Bucle de Polyakov

Bucle térmico Wilson

En la teoría cuántica de campos , el bucle de Polyakov es el análogo térmico del bucle de Wilson y actúa como parámetro de orden para el confinamiento en teorías de calibre puras a temperaturas distintas de cero . En particular, es un bucle de Wilson que gira alrededor de la dirección temporal euclidiana compactada de una teoría de campos cuánticos térmicos . Indica confinamiento porque su valor esperado de vacío debe desaparecer en la fase confinada debido a su no invariancia bajo las transformaciones del calibre central. Esto también se desprende del hecho de que el valor esperado está relacionado con la energía libre de los quarks individuales , que diverge en esta fase. Introducidos por Alexander M. Polyakov en 1975, ^[1] también pueden usarse para estudiar el potencial entre pares de quarks a temperaturas distintas de cero.

Definición

La teoría del campo cuántico térmico se formula en el espacio-tiempo euclidiano con una dirección temporal imaginaria compactada de longitud . Esta longitud corresponde a la temperatura inversa del campo . La compactación conduce a una clase especial de bucles de Wilson topológicamente no triviales que giran alrededor de la dirección compacta conocida como bucles de Polyakov. ^[2] En teoría, un bucle recto de Polyakov en una coordenada espacial viene dado por ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \propto 1/T}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}\ {\mathcal {P}}\exp {\bigg [}\int _{0}^{\beta }dx_{4}A_{4}({\boldsymbol {x}},x_{f}){\bigg ]},}$

donde es el operador que ordena la ruta y es el componente temporal euclidiano del campo de calibre. En la teoría de campos reticulares, este operador se reformula en términos de campos de enlace temporal en una posición espacial como ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle U_{4}({\boldsymbol {m}},j)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$

${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {m}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}{\bigg [}\prod _{j=0}^{N_{T}-1}U_{4}({\boldsymbol {m}},j){\bigg ]}.}$

El límite continuo de la red debe tomarse con cuidado para garantizar que la dirección compacta tenga una extensión fija. Esto se hace asegurando que el número finito de puntos temporales de la red sea tal que sea constante a medida que el espaciado de la red llega a cero. ${\displaystyle N_{T}}$ ${\displaystyle \beta =N_{T}a}$ ${\displaystyle a}$

Parámetro de orden

Gráfico de dispersión del valor esperado de la línea Polyakov en una simulación de una teoría de calibre alrededor de la transición de fase de confinamiento. El círculo rojo denota la fase de confinamiento, mientras que los círculos azul y verde denotan los valores esperados distintos de cero en la fase de desconfinamiento. Hay tres grupos en la fase desconfinada debido al centro del grupo del grupo de calibre. ^[4] ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$

Los campos de calibre deben satisfacer la condición de periodicidad en la dirección compactada. Mientras tanto, las transformaciones de calibre solo necesitan satisfacer esto hasta un término central de grupo como . Un cambio de base siempre puede diagonalizar esto para que sea un número complejo . El bucle de Polyakov no es topológicamente trivial en la dirección temporal, por lo que, a diferencia de otros bucles de Wilson, se transforma como en estas transformaciones. ^[5] Dado que esto hace que el calibre del bucle sea dependiente de , según el teorema de Elitzur, los valores esperados distintos de cero de implican que el grupo central debe romperse espontáneamente , lo que implica confinamiento en la teoría de calibre pura. Esto convierte al bucle de Polyakov en un parámetro de orden para el confinamiento en la teoría térmica pura del calibre, con una fase de confinamiento que ocurre cuando y una fase de desconfinamiento cuando . ^[6] Por ejemplo, los cálculos reticulares de la cromodinámica cuántica con quarks infinitamente pesados ​​que se desacoplan de la teoría muestran que la transición de fase de desconfinamiento se produce alrededor de una temperatura de MeV. ^[7] Mientras tanto, en una teoría de calibre con quarks, estos rompen el grupo central y, por lo tanto, el confinamiento debe deducirse del espectro de estados asintóticos, los hadrones de color neutro . ${\displaystyle A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4})}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=h\Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4})}$ ${\displaystyle h=zI}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow z\Phi ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle z\neq 1}$ ${\displaystyle \langle \Phi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \Phi \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \Phi \rangle \neq 0}$ ${\displaystyle 270}$

Para las teorías de calibre que carecen de un centro de grupo no trivial que podría romperse en la fase de confinamiento, los valores esperados del bucle de Polyakov son distintos de cero incluso en esta fase. Sin embargo, siguen siendo un buen indicador de confinamiento, ya que generalmente experimentan un salto brusco en la transición de fase . Este es el caso, por ejemplo, del modelo Higgs con el grupo de calibre excepcional . ^[8] ${\displaystyle G_{2}}$

El modelo Nambu-Jona-Lasinio carece de simetría de color local y, por tanto, no puede capturar los efectos del confinamiento. Sin embargo, los bucles de Polyakov se pueden utilizar para construir el modelo Nambu-Jona-Lasinio extendido con bucles de Polyakov, que trata tanto el condensado quiral como los bucles de Polyakov como campos homogéneos clásicos que se acoplan a quarks de acuerdo con las simetrías y los patrones de ruptura de simetría de la cromodinámica cuántica. . ^{[9] [10] [11]}

energía libre de quarks

La energía libre de quarks y antiquarks , restando la energía del vacío , está dada en términos de las funciones de correlación de los bucles de Polyakov ^[12] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\bar {N}}}$

