Tensor igual al negativo de cualquiera de sus transposiciones
En matemáticas y física teórica , un tensor es antisimétrico en (o con respecto a ) un subconjunto de índices si alterna el signo (+/-) cuando se intercambian dos índices cualesquiera del subconjunto. [1] [2] El subconjunto de índices generalmente debe ser totalmente covariante o totalmente contravariante .
Por ejemplo,
se cumple cuando el tensor es antisimétrico con respecto a sus tres primeros índices.
Si un tensor cambia de signo al intercambiar cada par de sus índices, entonces el tensor es completamente (o totalmente ) antisimétrico . Un campo tensor covariante de orden completamente antisimétrico puede denominarse forma diferencial , y un campo tensorial contravariante completamente antisimétrico puede denominarse campo vectorial .
Tensores antisimétricos y simétricos.
Un tensor A que es antisimétrico en índices y tiene la propiedad de que la contracción con un tensor B que es simétrico en índices y es idénticamente 0.
Para un tensor general U con componentes y un par de índices y U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como:
Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices. Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica para un par de índices dado, como en
Notación
Una notación abreviada para la antisimetrización se indica mediante un par de corchetes. Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante de orden 2 M y
para un tensor covariante de orden 3 T ,
En 2 y 3 dimensiones, estas se pueden escribir como ¿
dónde está el delta de Kronecker generalizado ? y se utiliza la convención de suma de Einstein .
De manera más general, independientemente del número de dimensiones, la antisimetrización sobre índices puede expresarse como
En general, todo tensor de rango 2 se puede descomponer en un par simétrico y antisimétrico como:
En general, esta descomposición no es cierta para los tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.
Ejemplos
Los tensores totalmente antisimétricos incluyen:
Ver también
- Matriz antisimétrica : forma de una matrizPages displaying short descriptions of redirect targets
- Álgebra exterior – Álgebra de productos exteriores/cuña
- Símbolo de Levi-Civita : objeto de permutación antisimétrica que actúa sobre tensores
- Cálculo de Ricci : notación de índice tensor para cálculos basados en tensor
- Tensor simétrico : tensor invariante bajo permutaciones de vectores sobre los que actúa
- Simetrización : proceso que convierte cualquier función en n variables en una función simétrica en n variablesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
Notas
- ^ KF Riley; el diputado Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
- ^ Juan Ramón Ruíz-Tolosa; Enrique Castillo (2005). De vectores a tensores. Saltador. pag. 225.ISBN 978-3-540-22887-5.sección §7.
Referencias
Enlaces externos
- Tensor antisimétrico - mathworld.wolfram.com