Paquete vectorial estable

En matemáticas , un fibrado vectorial estable es un fibrado vectorial ( holomorfo o algebraico ) que es estable en el sentido de la teoría de invariantes geométricos . Cualquier fibrado vectorial holomorfo puede construirse a partir de fibrados estables utilizando la filtración de Harder-Narasimhan . Los fibrados estables fueron definidos por David Mumford en Mumford (1963) y luego desarrollados por David Gieseker , Fedor Bogomolov , Thomas Bridgeland y muchos otros.

Motivación

Una de las motivaciones para analizar los fibrados vectoriales estables es su comportamiento agradable en familias. De hecho, los espacios de módulos de fibrados vectoriales estables se pueden construir utilizando el esquema Quot en muchos casos, mientras que la pila de fibrados vectoriales es una pila Artin cuyo conjunto subyacente es un único punto. ${\displaystyle \mathbf {B} GL_{n}}$

He aquí un ejemplo de una familia de fibrados vectoriales que degeneran mal. Si tensificamos la sucesión de Euler de por hay una sucesión exacta ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0}$^[1]

que representa un elemento distinto de cero ^[2] ya que la secuencia exacta trivial que representa el vector es ${\displaystyle v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(1)\to {\mathcal {O}}(1)\to 0}$

Si consideramos la familia de fibrados vectoriales en la extensión de para , hay secuencias exactas cortas ${\displaystyle E_{t}}$ ${\displaystyle t\cdot v}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to E_{t}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0}$

que tienen clases de Chern genéricamente, pero tienen en el origen. Este tipo de salto de invariantes numéricos no ocurre en espacios de módulos de fibrados vectoriales estables. ^[3] ${\displaystyle c_{1}=0,c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{1}=0,c_{2}=-1}$

Fibras vectoriales estables sobre curvas

La pendiente de un fibrado vectorial holomorfo W sobre una curva algebraica no singular (o sobre una superficie de Riemann ) es un número racional μ(W) = deg( W )/rank( W ). Un fibrado W es estable si y solo si

${\displaystyle \mu (V)<\mu (W)}$

para todos los subfibrados propios distintos de cero V de W y es semiestable si

${\displaystyle \mu (V)\leq \mu (W)}$

para todos los subconjuntos propios distintos de cero V de W. Informalmente, esto dice que un conjunto es estable si es "más amplio " que cualquier subconjunto propio, y es inestable si contiene un subconjunto "más amplio".

Si W y V son fibrados vectoriales semiestables y μ(W) > μ(V) , entonces no hay mapas distintos de cero W → V .

Mumford demostró que el espacio de módulos de fibrados estables de rango y grado dados sobre una curva no singular es una variedad algebraica cuasiproyectiva . La cohomología del espacio de módulos de fibrados vectoriales estables sobre una curva fue descrita por Harder y Narasimhan (1975) utilizando geometría algebraica sobre cuerpos finitos y por Atiyah y Bott (1983) utilizando el enfoque de Narasimhan-Seshadri .

Fibras vectoriales estables en dimensiones superiores

Si X es una variedad proyectiva suave de dimensión m y H es una sección hiperplanar , entonces un fibrado vectorial (o un haz libre de torsión ) W se llama estable (o a veces estable de Gieseker ) si

${\displaystyle {\frac {\chi (V(nH))}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\chi (W(nH))}{{\hbox{rank}}(W)}}{\text{ for }}n{\text{ large}}}$

para todos los subfibrados (o subhaces) propios distintos de cero V de W , donde χ denota la característica de Euler de un fibrado vectorial algebraico y el fibrado vectorial V(nH) significa el n -ésimo giro de V por H . W se llama semiestable si lo anterior se cumple con < reemplazado por ≤.

Estabilidad de taludes

Para los fibrados en curvas, la estabilidad definida por las pendientes y por el crecimiento del polinomio de Hilbert coinciden. En dimensiones superiores, estas dos nociones son diferentes y tienen diferentes ventajas. La estabilidad de Gieseker tiene una interpretación en términos de la teoría de invariantes geométricos , mientras que la μ-estabilidad tiene mejores propiedades para productos tensoriales , pullbacks , etc.

Sea X una variedad proyectiva suave de dimensión n , H su sección hiperplanar . Una pendiente de un fibrado vectorial (o, más generalmente, un haz coherente libre de torsión ) E con respecto a H es un número racional definido como

${\displaystyle \mu (E):={\frac {c_{1}(E)\cdot H^{n-1}}{\operatorname {rk} (E)}}}$

donde c ₁ es la primera clase de Chern . La dependencia de H suele omitirse de la notación.

Un haz coherente libre de torsión E es μ-semistable si para cualquier subhaz distinto de cero F ⊆ E las pendientes satisfacen la desigualdad μ(F) ≤ μ(E). Es μ-estable si, además, para cualquier subhaz distinto de cero F ⊆ E de rango menor se cumple la desigualdad estricta μ(F) < μ(E). Esta noción de estabilidad puede denominarse estabilidad de pendientes, μ-estabilidad, ocasionalmente estabilidad de Mumford o estabilidad de Takemoto.

Para un fibrado vectorial E se cumple la siguiente cadena de implicaciones: E es μ-estable ⇒ E es estable ⇒ E es semiestable ⇒ E es μ-semistable.

Filtración Harder-Narasimhan

Sea E un fibrado vectorial sobre una curva proyectiva suave X . Entonces existe una filtración única por subfibrados

${\displaystyle 0=E_{0}\subset E_{1}\subset \ldots \subset E_{r+1}=E}$

de modo que los componentes graduados asociados F _i  := E _{i +1} / E _i son fibrados vectoriales semiestables y las pendientes disminuyen, μ( F _i ) > μ( F _{i +1} ). Esta filtración fue introducida en Harder & Narasimhan (1975) y se denomina filtración de Harder-Narasimhan . Dos fibrados vectoriales con componentes graduados asociados isomorfos se denominan S-equivalentes .

