Variedad Calabi-Yau

Variedad de Riemann con holonomía SU(n)

Un corte 2D de una variedad quíntica de Calabi-Yau 6D.

En geometría algebraica y diferencial , una variedad de Calabi-Yau , también conocida como espacio de Calabi-Yau , es un tipo particular de variedad que tiene propiedades, como la planitud de Ricci , que produce aplicaciones en física teórica . Particularmente en la teoría de supercuerdas , a veces se conjetura que las dimensiones adicionales del espacio-tiempo toman la forma de una variedad de Calabi-Yau de 6 dimensiones, lo que llevó a la idea de simetría especular . Su nombre fue acuñado por Candelas et al. (1985), en honor a Eugenio Calabi  (1954, 1957), quien fue el primero en conjeturar que tales superficies podrían existir, y Shing-Tung Yau  (1978), quien demostró la conjetura de Calabi .

Las variedades de Calabi-Yau son variedades complejas que son generalizaciones de superficies K3 en cualquier número de dimensiones complejas (es decir, cualquier número par de dimensiones reales ). Originalmente se definieron como variedades de Kähler compactas con una primera clase de Chern que se desvanece y una métrica plana de Ricci, aunque a veces se utilizan muchas otras definiciones similares pero no equivalentes.

Definiciones

La definición motivacional dada por Shing-Tung Yau es la de una variedad compacta de Kähler con una primera clase de Chern que desaparece, que también es plana de Ricci. ^[1]

Existen muchas otras definiciones de variedad de Calabi-Yau utilizadas por distintos autores, algunas de ellas no equivalentes. En esta sección se resumen algunas de las definiciones más comunes y las relaciones entre ellas.

Un pliegue de Calabi–Yau o variedad de Calabi–Yau de dimensión (compleja) a veces se define como una variedad de Kähler de dimensión compacta que satisface una de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• El paquete canónico de es trivial. ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$tiene una forma holomórfica que no desaparece en ninguna parte. ${\displaystyle n}$
• El grupo estructural del fibrado tangente de puede reducirse de , el grupo unitario , a , el grupo unitario especial . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle SU(n)}$
• ${\displaystyle M}$tiene una métrica de Kähler con holonomía global contenida en . ${\displaystyle SU(n)}$

Estas condiciones implican que la primera clase integral de Chern se anula. Sin embargo, lo inverso no es cierto. Los ejemplos más simples en los que esto sucede son las superficies hiperelípticas , cocientes finitos de un toro complejo de dimensión compleja 2, que tienen una primera clase integral de Chern que se anula pero un fibrado canónico no trivial. ${\displaystyle c_{1}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Para una variedad de Kähler compacta -dimensional, las siguientes condiciones son equivalentes entre sí, pero son más débiles que las condiciones anteriores, aunque a veces se utilizan como definición de una variedad de Calabi-Yau: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$La primera clase real de Chern ha desaparecido.
• ${\displaystyle M}$tiene una métrica de Kähler con curvatura de Ricci que desaparece.
• ${\displaystyle M}$tiene una métrica de Kähler con holonomía local contenida en . ${\displaystyle SU(n)}$
• Una potencia positiva del fibrado canónico de es trivial. ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$tiene una cubierta finita que tiene un fibrado canónico trivial.
• ${\displaystyle M}$tiene una cubierta finita que es producto de un toro y una variedad simplemente conexa con fibrado canónico trivial.

Si una variedad de Kähler compacta es simplemente conexa, entonces la definición débil anterior es equivalente a la definición más fuerte. Las superficies de Enriques dan ejemplos de variedades complejas que tienen métricas planas de Ricci, pero sus fibrados canónicos no son triviales, por lo que son variedades de Calabi-Yau según la segunda definición anterior, pero no según la primera. Por otro lado, sus recubrimientos dobles son variedades de Calabi-Yau para ambas definiciones (de hecho, superficies K3).

La parte más difícil de probar las equivalencias entre las diversas propiedades anteriores es probar la existencia de métricas Ricci-planas. Esto se desprende de la prueba de Yau de la conjetura de Calabi , que implica que una variedad compacta de Kähler con una primera clase real de Chern que se desvanece tiene una métrica de Kähler en la misma clase con curvatura de Ricci que se desvanece. (La clase de una métrica de Kähler es la clase de cohomología de su 2-forma asociada). Calabi demostró que una métrica de este tipo es única.

