En matemáticas , un funcional es un determinado tipo de función . La definición exacta del término varía según el subcampo (y a veces incluso el autor).
En análisis funcional y campos relacionados, se refiere a un mapeo de un espacio al campo de números reales o complejos . [2] [3] En análisis funcional, el término funcional lineal es sinónimo de forma lineal ; [3] [4] [5] es decir, es un mapa lineal con valores escalares. Dependiendo del autor, se puede asumir o no que dichas asignaciones son lineales o que están definidas en todo el espacio [ cita necesaria ]
Este artículo se ocupa principalmente del segundo concepto, que surgió a principios del siglo XVIII como parte del cálculo de variaciones . El primer concepto, más moderno y abstracto, se analiza en detalle en un artículo aparte, bajo el nombre de forma lineal . El tercer concepto se detalla en el artículo de informática sobre funciones de orden superior .
En el caso de que el espacio sea un espacio de funciones, lo funcional es una "función de una función", [6] y algunos autores más antiguos definen el término "funcional" en el sentido de "función de una función". Sin embargo, el hecho de que sea un espacio de funciones no es matemáticamente esencial, por lo que esta definición anterior ya no prevalece. [ cita necesaria ]
El término tiene su origen en el cálculo de variaciones , donde se busca una función que minimice (o maximice) un funcional determinado. Una aplicación particularmente importante en física es la búsqueda de un estado de un sistema que minimice (o maximice) la acción , o en otras palabras, la integral de tiempo del lagrangiano .
Detalles
Dualidad
El mapeo
es una función, donde es un argumento de una función.
Al mismo tiempo, el mapeo de una función al valor de la función en un punto
es funcional ; Aquí hay un parámetro .
Siempre que sea una función lineal desde un espacio vectorial hasta el campo escalar subyacente, los mapas lineales anteriores son duales entre sí y, en el análisis funcional, ambos se denominan funcionales lineales .
Integral definida
Integrales como
forman una clase especial de funcionales. Asigna una función a un número real, siempre que tenga un valor real. Ejemplos incluyen
el área debajo de la gráfica de una función positiva
la longitud del arco de una curva en el espacio euclidiano bidimensional
Espacios interiores de productos
Dado un espacio producto interno y un vector fijo, el mapa definido por es un funcional lineal en El conjunto de vectores tal que es cero es un subespacio vectorial de llamado espacio nulo o núcleo del funcional, o complemento ortogonal de denotado
Por ejemplo, tomar el producto interno con una función fija define un funcional (lineal) en el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en
Localidad
Si el valor de una funcional se puede calcular para pequeños segmentos de la curva de entrada y luego sumar para encontrar el valor total, la funcional se llama local. De lo contrario se llama no local. Por ejemplo:
es local mientras que
no es local. Esto ocurre comúnmente cuando las integrales ocurren por separado en el numerador y denominador de una ecuación, como en los cálculos del centro de masa.
Ecuaciones funcionales
El uso tradicional también se aplica cuando se habla de una ecuación funcional, es decir, una ecuación entre funcionales: una ecuación entre funcionales puede leerse como una "ecuación a resolver", siendo las soluciones en sí mismas funciones. En tales ecuaciones puede haber varios conjuntos de variables incógnitas, como cuando se dice que una aplicación aditiva es aquella que satisface la ecuación funcional de Cauchy :
Derivada e integración
Los derivados funcionales se utilizan en la mecánica lagrangiana . Son derivados de funcionales; es decir, transportan información sobre cómo cambia una función cuando la función de entrada cambia en una pequeña cantidad.
Forma lineal : mapa lineal desde un espacio vectorial a su campo de escalares
Optimización (matemáticas) – Estudio de algoritmos matemáticos para problemas de optimización.Pages displaying short descriptions of redirect targets
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Referencias
^ Lang 2002, pag. 142 "Sea E un módulo libre sobre un anillo conmutativo A. Consideramos A como un módulo libre de rango 1 sobre sí mismo. Por módulo dual E ∨ de E nos referiremos al módulo Hom( E , A ). Sus elementos serán ser llamados funcionales , Por lo tanto, un funcional en E es un mapa A -lineal f : E → A .
^ Kolmogorov y Fomin 1957, pág. 77 "Una función numérica f ( x ) definida en un espacio lineal normado R se llamará funcional . Se dice que una función f ( x ) es lineal si f (α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ) donde x , y ∈ R y α, β son números arbitrarios."
^ Kolmogorov y Fomin 1957, págs. 62-63 "Una función real en un espacio R es una aplicación de R en el espacio R 1 (la línea real). Así, por ejemplo, una aplicación de R n en R 1 es una función ordinaria de valor real de n variables En el caso en que el espacio R mismo consta de funciones, las funciones de los elementos de R generalmente se denominan funcionales .
Kolmogorov, Andrei ; Fomin, Sergei V. (1957). Elementos de la Teoría de Funciones y Análisis Funcional . Libros de Dover sobre matemáticas. Nueva York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626.
Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para el análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.