Representación de bucles en teorías de calibre y gravedad cuántica.

Descripción de teorías de calibre utilizando operadores de bucle.

Se han realizado intentos de describir las teorías de calibre en términos de objetos extendidos como los bucles de Wilson y las holonomías . La representación de bucles es una representación hamiltoniana cuántica de las teorías de calibre en términos de bucles. El objetivo de la representación en bucle en el contexto de las teorías de Yang-Mills es evitar la redundancia introducida por las simetrías de calibre de Gauss que permiten trabajar directamente en el espacio de estados físicos (estados invariantes de calibre de Gauss). La idea es bien conocida en el contexto de la teoría de red de Yang-Mills (ver teoría del calibre de red ). Gambini y Trias intentaron explorar la representación de bucle continuo para la teoría canónica de Yang-Mills, sin embargo, hubo dificultades ya que representaban objetos singulares. Como veremos, el formalismo de bucles va mucho más allá de una simple descripción de invariantes de calibre; de ​​hecho, es el marco geométrico natural para tratar las teorías de calibre y la gravedad cuántica en términos de sus excitaciones físicas fundamentales.

La introducción por parte de Ashtekar de un nuevo conjunto de variables ( variables de Ashtekar ) expresó la relatividad general en el mismo lenguaje que las teorías de calibre y permitió aplicar técnicas de bucle como una descripción natural no perturbativa de la teoría de Einstein. En la gravedad cuántica canónica, las dificultades para utilizar la representación de bucle continuo se solucionan mediante la invariancia del difeomorfismo espacial de la relatividad general . La representación en bucle también proporciona una solución natural a la restricción del difeomorfismo espacial, estableciendo una conexión entre la gravedad cuántica canónica y la teoría de nudos . Sorprendentemente, había una clase de estados de bucle que proporcionaban soluciones exactas (aunque sólo formales) a la ecuación original (mal definida) de Wheeler-DeWitt de Ashtekar . ¡Por lo tanto, se había identificado un conjunto infinito de soluciones exactas (aunque sólo formales) para todas las ecuaciones de gravedad general cuántica canónica en esta representación! Esto generó mucho interés en el enfoque y finalmente condujo a la gravedad cuántica de bucles (LQG).

La representación en bucle ha encontrado aplicación en matemáticas. Si las teorías topológicas cuánticas de campos se formulan en términos de bucles, las cantidades resultantes deberían ser lo que se conoce como invariantes de nudos . Las teorías de campos topológicos sólo implican un número finito de grados de libertad y, por lo tanto, tienen solución exacta. Como resultado, proporcionan expresiones computables concretas que son invariantes de nudos. Esta fue precisamente la idea de Edward Witten ^[1], quien notó que al calcular cantidades dependientes de bucles en Chern-Simons y otras teorías de campos cuánticos topológicos tridimensionales se podían obtener expresiones analíticas explícitas para invariantes de nudos. Por su labor en esto, en 1990 le fue concedida la Medalla Fields . Es el primer y hasta ahora único físico en recibir la Medalla Fields, a menudo considerada como el mayor honor en matemáticas.

Calibre la invariancia de la teoría de Maxwell.

La idea de simetrías de calibre se introdujo en la teoría de Maxwell. Las ecuaciones de Maxwell son

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\rho \over \epsilon _{0}}\qquad \nabla \times {\vec {B}}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\partial {\vec {E}} \over \partial t}=\mu _{0}{\vec {J}}\qquad \nabla \times {\vec {E}}+{\partial {\vec {B}} \over \partial t}=0\qquad \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$

¿Dónde está la densidad de carga y la densidad de corriente? Las dos últimas ecuaciones se pueden resolver escribiendo campos en términos de un potencial escalar, y un potencial vectorial ,: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \phi -{\partial {\vec {A}} \over \partial t}\qquad {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$.