Existen muchas otras definiciones no equivalentes de variedades de Calabi-Yau que se utilizan a veces y que difieren en las siguientes formas (entre otras):

• La primera clase de Chern puede desaparecer como una clase integral o como una clase real.
• La mayoría de las definiciones afirman que las variedades de Calabi-Yau son compactas, pero algunas permiten que sean no compactas. En la generalización a variedades no compactas, la diferencia debe desaparecer asintóticamente. Aquí, está la forma de Kähler asociada con la métrica de Kähler, . ^[2] ${\displaystyle (\Omega \wedge {\bar {\Omega }}-\omega ^{n}/n!)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$
• Algunas definiciones imponen restricciones al grupo fundamental de una variedad de Calabi-Yau, como exigir que sea finito o trivial. Cualquier variedad de Calabi-Yau tiene una cobertura finita que es el producto de un toro y una variedad de Calabi-Yau simplemente conexa.
• Algunas definiciones requieren que la holonomía sea exactamente igual a en lugar de un subgrupo de ella, lo que implica que los números de Hodge se anulan para . Las superficies abelianas tienen una métrica plana de Ricci con holonomía estrictamente menor que (de hecho, trivial), por lo que no son variedades de Calabi-Yau según dichas definiciones. ${\displaystyle SU(n)}$ ${\displaystyle h^{i,0}}$ ${\displaystyle 0<i<\dim(M)}$ ${\displaystyle SU(2)}$
• La mayoría de las definiciones asumen que una variedad de Calabi-Yau tiene una métrica de Riemann, pero algunas las tratan como variedades complejas sin una métrica.
• La mayoría de las definiciones suponen que la variedad no es singular, pero algunas permiten singularidades leves. Si bien la clase Chern no está bien definida para las variedades de Calabi–Yau singulares, el fibrado canónico y la clase canónica aún pueden definirse si todas las singularidades son Gorenstein y, por lo tanto, pueden usarse para extender la definición de una variedad de Calabi–Yau suave a una variedad de Calabi–Yau posiblemente singular.

Ejemplos

El hecho fundamental es que cualquier variedad algebraica suave inserta en un espacio proyectivo es una variedad de Kähler, porque existe una métrica natural de Fubini-Study en un espacio proyectivo que se puede restringir a la variedad algebraica. Por definición, si ω es la métrica de Kähler en la variedad algebraica X y el fibrado canónico K _X es trivial, entonces X es Calabi-Yau. Además, existe una única métrica de Kähler ω en X tal que [ ω ₀ ] = [ ω ] ∈  H ² ( X , R ), un hecho que fue conjeturado por Eugenio Calabi y demostrado por Shing-Tung Yau (véase la conjetura de Calabi ).

Curvas algebraicas de Calabi-Yau

En una dimensión compleja, los únicos ejemplos compactos son los toros , que forman una familia de un parámetro. La métrica plana de Ricci en un toro es en realidad una métrica plana , de modo que la holonomía es el grupo trivial SU(1). Una variedad de Calabi-Yau unidimensional es una curva elíptica compleja y, en particular, algebraica .

Superficies algebraicas CY

En dos dimensiones complejas, las superficies K3 proporcionan las únicas variedades de Calabi-Yau compactas simplemente conexas. Estas pueden construirse como superficies cuárticas en , como la variedad algebraica compleja definida por el lugar geométrico de desaparición de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}$para ${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]\in \mathbb {P} ^{3}}$

Otros ejemplos pueden construirse como fibraciones elípticas, ^[3] como cocientes de superficies abelianas, ^[4] o como intersecciones completas .

Ejemplos no simplemente conexos son las superficies abelianas , que son cuatro toros reales equipados con una estructura de variedad compleja. Las superficies de Enriques y las superficies hiperelípticas tienen una primera clase de Chern que se desvanece como un elemento del grupo de cohomología real, pero no como un elemento del grupo de cohomología integral, por lo que el teorema de Yau sobre la existencia de una métrica plana de Ricci todavía se aplica a ellas, pero a veces no se las considera variedades de Calabi-Yau. Las superficies abelianas a veces se excluyen de la clasificación de ser variedades de Calabi-Yau, ya que su holonomía (de nuevo el grupo trivial) es un subgrupo propio de SU(2), en lugar de ser isomorfa a SU(2). Sin embargo, el subconjunto de superficies de Enriques no se ajusta completamente al subgrupo SU(2) en el panorama de la teoría de cuerdas . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{4}}$