En las variedades de dimensiones superiores, la filtración también existe siempre y es única, pero los componentes graduados asociados pueden dejar de ser paquetes. Para la estabilidad de Gieseker, las desigualdades entre pendientes deben reemplazarse por desigualdades entre polinomios de Hilbert.

Correspondencia Kobayashi-Hitchin

El teorema de Narasimhan-Seshadri dice que los fibrados estables en una curva proyectiva no singular son los mismos que aquellos que tienen conexiones unitarias irreducibles proyectivamente planas . Para fibrados de grado 0, las conexiones proyectivamente planas son planas y, por lo tanto, los fibrados estables de grado 0 corresponden a representaciones unitarias irreducibles del grupo fundamental .

Kobayashi y Hitchin conjeturaron un análogo de esto en dimensiones superiores. Donaldson (1985) lo demostró para superficies proyectivas no singulares y demostró que en este caso un fibrado vectorial es estable si y solo si tiene una conexión hermítica-einsteiniana irreducible .

Generalizaciones

Es posible generalizar la (μ-)estabilidad a esquemas proyectivos no suaves y haces coherentes más generales utilizando el polinomio de Hilbert . Sea X un esquema proyectivo , d un número natural, E un haz coherente en X con dim Supp( E ) = d . Escriba el polinomio de Hilbert de E como P _E ( m ) = Σ^di _=
0α _i ( E )/( i !) m ⁱ . Defina el polinomio de Hilbert reducido p _E  := P _E /α _d ( E ).

Un haz coherente E es semiestable si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^[4]

• E es puro de dimensión d , es decir, todos los primos asociados de E tienen dimensión d ;
• para cualquier subhaz propio distinto de cero F ⊆ E los polinomios de Hilbert reducidos satisfacen p _F ( m ) ≤ p _E ( m ) para m grande .

Un haz se llama estable si la desigualdad estricta p _F ( m ) < p _E ( m ) se cumple para m grande .

Sea Coh _d (X) la subcategoría completa de haces coherentes en X con soporte de dimensión ≤ d . La pendiente de un objeto F en Coh _d puede definirse utilizando los coeficientes del polinomio de Hilbert como si α _d ( F ) ≠ 0 y 0 en caso contrario. La dependencia de en d suele omitirse de la notación. ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}(F)=\alpha _{d-1}(F)/\alpha _{d}(F)}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}}$

Un haz coherente E se denomina μ-semistable si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^[5] ${\displaystyle \operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d}$

• la torsión de E tiene dimensión ≤ d -2;
• para cualquier subobjeto distinto de cero F ⊆ E en la categoría cociente Coh _d (X)/Coh _d-1 (X) tenemos . ${\displaystyle {\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)}$

E es μ-estable si la desigualdad estricta se cumple para todos los subobjetos propios distintos de cero de E.

Nótese que Coh _d es una subcategoría de Serre para cualquier d , por lo que la categoría cociente existe. Un subobjeto en la categoría cociente en general no proviene de una subhaz, pero para las haces libres de torsión la definición original y la general para d = n son equivalentes.

Existen también otras direcciones para generalizaciones, por ejemplo las condiciones de estabilidad de Bridgeland .

Se pueden definir fibrados principales estables en analogía con fibrados vectoriales estables.

Véase también

• Correspondencia Kobayashi-Hitchin
• Correspondencia Corlette-Simpson
• Sistema de cuotas

Referencias

1. Nota de la fórmula de adjunción en el haz canónico. ${\displaystyle \Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)}$
2. Dado que existen isomorfismos ${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}}$
3. Faltings, Gerd. "Fibrados vectoriales sobre curvas" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 4 de marzo de 2020.
4. Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (1997). La geometría de los espacios de módulos de haces (PDF) ., Definición 1.2.4
5. Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (1997). La geometría de los espacios de módulos de haces (PDF) ., Definición 1.6.9

• Atiyah, Michael Francis ; Bott, Raoul (1983), "Las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences , 308 (1505): 523–615, doi :10.1098/rsta.1983.0017, ISSN  0080-4614, JSTOR  37156, MR  0702806
• Donaldson, SK (1985), "Conexiones de Yang-Mills anti-autoduales sobre superficies algebraicas complejas y fibrados vectoriales estables", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 50 (1): 1–26, doi :10.1112/plms/s3-50.1.1, ISSN  0024-6115, MR  0765366
• Friedman, Robert (1998), Superficies algebraicas y fibrados vectoriales holomórficos , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98361-5, Sr.  1600388
• Harder, G.; Narasimhan, MS (1975), "Sobre los grupos de cohomología de los espacios de módulos de los fibrados vectoriales en curvas", Mathematische Annalen , 212 (3): 215–248, doi :10.1007/BF01357141, ISSN  0025-5831, MR  0364254
• Huybrechts, Daniel ; Lehn, Manfred (2010), La geometría de los espacios de módulos de haces , Cambridge Mathematical Library (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0521134200
• Mumford, David (1963), "Invariantes proyectivos de estructuras proyectivas y aplicaciones", Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Estocolmo, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, págs. 526–530, MR  0175899
• Mumford, David ; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Teoría invariante geométrica , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)], vol. 34 (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56963-3, Sr.  1304906especialmente el apéndice 5C.
• Narasimhan, MS; Seshadri, CS (1965), "Fibrados vectoriales unitarios y estables en una superficie compacta de Riemann", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 82 (3), Anales de Matemáticas, Vol. 82, Núm. 3: 540–567, doi :10.2307/1970710, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970710, MR  0184252