${\displaystyle e^{-\beta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\dots \Phi ({\boldsymbol {x}}_{N_{q}})\Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}'_{1})\cdots \Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}_{\bar {N}}')\rangle .}$

Esta energía libre es otra forma de ver que el bucle de Polyakov actúa como un parámetro de orden para el confinamiento, ya que la energía libre de un solo quark viene dada por . ^[13] El confinamiento de los quarks significa que se necesitaría una cantidad infinita de energía para crear una configuración con un solo quark libre, por lo tanto su energía libre debe ser infinita y por lo tanto el valor esperado del bucle de Polyakov debe desaparecer en esta fase, de acuerdo con el argumento de ruptura de simetría central. ${\displaystyle e^{-\beta \Delta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rangle }$

La fórmula de la energía libre también se puede utilizar para calcular el potencial entre un par de quarks infinitamente masivos separados espacialmente por . Aquí el potencial es el primer término de la energía libre, de modo que la función de correlación de dos bucles de Polyakov es ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|}$ ${\displaystyle V(r)}$

${\displaystyle \langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\Phi ({\boldsymbol {x}}_{2})\rangle \propto e^{-\beta V(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-\beta \Delta E(r)})),}$

¿Dónde está la diferencia de energía entre el potencial y el primer estado excitado ? En la fase de confinamiento el potencial es lineal , donde la constante de proporcionalidad se conoce como tensión de la cuerda. La tensión de la cuerda adquirida del bucle de Polyakov siempre está limitada desde arriba por la tensión de la cuerda adquirida del bucle de Wilson. ^[14] ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle V(r)=\sigma r}$

Ver también

• Plasma de quarks-gluones
• 't bucle del casco

Referencias

1. Poliakov, AM (1978). "Campos de ancho compacto y la catástrofe del infrarrojo". Letras de Física B. 59 (1): 82–84. doi :10.1016/0370-2693(75)90162-8.
2. Wipf, A. [en alemán] (2021). "16". Enfoque estadístico de la teoría cuántica de campos (2 ed.). Saltador. págs. 456–459. ISBN 978-3642331046.
3. Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "3". Cromodinámica cuántica en la red: una presentación introductoria . Apuntes de conferencias de física 788. Springer. págs. 57–58. doi :10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3642018497.
4. Kovacs, TG (2021). "Localización en la transición de fase SU (3) apagada". Punto de venta . LATTICE2021: 238. arXiv : 2112.05454 . doi : 10.22323/1.396.0238 . S2CID  245117767.
5. Bellwied, R.; Ratti, C. (2021). "2". La transición de desconfinamiento de QCD . Saltador. págs. 25–32. ISBN 978-3030672348.
6. Sitio verde, J. (2020). "4". Una introducción al problema del confinamiento (2 ed.). Saltador. págs. 42–43. ISBN 978-3030515621.
7. Kogut, J .; Stephanov, M. (2003). "7". Las fases de la cromodinámica cuántica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 178.ISBN​ 978-0521804509.
8. Holanda, K.; et al. (2003). "Confinamiento excepcional en la teoría del calibre G (2)". Núcleo. Física. B . 668 (1–2): 207–236. arXiv : hep-lat/0302023 . Código Bib : 2003NuPhB.668..207H. doi :10.1016/S0550-3213(03)00571-6. S2CID  119554796.
9. Friman, B.; et al. (2011). "4". El libro de física de CBM: materia bariónica comprimida en experimentos de laboratorio . Saltador. pag. 239.ISBN​ 978-3642132926.
10. Ratti, C.; Thaler, MA; Weise, W. [en alemán] (2006). "Fases de QCD: termodinámica reticular y un modelo teórico de campo". Física. Rev. D. 73 (1): 014019. arXiv : hep-ph/0506234 . Código bibliográfico : 2006PhRvD..73a4019R. doi : 10.1103/PhysRevD.73.014019. S2CID  15677961.
11. Roessner, S.; Ratti, C.; Weise, W. [en alemán] (2007). "Bucle de Polyakov, diquarks y el diagrama de fases de dos sabores". Física. Rev. D. 75 (3): 034007. arXiv : hep-ph/0609281 . Código bibliográfico : 2007PhRvD..75c4007R. doi : 10.1103/PhysRevD.75.034007. S2CID  14960863.
12. McLarren, LD; Svetitsky, B. (1981). "Liberación de quarks a alta temperatura: un estudio de Monte Carlo de la teoría del calibre SU (2)". Física. Rev. D. 24 (2): 450–460. Código bibliográfico : 1981PhRvD..24..450M. doi : 10.1103/PhysRevD.24.450.
13. Makeenko, Y. (2002). "9". Métodos de la teoría del calibre contemporánea. Monografías de Cambridge sobre física matemática. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 168-169. doi :10.1017/CBO9780511535147. ISBN 978-0521809115.
14. Borgs, C.; Seiler, E. (1983). "Teoría del entramado de Yang-Mills a temperatura distinta de cero y el problema del confinamiento". Comunicaciones en Física Matemática . 91 (3): 329–380. Código bibliográfico : 1983CMaPh..91..329B. doi :10.1007/BF01208780. S2CID  121126988.