CY se triplica

En tres dimensiones complejas, la clasificación de las posibles variedades de Calabi–Yau es un problema abierto, aunque Yau sospecha que hay un número finito de familias (aunque un número mucho mayor que su estimación de hace 20 años). A su vez, Miles Reid también ha conjeturado que el número de tipos topológicos de 3-pliegues de Calabi–Yau es infinito, y que todos ellos pueden transformarse continuamente (a través de ciertas singularizaciones suaves como los conifolds ) unos en otros, de forma muy similar a como pueden hacerlo las superficies de Riemann . ^[5] Un ejemplo de una variedad de Calabi–Yau tridimensional es una 3- pliegue quíntica no singular en CP 4 , que es la variedad algebraica que consiste en todos los ceros de un polinomio quíntico homogéneo en las coordenadas homogéneas del CP ⁴ . Otro ejemplo es un modelo suave del quíntico de Barth–Nieto . Algunos cocientes discretos de la ecuación de quinto grado por diversas acciones Z ₅ también son de Calabi-Yau y han recibido mucha atención en la literatura. Uno de ellos está relacionado con la ecuación de quinto grado original por simetría especular .

Para cada entero positivo n , el conjunto cero , en las coordenadas homogéneas del espacio proyectivo complejo CP ^{n + 1} , de un  polinomio homogéneo no singular de grado n + 2 en n  + 2 variables es un n -fold compacto de Calabi–Yau. El caso n  = 1 describe una curva elíptica, mientras que para n  = 2 se obtiene una superficie K3.

En términos más generales, las variedades/orbifolds de Calabi-Yau se pueden encontrar como intersecciones completas ponderadas en un espacio proyectivo ponderado . La herramienta principal para encontrar dichos espacios es la fórmula de adjunción .

Todas las variedades hiper-Kähler son variedades de Calabi-Yau.

Construido a partir de curvas algebraicas

Para una curva algebraica se puede construir una tripleta de Calabi-Yau cuasi-proyectiva ^[6] como el espacio total donde . Para la proyección canónica podemos encontrar el fibrado tangente relativo usando la secuencia tangente relativa ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V={\text{Tot}}({\mathcal {L}}_{1}\oplus {\mathcal {L}}_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}\otimes {\mathcal {L}}_{2}\cong \omega _{C}}$ ${\displaystyle p:V\to C}$ ${\displaystyle T_{V/C}}$ ${\displaystyle p^{*}({\mathcal {L}}_{1}\oplus {\mathcal {L}}_{2})}$

${\displaystyle 0\to T_{V/C}\to T_{V}\to p^{*}T_{C}\to 0}$

y observando los únicos vectores tangentes en la fibra que no están en la preimagen de están asociados canónicamente con las fibras del fibrado vectorial. Utilizando esto, podemos utilizar la secuencia cotangente relativa ${\displaystyle p^{*}T_{C}}$

${\displaystyle 0\to p^{*}\Omega _{C}\to \Omega _{V}\to \Omega _{V/C}\to 0}$

junto con las propiedades de las potencias de cuña que

${\displaystyle \omega _{V}=\bigwedge ^{3}\Omega _{V}\cong f^{*}\omega _{C}\otimes \bigwedge ^{2}\Omega _{V/C}}$

y dando la trivialidad de . ${\displaystyle \Omega _{V/C}\cong {\mathcal {L}}_{1}^{*}\oplus {\mathcal {L}}_{2}^{*}}$ ${\displaystyle \omega _{V}}$

Construido a partir de superficies algebraicas

Utilizando un argumento similar al de las curvas, el espacio total del haz canónico de una superficie algebraica forma una tripleta de Calabi-Yau. Un ejemplo sencillo es el espacio proyectivo. ${\displaystyle {\text{Tot}}(\omega _{S})}$ ${\displaystyle \omega _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Tot}}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(-3))}$

Aplicaciones en la teoría de supercuerdas

Las variedades de Calabi-Yau son importantes en la teoría de supercuerdas . Esencialmente, las variedades de Calabi-Yau son formas que satisfacen el requisito de espacio para las seis dimensiones espaciales "invisibles" de la teoría de cuerdas, que pueden ser más pequeñas que nuestras longitudes observables actualmente, ya que aún no han sido detectadas. Una alternativa popular conocida como grandes dimensiones adicionales , que a menudo ocurre en los modelos de branaworld , es que la variedad de Calabi-Yau es grande pero estamos confinados a un pequeño subconjunto en el que intersecta una D-brana . Actualmente se están explorando extensiones adicionales a dimensiones superiores con ramificaciones adicionales para la relatividad general .

En los modelos de supercuerdas más convencionales, se supone que diez dimensiones conjeturales en la teoría de cuerdas vienen como cuatro de las cuales conocemos, que conllevan algún tipo de fibración con dimensión de fibra seis. La compactificación en los n -pliegues de Calabi–Yau es importante porque deja parte de la supersimetría original intacta. Más precisamente, en ausencia de flujos , la compactificación en un 3-pliegue de Calabi–Yau (dimensión real 6) deja una cuarta parte de la supersimetría original intacta si la holonomía es la SU(3) completa.

