces el invariante de Kirby-Siebenmann debe ser la signatura/8 (mod 2).

Ejemplos:

La clasificación de Freedman se puede extender a algunos casos en los que el grupo fundamental no es demasiado complicado; por ejemplo, cuando es , existe una clasificación similar a la anterior que utiliza formas hermíticas sobre el anillo de grupos de . Si el grupo fundamental es demasiado grande (por ejemplo, un grupo libre sobre 2 generadores), entonces las técnicas de Freedman parecen fallar y se sabe muy poco sobre dichas variedades.

Para cualquier grupo finitamente presentado es fácil construir una 4-variedad compacta (suave) con él como su grupo fundamental. (Más específicamente, para cualquier grupo finitamente presentado, uno construye una variedad con el grupo fundamental dado, tal que dos variedades en esta familia son homeomorfas si y solo si los grupos fundamentales son isomorfos.) Como no puede haber un algoritmo para decir si dos grupos finitamente presentados son isomorfos (incluso si se sabe que uno es trivial), no puede haber un algoritmo para decir si dos 4-variedades tienen el mismo grupo fundamental. Esta es una razón por la que gran parte del trabajo sobre 4-variedades solo considera el caso simplemente conexo: ya se sabe que el caso general de muchos problemas es intratable.

4 colectores lisos

Para variedades de dimensión máxima de 6, cualquier estructura lineal por partes (PL) se puede suavizar de una manera esencialmente única, [1] por lo que, en particular, la teoría de las variedades PL de 4 dimensiones es muy similar a la teoría de las variedades suavizadas de 4 dimensiones.

Un problema importante abierto en la teoría de 4-variedades lisas es clasificar las variedades compactas simplemente conexas. Como se conocen las variedades topológicas, esto se divide en dos partes:

  1. ¿Qué variedades topológicas son suavizables?
  2. Clasifique las diferentes estructuras suaves en una variedad suavizable.

Existe una respuesta casi completa al primer problema que plantea la pregunta de qué 4-variedades compactas simplemente conexas tienen estructuras suaves. Primero, la clase Kirby-Siebenmann debe desaparecer.

En contraste, se sabe muy poco sobre la segunda cuestión de clasificar las estructuras suaves en una 4-variedad suavizable; de ​​hecho, no hay una sola 4-variedad suavizable cuya respuesta se conozca completamente. Donaldson demostró que hay algunas 4-variedades compactas simplemente conexas, como las superficies de Dolgachev , con un número infinito numerable de diferentes estructuras suaves. Hay un número incontable de diferentes estructuras suaves en R 4 ; vea R 4 exótico . Fintushel y Stern mostraron cómo usar la cirugía para construir un gran número de diferentes estructuras suaves (indexadas por polinomios integrales arbitrarios) en muchas variedades diferentes, usando invariantes de Seiberg-Witten para mostrar que las estructuras suaves son diferentes. Sus resultados sugieren que cualquier clasificación de 4-variedades suaves simplemente conexas será muy complicada. Actualmente no hay conjeturas plausibles sobre cómo podría ser esta clasificación. (Algunas conjeturas tempranas de que todas las 4-variedades suaves simplemente conexas podrían ser sumas conexas de superficies algebraicas o variedades simplécticas , posiblemente con orientaciones invertidas, han sido refutadas.)

Fenómenos especiales en 4 dimensiones

Hay varios teoremas fundamentales sobre variedades que pueden demostrarse mediante métodos de baja dimensión en dimensiones de como máximo 3, y mediante métodos de alta dimensión completamente diferentes en dimensiones de como mínimo 5, pero que son falsos en dimensión 4. He aquí algunos ejemplos:

El fracaso del truco de Whitney en la dimensión 4

Según Frank Quinn , "Dos subvariedades n -dimensionales de una variedad de dimensión 2n normalmente se intersecan a sí mismas y entre sí en puntos aislados. El "truco de Whitney" utiliza una isotopía a través de un disco 2 incrustado para simplificar estas intersecciones. En términos generales, esto reduce el estudio de incrustaciones n -dimensionales a incrustaciones de discos 2. Pero esto no es una reducción cuando la dimensión es 4: los discos 2 en sí mismos son de dimensión media, por lo que tratar de incrustarlos enfrenta exactamente los mismos problemas que se supone que resuelven. Este es el fenómeno que separa la dimensión 4 de otras". [5]

Véase también

Referencias

  1. ^ Milnor, John (2011), "Topología diferencial cuarenta y seis años después" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 58 (6): 804–809, MR  2839925.
  2. ^ Hopkins, Michael J .; Lin, Jianfeng; Shi, XiaoLin; Xu, Zhouli (2019), "Formas de intersección de variedades de espín 4 y el invariante de Mahowald Pin(2)-equivariante", arXiv : 1812.04052 [math.AT].
  3. ^ Donaldson, Simon K. (1987). "Irracionalidad y la conjetura del h-cobordismo". J. Differential Geom . 26 (1): 141–168. doi : 10.4310/jdg/1214441179 . MR  0892034.
  4. ^ Manolescu, Ciprian (2016). "Homología de Seiberg–Witten Floer equivalente a Pin(2) y la conjetura de triangulación". J. Amer. Math. Soc. 29 : 147–176. arXiv : 1303.2354 . doi :10.1090/jams829. S2CID  16403004.
  5. ^ Quinn, F. (1996). "Problemas en topología de baja dimensión". En Ranicki, A.; Yamasaki, M. (eds.). Cirugía y topología geométrica: Actas de una conferencia celebrada en la Universidad Josai, Sakado, septiembre de 1996 (PDF) . págs. 97–104.

Enlaces externos