En geometría algebraica y física teórica , la simetría especular es una relación entre objetos geométricos llamados variedades de Calabi-Yau . El término se refiere a una situación en la que dos variedades de Calabi-Yau parecen muy diferentes geométricamente pero, no obstante, son equivalentes cuando se emplean como dimensiones adicionales de la teoría de cuerdas .
Los primeros casos de simetría especular fueron descubiertos por físicos. Los matemáticos se interesaron en esta relación alrededor de 1990 cuando Philip Candelas , Xenia de la Ossa , Paul Green y Linda Parkes demostraron que podía usarse como herramienta en geometría enumerativa , una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de soluciones a cuestiones geométricas. Candelas y sus colaboradores demostraron que la simetría especular podía usarse para contar curvas racionales en una variedad de Calabi-Yau, resolviendo así un problema de larga data. Aunque el enfoque original de la simetría especular se basaba en ideas físicas que no se entendían de una manera matemáticamente precisa, algunas de sus predicciones matemáticas se han demostrado desde entonces de manera rigurosa .
En la actualidad, la simetría especular es un tema de investigación importante en matemáticas puras , y los matemáticos están trabajando para desarrollar una comprensión matemática de la relación basada en la intuición de los físicos. La simetría especular también es una herramienta fundamental para realizar cálculos en la teoría de cuerdas, y se ha utilizado para comprender aspectos de la teoría cuántica de campos , el formalismo que utilizan los físicos para describir partículas elementales . Los principales enfoques de la simetría especular incluyen el programa de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich y la conjetura SYZ de Andrew Strominger , Shing-Tung Yau y Eric Zaslow .
En física, la teoría de cuerdas es un marco teórico en el que las partículas puntuales de la física de partículas se reemplazan por objetos unidimensionales llamados cuerdas . Estas cuerdas parecen pequeños segmentos o bucles de cuerda ordinaria. La teoría de cuerdas describe cómo las cuerdas se propagan a través del espacio e interactúan entre sí. En escalas de distancia mayores que la escala de cuerdas, una cuerda se verá como una partícula ordinaria, con su masa , carga y otras propiedades determinadas por el estado vibracional de la cuerda. La división y recombinación de cuerdas corresponden a la emisión y absorción de partículas, dando lugar a las interacciones entre partículas. [1]
Existen diferencias notables entre el mundo descrito por la teoría de cuerdas y el mundo cotidiano. En la vida cotidiana, existen tres dimensiones familiares del espacio (arriba/abajo, izquierda/derecha y adelante/atrás), y hay una dimensión del tiempo (más tarde/antes). Por lo tanto, en el lenguaje de la física moderna, se dice que el espacio-tiempo es tetradimensional. [2] Una de las características peculiares de la teoría de cuerdas es que requiere dimensiones adicionales del espacio-tiempo para su consistencia matemática. En la teoría de supercuerdas , la versión de la teoría que incorpora una idea teórica llamada supersimetría , hay seis dimensiones adicionales del espacio-tiempo además de las cuatro que son familiares en la experiencia cotidiana. [3]
Uno de los objetivos de la investigación actual en teoría de cuerdas es desarrollar modelos en los que las cuerdas representen partículas observadas en experimentos de física de alta energía. Para que un modelo de este tipo sea coherente con las observaciones, su espacio-tiempo debe ser de cuatro dimensiones en las escalas de distancia pertinentes, por lo que hay que buscar formas de restringir las dimensiones adicionales a escalas más pequeñas. En la mayoría de los modelos realistas de física basados en la teoría de cuerdas, esto se logra mediante un proceso llamado compactificación , en el que se supone que las dimensiones adicionales se "cierran" sobre sí mismas para formar círculos. [4] En el límite en el que estas dimensiones enrolladas se vuelven muy pequeñas, se obtiene una teoría en la que el espacio-tiempo tiene efectivamente un número menor de dimensiones. Una analogía estándar para esto es considerar un objeto multidimensional como una manguera de jardín. Si la manguera se ve desde una distancia suficiente, parece tener solo una dimensión, su longitud. Sin embargo, al acercarse a la manguera, se descubre que contiene una segunda dimensión, su circunferencia. Por lo tanto, una hormiga que se arrastrara sobre la superficie de la manguera se movería en dos dimensiones. [5]