En términos más generales, una compactificación sin flujo en una variedad n con holonomía SU( n ) deja 2 ^{1− n} de la supersimetría original sin romper, lo que corresponde a 2 ^{6− n} supercargas en una compactificación de supergravedad de tipo IIA o 2 ^{5− n} supercargas en una compactificación de tipo I. Cuando se incluyen flujos, la condición de supersimetría implica en cambio que la variedad de compactificación sea una Calabi–Yau generalizada, una noción introducida por Hitchin (2003). Estos modelos se conocen como compactificaciones de flujo .

Las compactificaciones de la teoría F en varios cuádruples de Calabi-Yau proporcionan a los físicos un método para encontrar una gran cantidad de soluciones clásicas en el llamado panorama de la teoría de cuerdas .

Conectado con cada agujero en el espacio de Calabi-Yau hay un grupo de patrones vibracionales de cuerdas de baja energía. Dado que la teoría de cuerdas establece que nuestras partículas elementales familiares corresponden a vibraciones de cuerdas de baja energía, la presencia de múltiples agujeros hace que los patrones de cuerdas se dividan en múltiples grupos o familias . Aunque la siguiente afirmación se ha simplificado, transmite la lógica del argumento: si el espacio de Calabi-Yau tiene tres agujeros, entonces se observarán experimentalmente tres familias de patrones vibracionales y, por lo tanto, tres familias de partículas.

Lógicamente, como las cuerdas vibran en todas las dimensiones, la forma de las cuerdas enrolladas afectará a sus vibraciones y, por lo tanto, a las propiedades de las partículas elementales observadas. Por ejemplo, Andrew Strominger y Edward Witten han demostrado que las masas de las partículas dependen de la forma en que se intersecan los distintos agujeros en un espacio de Calabi-Yau. En otras palabras, Strominger y Witten descubrieron que las posiciones de los agujeros entre sí y con respecto a la sustancia del espacio de Calabi-Yau afectan a las masas de las partículas de una determinada manera. Esto es cierto para todas las propiedades de las partículas. ^[7]

Álgebra de Calabi-Yau

Victor Ginzburg introdujo un álgebra de Calabi-Yau para trasladar la geometría de una variedad de Calabi-Yau a una geometría algebraica no conmutativa . ^{[8] [9]}

Véase también

• Quintic triple
• Colector G2

En la cultura pop

• La variedad Calabi-Yau fue el tema de un artículo coescrito con Sheldon Cooper en el episodio 2 de la séptima temporada de Young Sheldon .
• Se utilizaron imágenes basadas en las variedades Calabi-Yau en el episodio 5 de la serie de televisión 3 Body Problem para ilustrar las habilidades de alta dimensión de la civilización alienígena San-Ti.
• En Half-Life 2 , el Dr. Mossman describe que los teletransportadores funcionan a través de una tecnología "basada en cuerdas" que utiliza "el modelo Calabi-Yau".

Referencias

1. Yau y Nadis (2010).
2. Tian y Yau (1991).
3. Propp, Oron Y. (22 de mayo de 2019). "Construcción de espectros K3 explícitos". pág. 4. arXiv : 1810.08953 [math.AT].
4. Szymik, Markus (12 de febrero de 2020). "Espectros K3". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 42 : 137–148. arXiv : 2002.04879 . doi :10.1112/blms/bdp106. S2CID  1070427.
5. Reid, Miles (1987). "El espacio de módulos de 3 pliegues con K  = 0 puede, no obstante, ser irreducible". Mathematische Annalen . 278 (1–4): 329–334. doi :10.1007/bf01458074. S2CID  120390363.
6. Szendroi, Balazs (27 de abril de 2016). "Teoría cohomológica de Donaldson-Thomas". arXiv : 1503.07349 [matemáticas.AG].
7. "La forma de las dimensiones enroscadas". Archivado desde el original el 13 de septiembre de 2006.
8. Ginzburg, Víctor (2007). "Álgebras de Calabi-Yau". arXiv : matemáticas/0612139 .
9. Schedler, Travis (2019). "Deformaciones de álgebras en geometría no conmutativa". arXiv : 1212.0914 [math.RA].