Los potenciales determinan de forma única los campos, pero los campos no determinan de forma única los potenciales; podemos realizar los cambios:

${\displaystyle \phi '=\phi +{\partial \Lambda \over \partial t}\qquad {\vec {A}}'={\vec {A}}-\nabla \Lambda }$

sin afectar los campos eléctrico y magnético, donde es una función arbitraria del espacio-tiempo. Éstas se denominan transformaciones de calibre. Existe una notación relativista elegante: el campo calibre es ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}},t)}$

${\displaystyle A^{\mu }=(\phi ,{\vec {A}})}$

y las transformaciones de calibre anteriores dicen,

${\displaystyle {A^{\mu }}'=A^{\mu }+\partial ^{\mu }\Lambda }$.

Se introduce el llamado tensor de intensidad de campo,

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

que se demuestra fácilmente que es invariante bajo transformaciones de calibre. En componentes,

${\displaystyle F^{0i}=E^{i},\qquad \epsilon ^{ijk}F^{jk}=B^{i}}$.

La acción libre de fuente de Maxwell viene dada por:

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}}$.

La capacidad de variar el potencial de calibre en diferentes puntos del espacio y el tiempo (cambiando ) sin cambiar la física se denomina invariancia local. La teoría electromagnética posee el tipo más simple de simetría de calibre local llamada (ver grupo unitario ). Una teoría que muestra invariancia de calibre local se llama teoría de calibre. Para formular otras teorías de calibre, le damos la vuelta al razonamiento anterior. Este es el tema de la siguiente sección. ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle U(1)}$

Las teorías de conexión y calibres.

La conexión y la teoría de Maxwell.

Sabemos por la mecánica cuántica que si reemplazamos la función de onda, describiendo el campo de electrones por ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi '(x)=\exp(i\theta )\psi (x)}$

que deja las predicciones físicas sin cambios. Consideramos la imposición de invariancia local en la fase del campo electrónico,

${\displaystyle \psi '(x)=\Omega \psi (x)=\exp(i\theta (x))\psi (x)}$

El problema es que las derivadas de no son covariantes bajo esta transformación: ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \partial _{\mu }(\exp(i\theta (x))\psi (x))=\Omega \partial _{\mu }\psi (x)+\partial _{\mu }\Omega \psi (x)}$.

Para cancelar el segundo término no deseado, se introduce un nuevo operador derivativo que es covariante. Para construir , se introduce un nuevo campo, la conexión : ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x)}$.

Entonces

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\partial _{\mu }\psi '+igA_{\mu }'\psi '=\Omega \partial _{\mu }\psi +(\partial \Omega )\psi +igA_{\mu }'\Omega \psi }$

El término se cancela precisamente al requerir que el campo de conexión se transforme como ${\displaystyle \partial _{\mu }\Omega }$

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{i \over g}[\partial _{\mu }\Omega (x)]\Omega ^{-1}(x)\quad Eq1.}$.

entonces tenemos eso

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\Omega {\mathcal {D}}_{\mu }\psi }$.

Tenga en cuenta que es equivalente a ${\displaystyle Eq1}$

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{1 \over g}\partial _{\mu }\theta (x)}$

que parece lo mismo que una transformación de calibre del potencial de calibre de la teoría de Maxwell. Es posible construir una acción invariante para el propio campo de conexión. Queremos una acción que sólo tenga dos derivadas (ya que las acciones con derivadas superiores no son unitarias). Definir la cantidad:

${\displaystyle F_{\mu \nu }={-i \over g}[{\mathcal {D}}_{\mu },{\mathcal {D}}_{\mu }]={-i \over g}[\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x),\partial _{\nu }+igA_{\nu }(x)]}$

${\displaystyle ={-i \over g}{\Big (}[\partial _{\mu },\partial _{\nu }]+ig(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })-g^{2}[A_{\mu },A_{\nu }]{\Big )}}$

${\displaystyle =\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\nu }}$.

La acción única con sólo dos derivadas viene dada por:

${\displaystyle S=-{\frac {1}{2}}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}}$.

Por lo tanto, se puede derivar la teoría electromagnética a partir de argumentos basados ​​únicamente en la simetría.