La compactificación se puede utilizar para construir modelos en los que el espacio-tiempo es efectivamente cuatridimensional. Sin embargo, no todas las formas de compactificación de las dimensiones adicionales producen un modelo con las propiedades adecuadas para describir la naturaleza. En un modelo viable de física de partículas, las dimensiones adicionales compactas deben tener la forma de una variedad de Calabi-Yau . [4] Una variedad de Calabi-Yau es un espacio especial que normalmente se considera hexadimensional en aplicaciones de la teoría de cuerdas. Recibe su nombre en honor a los matemáticos Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau . [6]
Después de que las variedades de Calabi-Yau entraran en la física como una forma de compactar dimensiones adicionales, muchos físicos comenzaron a estudiar estas variedades. A fines de la década de 1980, Lance Dixon , Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa y Nick Warner notaron que dada tal compactificación de la teoría de cuerdas, no es posible reconstruir de manera única una variedad de Calabi-Yau correspondiente. [7] En cambio, dos versiones diferentes de la teoría de cuerdas llamadas teoría de cuerdas de tipo IIA y tipo IIB pueden compactarse en variedades de Calabi-Yau completamente diferentes dando lugar a la misma física. [a] En esta situación, las variedades se denominan variedades especulares y la relación entre las dos teorías físicas se denomina simetría especular. [9]
La relación de simetría especular es un ejemplo particular de lo que los físicos llaman dualidad física . En general, el término dualidad física se refiere a una situación en la que dos teorías físicas aparentemente diferentes resultan ser equivalentes de una manera no trivial. Si una teoría puede transformarse de modo que parezca exactamente igual a otra teoría, se dice que las dos son duales bajo esa transformación. Dicho de otro modo, las dos teorías son descripciones matemáticamente diferentes de los mismos fenómenos. [10] Estas dualidades desempeñan un papel importante en la física moderna, especialmente en la teoría de cuerdas. [b]
Independientemente de si las compactificaciones de Calabi-Yau de la teoría de cuerdas proporcionan una descripción correcta de la naturaleza, la existencia de la dualidad especular entre diferentes teorías de cuerdas tiene consecuencias matemáticas significativas. [11] Las variedades de Calabi-Yau utilizadas en la teoría de cuerdas son de interés en matemáticas puras , y la simetría especular permite a los matemáticos resolver problemas en geometría algebraica enumerativa , una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de soluciones a cuestiones geométricas. Un problema clásico de la geometría enumerativa es enumerar las curvas racionales en una variedad de Calabi-Yau como la ilustrada anteriormente. Al aplicar la simetría especular, los matemáticos han traducido este problema en un problema equivalente para la variedad de Calabi-Yau especular, que resulta ser más fácil de resolver. [12]
En física, la simetría especular se justifica por razones físicas. [13] Sin embargo, los matemáticos generalmente requieren pruebas rigurosas que no requieran apelar a la intuición física. Desde un punto de vista matemático, la versión de simetría especular descrita anteriormente sigue siendo solo una conjetura, pero existe otra versión de simetría especular en el contexto de la teoría de cuerdas topológica , una versión simplificada de la teoría de cuerdas introducida por Edward Witten , [14] que ha sido rigurosamente probada por matemáticos. [15] En el contexto de la teoría de cuerdas topológica, la simetría especular establece que dos teorías llamadas modelo A y modelo B son equivalentes en el sentido de que existe una dualidad que las relaciona. [16] Hoy en día, la simetría especular es un área activa de investigación en matemáticas, y los matemáticos están trabajando para desarrollar una comprensión matemática más completa de la simetría especular basada en la intuición de los físicos. [17]