• Calabi, Eugenio (1954), "El espacio de las métricas de Kähler", Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam , vol. 2, pp. 206–207, archivado desde el original el 17 de julio de 2011
• Calabi, Eugenio (1957), "Sobre las variedades de Kähler con clase canónica evanescente", en Fox, Ralph H. ; Spencer, Donald C. ; Tucker, Albert W. (eds.), Geometría algebraica y topología. Un simposio en honor a S. Lefschetz, Princeton Mathematical Series, vol. 12, Princeton University Press , pp. 78–89, ISBN 9780691079073, Sr.  0085583
• Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward (1985), "Configuraciones de vacío para supercuerdas", Nuclear Physics B , 258 : 46–74, Bibcode :1985NuPhB.258...46C, doi :10.1016/0550-3213(85)90602-9, archivado desde el original el 20 de diciembre de 2012
• Hitchin, Nigel (2003), "Variedades de Calabi-Yau generalizadas", The Quarterly Journal of Mathematics , 54 (3): 281–308, arXiv : math.DG/0209099 , CiteSeerX  10.1.1.237.8935 , doi :10.1093/qmath/hag025, MR  2013140
• Tian, ​​Gang; Yau, Shing-Tung (1991), "Variedades de Kähler completas con curvatura de Ricci cero, II", Invent. Math. , 106 (1): 27–60, Bibcode :1991InMat.106...27T, doi :10.1007/BF01243902, S2CID  122638262
• Yau, Shing Tung (1978), "Sobre la curvatura de Ricci de una variedad compacta de Kähler y la ecuación compleja de Monge-Ampère. I", Communications on Pure and Applied Mathematics , 31 (3): 339–411, doi :10.1002/cpa.3160310304, MR  0480350
• Yau, Shing-Tung (2009a), "Un estudio de las variedades de Calabi-Yau", Geometría, análisis y geometría algebraica: cuarenta años del Journal of Differential Geometry , Surveys in Differential Geometry, vol. 13, Somerville, Massachusetts: Int. Press, págs. 277–318, doi : 10.4310/SDG.2008.v13.n1.a9 , MR  2537089
• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010), La forma del espacio interior , Basic Books, ISBN 978-0-465-02023-2

Lectura adicional

• Besse, Arthur L. (1987), Variedades de Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 10, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15279-8, OCLC  13793300
• Bini; Iacono (2016), Clases de difeomorfismo de variedades de Calabi–Yau (PDF) , arXiv : 1612.04311 , Bibcode :2016arXiv161204311B
• Chan, Yat-Ming (2004), Desingularizaciones de 3 pliegues de Calabi-Yau con una singularidad cónica , arXiv : math/0410260 , Bibcode :2004math.....10260C
• Greene, Brian (1997), Teoría de cuerdas en variedades de Calabi-Yau , Campos, cuerdas y dualidad (Boulder, CO, 1996), River Edge, NJ: World Sci. Publ., págs. 543–726, arXiv : hep-th/9702155v1 , Bibcode :1997hep.th....2155G, MR  1479700
• Gross, M.; Huybrechts, D.; Joyce, Dominic (2003), Variedades de Calabi–Yau y geometrías relacionadas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-19004-9 , ISBN 978-3-540-44059-8, MR  1963559, OCLC  50695398
• He, Yang-Hu (2021), El paisaje de Calabi-Yau: de la geometría a la física y al aprendizaje automático , Suiza: Springer International Publishing, ISBN 978-3-030-77562-9
• Hübsch, Tristan (1994), Variedades de Calabi-Yau: un bestiario para físicos, Singapur, Nueva York: World Scientific , ISBN 978-981-02-1927-7, OCLC  34989218, archivado desde el original el 13 de enero de 2010 , consultado el 4 de febrero de 2009
• Joyce, Dominic (2000), Variedades compactas con holonomía especial , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850601-0, OCLC  43864470
• Tian, ​​Gang; Yau, Shing-Tung (1990), "Variedades de Kähler completas con curvatura de Ricci cero, I", J. Amer. Math. Soc. , 3 (3): 579–609, doi :10.2307/1990928, JSTOR  1990928
• Yau, ST (2009b), "Variedad Calabi-Yau", Scholarpedia , 4 (8): 6524, Bibcode :2009SchpJ...4.6524Y, doi : 10.4249/scholarpedia.6524(similar a (Yau 2009a))

Enlaces externos

• La página de inicio de Calabi–Yau es una referencia interactiva que describe muchos ejemplos y clases de variedades de Calabi–Yau y también las teorías físicas en las que aparecen.
• Vídeo girando Calabi – Yau Space.
• Espacio Calabi-Yau por Andrew J. Hanson con contribuciones adicionales de Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. "Espacio de Calabi-Yau". MathWorld .

Artículos para principiantes

• Una descripción general de las fibraciones elípticas de Calabi-Yau
• Conferencias sobre el paisaje de Calabi-Yau
• Fibraciones en los tríos CICY ( intersección completa Calabi-Yau)