La conexión y la teoría del calibre de Yang-Mills

Ahora generalizamos el razonamiento anterior a grupos de calibre generales. Se comienza con los generadores de algo de álgebra de Lie :

${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=if^{ijk}T^{k}}$

Sea un campo de fermiones que se transforme como

${\displaystyle \mathbf {\Psi } '\mapsto {\hat {\Omega }}(x)\mathbf {\Psi } (x)=\exp(i\theta ^{i}(x)T^{i})\mathbf {\Psi } (x)}$

Nuevamente las derivadas de no son covariantes bajo esta transformación. Introducimos una derivada covariante. ${\displaystyle \mathbf {\Psi } (x)}$

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }=\mathbf {I} \partial _{\mu }+ig\mathbf {A} _{\mu }(x)}$

con campo de conexión dado por

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)T^{i}}$

Requerimos que se transforme como: ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }'(x)={\hat {\Omega }}\mathbf {A} _{\mu }(x){\hat {\Omega }}^{-1}+{i \over g}{\hat {\Omega }}(\partial _{\mu }{\hat {\Omega }}^{-1})}$.

Definimos el operador de intensidad de campo.

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }=-{i \over g}[\mathbf {\mathcal {D}} _{\mu },\mathbf {\mathcal {D}} _{\nu }]=\partial _{\mu }\mathbf {A} _{\nu }-\partial _{\nu }\mathbf {A} _{\mu }+ig[\mathbf {A} _{\mu },\mathbf {A} _{\nu }]=(\partial _{\mu }A_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{i}+gf^{ijk}A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k})T^{i}}$.

Como es covariante, esto significa que el tensor también es covariante: ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }\mapsto \mathbf {F} _{\mu \nu }'={\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}}$

Tenga en cuenta que solo es invariante bajo transformaciones de calibre si es escalar, es decir, solo en el caso del electromagnetismo. ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {\hat {\Omega }}}$

Ahora podemos construir una acción invariante a partir de este tensor. Nuevamente queremos una acción que solo tenga dos derivadas. La elección más sencilla es la traza del conmutador:

${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}{\hat {\Omega }}\mathbf {F} ^{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1})=\operatorname {Tr} (\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })}$

La acción única con sólo dos derivadas viene dada por:

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}xTr(\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })=-{1 \over 2}\int d^{4}x\operatorname {Tr} {\Big (}F_{\mu \nu }^{i}T^{j}F_{j}^{\mu \nu }T^{j}{\Big )}}$

Ésta es la acción de la teoría de Yang-mills.

La representación en bucle de la teoría de Maxwell.

Consideramos un cambio de representación en la teoría cuántica del calibre de Maxwell. La idea es introducir una base de estados etiquetados por bucles cuyo producto interno con los estados de conexión viene dado por ${\displaystyle \mid \gamma \rangle }$

${\displaystyle \langle A\mid \gamma \rangle =W(\gamma )=\exp \left[ie\int _{\gamma }dy^{\alpha }A_{\alpha }(y)\right]}$

El bucle funcional es el bucle de Wilson para el caso abeliano. ${\displaystyle W(\gamma )}$ ${\displaystyle U(1)}$

La representación en bucle de la teoría de Yang-Mills

Por simplicidad (y porque más adelante veremos que este es el grupo de indicadores relevante en LQG) consideramos una teoría de Yang-Mills en cuatro dimensiones. La variable de campo de la teoría continua es una conexión (o potencial de calibre) , donde es un índice en el álgebra de Lie de . Podemos escribir para este campo. ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle A_{\mu }^{i}(x)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle SU(2)}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)\tau _{i}}$

¿Dónde están los generadores, es decir, las matrices de Pauli multiplicadas por ? tenga en cuenta que, a diferencia de la teoría de Maxwell, las conexiones tienen valores matriciales y no conmutan, es decir, son teorías de calibre no abelianas. Debemos tener esto en cuenta al definir la versión correspondiente de la holonomía para la teoría de Yang-Mills. ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle su(2)}$ ${\displaystyle i/2}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$ ${\displaystyle SU(2)}$

Primero describimos la teoría cuántica en términos de variable de conexión.

La representación de la conexión.