La idea de la simetría especular se remonta a mediados de la década de 1980, cuando se observó que una cuerda que se propaga en un círculo de radio es físicamente equivalente a una cuerda que se propaga en un círculo de radio en unidades apropiadas . [18] Este fenómeno ahora se conoce como T-dualidad y se entiende que está estrechamente relacionado con la simetría especular. [19] En un artículo de 1985, Philip Candelas , Gary Horowitz , Andrew Strominger y Edward Witten demostraron que al compactar la teoría de cuerdas en una variedad de Calabi-Yau, se obtiene una teoría aproximadamente similar al modelo estándar de física de partículas que también incorpora consistentemente una idea llamada supersimetría. [20] Después de este desarrollo, muchos físicos comenzaron a estudiar las compactificaciones de Calabi-Yau, con la esperanza de construir modelos realistas de física de partículas basados en la teoría de cuerdas. Cumrun Vafa y otros notaron que, dado un modelo físico de este tipo, no es posible reconstruir de manera única una variedad de Calabi-Yau correspondiente. En cambio, hay dos variedades de Calabi-Yau que dan lugar a la misma física. [21]
Al estudiar la relación entre las variedades de Calabi-Yau y ciertas teorías de campos conformes llamadas modelos de Gepner, Brian Greene y Ronen Plesser encontraron ejemplos no triviales de la relación especular. [22] Más evidencia de esta relación provino del trabajo de Philip Candelas, Monika Lynker y Rolf Schimmrigk, quienes examinaron una gran cantidad de variedades de Calabi-Yau por computadora y descubrieron que venían en pares especulares. [23]
Los matemáticos se interesaron en la simetría especular alrededor de 1990, cuando los físicos Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parkes demostraron que la simetría especular podía utilizarse para resolver problemas de geometría enumerativa [24] que se habían resistido a la solución durante décadas o más. [25] Estos resultados se presentaron a los matemáticos en una conferencia en el Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas (MSRI) en Berkeley, California, en mayo de 1991. Durante esta conferencia, se observó que uno de los números que Candelas había calculado para el recuento de curvas racionales no coincidía con el número obtenido por los matemáticos noruegos Geir Ellingsrud y Stein Arild Strømme utilizando técnicas aparentemente más rigurosas. [26] Muchos matemáticos en la conferencia asumieron que el trabajo de Candelas contenía un error, ya que no se basaba en argumentos matemáticos rigurosos. Sin embargo, después de examinar su solución, Ellingsrud y Strømme descubrieron un error en su código informático y, al corregir el código, obtuvieron una respuesta que coincidía con la obtenida por Candelas y sus colaboradores. [27]
En 1990, Edward Witten introdujo la teoría de cuerdas topológica, [14] una versión simplificada de la teoría de cuerdas, y los físicos demostraron que existe una versión de simetría especular para la teoría de cuerdas topológica. [28] Esta afirmación sobre la teoría de cuerdas topológica suele tomarse como la definición de simetría especular en la literatura matemática. [29] En un discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1994, el matemático Maxim Kontsevich presentó una nueva conjetura matemática basada en la idea física de simetría especular en la teoría de cuerdas topológica. Conocida como simetría especular homológica , esta conjetura formaliza la simetría especular como una equivalencia de dos estructuras matemáticas: la categoría derivada de haces coherentes en una variedad de Calabi-Yau y la categoría de Fukaya de su espejo. [30]
También alrededor de 1995, Kontsevich analizó los resultados de Candelas, que dieron una fórmula general para el problema de contar curvas racionales en una triple quíntica , y reformuló estos resultados como una conjetura matemática precisa. [31] En 1996, Alexander Givental publicó un artículo que afirmaba probar esta conjetura de Kontsevich. [32] Inicialmente, muchos matemáticos encontraron este artículo difícil de entender, por lo que hubo dudas sobre su corrección. Posteriormente, Bong Lian, Kefeng Liu y Shing-Tung Yau publicaron una prueba independiente en una serie de artículos. [33] A pesar de la controversia sobre quién había publicado la primera prueba, estos artículos ahora se consideran colectivamente como una prueba matemática de los resultados obtenidos originalmente por físicos usando simetría especular. [34] En 2000, Kentaro Hori y Cumrun Vafa dieron otra prueba física de simetría especular basada en la T-dualidad. [13]
El trabajo sobre la simetría especular continúa hoy en día con importantes desarrollos en el contexto de cuerdas sobre superficies con límites. [17] Además, la simetría especular se ha relacionado con muchas áreas activas de investigación matemática, como la correspondencia de McKay , la teoría cuántica de campos topológica y la teoría de las condiciones de estabilidad . [35] Al mismo tiempo, siguen existiendo cuestiones básicas que plantean interrogantes. Por ejemplo, los matemáticos aún no comprenden cómo construir ejemplos de pares especulares de Calabi-Yau, aunque se ha avanzado en la comprensión de esta cuestión. [36]
