Álgebra de Lie excepcional

Álgebra de Lie compleja y simple

En matemáticas, un álgebra de Lie excepcional es un álgebra de Lie simple compleja cuyo diagrama de Dynkin es de tipo excepcional (no clásico). ^[1] Hay exactamente cinco de ellas: ; sus dimensiones respectivas son 14, 52, 78, 133, 248. ^[2] Los diagramas correspondientes son: ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2},{\mathfrak {f}}_{4},{\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {e}}_{7},{\mathfrak {e}}_{8}}$

• G2  :​
• F4  :​
• E6  :​
• E7  :​
• E8  :​

Por el contrario, las álgebras de Lie simples que no son excepcionales se denominan álgebras de Lie clásicas (hay infinitas de ellas).

Construcción

No existe una manera sencilla y universalmente aceptada de construir álgebras de Lie excepcionales; de hecho, se descubrieron recién en el proceso del programa de clasificación. A continuación se presentan algunas construcciones:

• § 22.1-2 de (Fulton & Harris 1991) da una construcción detallada de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$
• Las álgebras de Lie excepcionales pueden realizarse como álgebras de derivación de álgebras no asociativas apropiadas.
• Construya primero y luego encuentre como subálgebras. ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {e}}_{7}}$
• Tits ha proporcionado una construcción uniforme de las cinco álgebras de Lie excepcionales. ^[4]

Referencias

1. Fulton y Harris 1991, Teorema 9.26.
2. Knapp 2002, Apéndice C, § 2.
3. Fulton y Harris 1991, § 21.2.
4. Tetas, Jacques (1966). "Algèbres Alternatives, Algèbres de Jordan et algèbres de LieExceptionnelles. I. Construcción" (PDF) . Indag. Matemáticas . 28 : 223–237. doi :10.1016/S1385-7258(66)50028-2 . Consultado el 9 de agosto de 2023 .

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Jacobson, N. (2017) [1971]. Álgebras de Lie excepcionales. CRC Press. ISBN 978-1-351-44938-0.
• Knapp, Anthony W. (21 de agosto de 2002). Grupos de Lie: más allá de una introducción. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4259-4.

Lectura adicional

• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Lie_algebra,_exceptional
• http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node13.html