Muchas de las aplicaciones matemáticas importantes de la simetría especular pertenecen a la rama de las matemáticas llamada geometría enumerativa. En la geometría enumerativa, uno está interesado en contar el número de soluciones a las cuestiones geométricas, típicamente usando las técnicas de la geometría algebraica . Uno de los primeros problemas de la geometría enumerativa fue planteado alrededor del año 200 a. C. por el antiguo matemático griego Apolonio , quien preguntó cuántos círculos en el plano son tangentes a tres círculos dados. En general, la solución al problema de Apolonio es que hay ocho de esos círculos. [37]
Los problemas enumerativos en matemáticas a menudo se refieren a una clase de objetos geométricos llamados variedades algebraicas que se definen por la desaparición de polinomios . Por ejemplo, la cúbica de Clebsch (véase la ilustración) se define utilizando un determinado polinomio de grado tres en cuatro variables. Un célebre resultado de los matemáticos del siglo XIX Arthur Cayley y George Salmon afirma que hay exactamente 27 líneas rectas que se encuentran completamente sobre una superficie de este tipo. [38]
Generalizando este problema, uno puede preguntarse cuántas líneas se pueden dibujar en una variedad de Calabi-Yau de quinto grado, como la ilustrada arriba, que está definida por un polinomio de grado cinco. Este problema fue resuelto por el matemático alemán del siglo XIX Hermann Schubert , quien encontró que hay exactamente 2.875 líneas de ese tipo. En 1986, el geómetra Sheldon Katz demostró que el número de curvas, como círculos, que están definidas por polinomios de grado dos y se encuentran completamente en la variedad de quinto grado es 609.250. [37]
En 1991, la mayoría de los problemas clásicos de la geometría enumerativa se habían resuelto y el interés por ella había comenzado a disminuir. Según el matemático Mark Gross , "a medida que se resolvían los viejos problemas, la gente volvía a comprobar los números de Schubert con técnicas modernas, pero eso se estaba volviendo bastante obsoleto". [39] El campo se revitalizó en mayo de 1991 cuando los físicos Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parkes demostraron que la simetría especular podía utilizarse para contar el número de curvas de grado tres en una variedad de Calabi-Yau de quinto grado. Candelas y sus colaboradores descubrieron que estas variedades de Calabi-Yau de seis dimensiones pueden contener exactamente 317.206.375 curvas de grado tres. [39]
Además de contar curvas de grado tres en una ternaria quíntica, Candelas y sus colaboradores obtuvieron una serie de resultados más generales para contar curvas racionales que iban mucho más allá de los resultados obtenidos por los matemáticos. [40] Aunque los métodos utilizados en este trabajo se basaban en la intuición física, los matemáticos han seguido demostrando rigurosamente algunas de las predicciones de la simetría especular. En particular, las predicciones enumerativas de la simetría especular han sido ahora demostradas rigurosamente. [34]
Además de sus aplicaciones en geometría enumerativa, la simetría especular es una herramienta fundamental para realizar cálculos en teoría de cuerdas. En el modelo A de la teoría de cuerdas topológica, las cantidades físicamente interesantes se expresan en términos de una cantidad infinita de números llamados invariantes de Gromov-Witten , que son extremadamente difíciles de calcular. En el modelo B, los cálculos se pueden reducir a integrales clásicas y son mucho más fáciles. [41] Al aplicar la simetría especular, los teóricos pueden traducir cálculos difíciles en el modelo A en cálculos equivalentes pero técnicamente más fáciles en el modelo B. Estos cálculos se utilizan luego para determinar las probabilidades de varios procesos físicos en la teoría de cuerdas. La simetría especular se puede combinar con otras dualidades para traducir los cálculos de una teoría en cálculos equivalentes en una teoría diferente. Al externalizar los cálculos a diferentes teorías de esta manera, los teóricos pueden calcular cantidades que son imposibles de calcular sin el uso de dualidades. [42]
Fuera de la teoría de cuerdas, la simetría especular se utiliza para comprender aspectos de la teoría cuántica de campos , el formalismo que utilizan los físicos para describir las partículas elementales . Por ejemplo, las teorías de calibre son una clase de teorías físicas altamente simétricas que aparecen en el modelo estándar de física de partículas y otras partes de la física teórica. Algunas teorías de calibre que no forman parte del modelo estándar, pero que sin embargo son importantes por razones teóricas, surgen de cuerdas que se propagan sobre un fondo casi singular. Para tales teorías, la simetría especular es una herramienta computacional útil. [43] De hecho, la simetría especular se puede utilizar para realizar cálculos en una importante teoría de calibre en cuatro dimensiones del espacio-tiempo que fue estudiada por Nathan Seiberg y Edward Witten y también es familiar en matemáticas en el contexto de los invariantes de Donaldson . [44] También existe una generalización de la simetría especular llamada simetría especular 3D que relaciona pares de teorías cuánticas de campos en tres dimensiones del espacio-tiempo. [45]
En la teoría de cuerdas y teorías relacionadas de la física, una brana es un objeto físico que generaliza la noción de una partícula puntual a dimensiones superiores. Por ejemplo, una partícula puntual puede considerarse una brana de dimensión cero, mientras que una cuerda puede considerarse una brana de dimensión uno. También es posible considerar branas de dimensiones superiores. La palabra brana proviene de la palabra "membrana", que se refiere a una brana bidimensional. [46]
En la teoría de cuerdas, una cuerda puede ser abierta (formando un segmento con dos extremos) o cerrada (formando un bucle cerrado). Las D-branas son una clase importante de branas que surgen cuando se consideran cuerdas abiertas. A medida que una cuerda abierta se propaga a través del espacio-tiempo, se requiere que sus extremos se encuentren en una D-brana. La letra "D" en D-brana se refiere a una condición que satisface, la condición de contorno de Dirichlet . [47]
Matemáticamente, las branas se pueden describir utilizando la noción de categoría . [48] Esta es una estructura matemática que consiste en objetos , y para cualquier par de objetos, un conjunto de morfismos entre ellos. En la mayoría de los ejemplos, los objetos son estructuras matemáticas (como conjuntos , espacios vectoriales o espacios topológicos ) y los morfismos son funciones entre estas estructuras. [49] También se pueden considerar categorías donde los objetos son D-branas y los morfismos entre dos branas y son estados de cuerdas abiertas estiradas entre y . [50]
En el modelo B de la teoría de cuerdas topológica, las D-branas son subvariedades complejas de una variedad de Calabi-Yau junto con datos adicionales que surgen físicamente de tener cargas en los puntos finales de las cuerdas. [50] Intuitivamente, uno puede pensar en una subvariedad como una superficie incrustada dentro de la variedad de Calabi-Yau, aunque las subvariedades también pueden existir en dimensiones diferentes de dos. [25] En lenguaje matemático, la categoría que tiene estas branas como sus objetos se conoce como la categoría derivada de haces coherentes en la variedad de Calabi-Yau. [51] En el modelo A, las D-branas pueden verse nuevamente como subvariedades de una variedad de Calabi-Yau. En términos generales, son lo que los matemáticos llaman subvariedades lagrangianas especiales . [51] Esto significa, entre otras cosas, que tienen la mitad de la dimensión del espacio en el que se encuentran y que minimizan la longitud, el área o el volumen. [52] La categoría que tiene estas branas como sus objetos se llama categoría Fukaya. [51]
La categoría derivada de haces coherentes se construye utilizando herramientas de la geometría compleja , una rama de las matemáticas que describe curvas geométricas en términos algebraicos y resuelve problemas geométricos utilizando ecuaciones algebraicas . [53] Por otro lado, la categoría de Fukaya se construye utilizando la geometría simpléctica , una rama de las matemáticas que surgió de los estudios de la física clásica . La geometría simpléctica estudia los espacios equipados con una forma simpléctica , una herramienta matemática que se puede utilizar para calcular el área en ejemplos bidimensionales. [16]
La conjetura de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich establece que la categoría derivada de haces coherentes en una variedad de Calabi-Yau es equivalente en cierto sentido a la categoría de Fukaya de su espejo. [54] Esta equivalencia proporciona una formulación matemática precisa de la simetría especular en la teoría de cuerdas topológica. Además, proporciona un puente inesperado entre dos ramas de la geometría, a saber, la geometría compleja y la simpléctica. [55]
Andrew Strominger, Shing-Tung Yau y Eric Zaslow propusieron otro enfoque para comprender la simetría especular en 1996. [19] Según su conjetura, ahora conocida como conjetura SYZ, la simetría especular se puede entender dividiendo una variedad de Calabi-Yau en partes más simples y luego transformándolas para obtener la variedad especular de Calabi-Yau. [56]
El ejemplo más simple de una variedad de Calabi-Yau es un toro bidimensional o una forma de rosquilla. [57] Consideremos un círculo en esta superficie que pasa una vez por el agujero de la rosquilla. Un ejemplo es el círculo rojo de la figura. Hay infinitos círculos como este en un toro; de hecho, toda la superficie es una unión de tales círculos. [58]
Se puede elegir un círculo auxiliar (el círculo rosa en la figura) de modo que cada uno de los infinitos círculos que descomponen el toro pase por un punto de . Se dice que este círculo auxiliar parametriza los círculos de la descomposición, lo que significa que existe una correspondencia entre ellos y los puntos de . Sin embargo, el círculo es más que una simple lista, ya que también determina cómo se organizan estos círculos en el toro. Este espacio auxiliar juega un papel importante en la conjetura SYZ. [52]
La idea de dividir un toro en piezas parametrizadas por un espacio auxiliar puede generalizarse. Al aumentar la dimensión de dos a cuatro dimensiones reales, la superficie de Calabi-Yau se convierte en una superficie K3 . De la misma forma que el toro se descompuso en círculos, una superficie K3 de cuatro dimensiones puede descomponerse en toros bidimensionales. En este caso, el espacio es una esfera ordinaria . Cada punto de la esfera corresponde a uno de los toros bidimensionales, excepto veinticuatro puntos "malos" que corresponden a toros "pinzados" o singulares . [52]
Las variedades de Calabi-Yau de principal interés en la teoría de cuerdas tienen seis dimensiones. Se puede dividir una variedad de este tipo en 3-toros (objetos tridimensionales que generalizan la noción de un toro) parametrizados por una 3-esfera (una generalización tridimensional de una esfera). Cada punto de corresponde a un 3-toro, excepto por una cantidad infinita de puntos "malos" que forman un patrón de segmentos en forma de cuadrícula en la variedad de Calabi-Yau y corresponden a toros singulares. [59]
Una vez que la variedad de Calabi-Yau se ha descompuesto en partes más simples, la simetría especular se puede entender de una manera geométrica intuitiva. Como ejemplo, considere el toro descrito anteriormente. Imagine que este toro representa el "espacio-tiempo" para una teoría física . Los objetos fundamentales de esta teoría serán cuerdas que se propagan a través del espacio-tiempo de acuerdo con las reglas de la mecánica cuántica . Una de las dualidades básicas de la teoría de cuerdas es la T-dualidad, que establece que una cuerda que se propaga alrededor de un círculo de radio es equivalente a una cuerda que se propaga alrededor de un círculo de radio en el sentido de que todas las cantidades observables en una descripción se identifican con cantidades en la descripción dual. [60] Por ejemplo, una cuerda tiene momento a medida que se propaga alrededor de un círculo, y también puede enrollarse alrededor del círculo una o más veces. El número de veces que la cuerda se enrolla alrededor de un círculo se llama número de enrollamiento . Si una cuerda tiene momento y número de enrollamiento en una descripción, tendrá momento y número de enrollamiento en la descripción dual. [60] Al aplicar la dualidad T simultáneamente a todos los círculos que descomponen el toro, los radios de estos círculos se invierten y se obtiene un nuevo toro que es más “gordo” o más “delgado” que el original. Este toro es el espejo del Calabi-Yau original. [61]
La T-dualidad puede extenderse desde los círculos a los toros bidimensionales que aparecen en la descomposición de una superficie K3 o a los toros tridimensionales que aparecen en la descomposición de una variedad de Calabi-Yau de seis dimensiones. En general, la conjetura SYZ afirma que la simetría especular es equivalente a la aplicación simultánea de la T-dualidad a estos toros. En cada caso, el espacio proporciona una especie de plano que describe cómo se ensamblan estos toros en una variedad de Calabi-Yau. [62]