En la representación de la conexión, la variable de configuración es y su momento conjugado es la tríada (densizada) . Lo más natural es considerar funciones de onda . Esto se conoce como representación de conexión. Las variables canónicas ascienden a operadores cuánticos: ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi [A]=A_{a}^{i}\Psi [A]}$

(análogo a la representación de posición ) y las tríadas son derivados funcionales, ${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{a}^{i}\Psi [A]=-i{\delta \Psi [A] \over \delta A_{a}^{i}}}$

(análogo a ) ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i{d\psi (q) \over dq}}$

La holonomía y el bucle de Wilson

Volvamos a la teoría clásica de Yang-Mills. Es posible codificar la información invariante de calibre de la teoría en términos de variables en forma de bucle.

Necesitamos la noción de holonomía . Una holonomía es una medida de cuánto difieren los valores inicial y final de un espinor o vector después del transporte paralelo alrededor de un circuito cerrado  ; se denota ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$

El conocimiento de las holonomías equivale al conocimiento de la conexión, hasta la equivalencia de calibre. Las holonomías también pueden asociarse con una ventaja; bajo una ley de Gauss estos se transforman como

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$

Para un bucle cerrado si tomamos la traza de este, es decir poniendo y sumando obtenemos ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

o

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$

Por tanto, la traza de una holonomía alrededor de un circuito cerrado es invariante de calibre. se denota

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

y se llama bucle de Wilson. La forma explícita de la holonomía es

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp {\Big \{}-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}\,ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}{\Big \}}}$

donde es la curva a lo largo de la cual se evalúa la holonomía, y es un parámetro a lo largo de la curva, denota el ordenamiento de la ruta, los factores de significado para valores más pequeños de aparecen a la izquierda y son matrices que satisfacen el álgebra ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}.\,}$

Las matrices de Pauli satisfacen la relación anterior. Resulta que hay infinitos más ejemplos de conjuntos de matrices que satisfacen estas relaciones, donde cada conjunto comprende matrices con , y donde no se puede pensar que ninguno de ellos se "descomponga" en dos o más ejemplos de dimensión inferior. Se denominan distintas representaciones irreductibles del álgebra. La representación más fundamental son las matrices de Pauli. La holonomía está etiquetada por un medio entero según la representación irreducible utilizada. ${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$ ${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$ ${\displaystyle su(2)}$ ${\displaystyle N/2}$

Teorema de reconstrucción de Giles de potenciales de calibre a partir de bucles de Wilson

Un teorema importante sobre las teorías de calibre de Yang-Mills es el teorema de Giles, según el cual si se da la traza de la holonomía de una conexión para todos los bucles posibles en una variedad, se puede, en principio, reconstruir toda la información invariante de calibre de la conexión. . ^[2] Es decir, los bucles de Wilson constituyen una base de funciones invariantes de calibre de la conexión. Este resultado clave es la base de la representación en bucle de las teorías de calibre y la gravedad.

La transformación del bucle y la representación del bucle.

El uso de bucles de Wilson resuelve explícitamente la restricción de calibre de Gauss. Como los bucles de Wilson forman una base, podemos expandir formalmente cualquier función invariante de calibre de Gauss como,

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A]}$.

Esto se llama transformación de bucle. Podemos ver la analogía con la representación del momento en la mecánica cuántica. Allí se tiene una base de estados etiquetados con un número y se expande ${\displaystyle \exp(ikx)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$

y trabaja con los coeficientes de la expansión . ${\displaystyle \psi (k)}$

La transformada de bucle inverso está definida por

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$

Esto define la representación del bucle. Dado un operador en la representación de la conexión, ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A],\qquad {\text{Eq 1}}}$

uno debe definir el operador correspondiente en la representación del bucle a través de, ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ],\qquad {\text{Eq 2}}}$

donde está definido por la transformación de bucle inverso habitual, ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A].\qquad {\text{Eq 3}}}$

Luego se obtiene una fórmula de transformación que da la acción del operador en en términos de la acción del operador en igualando el RHS de con el RHS de con sustituido en , a saber ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$ ${\displaystyle Eq\;2}$ ${\displaystyle Eq\;3}$ ${\displaystyle Eq\;1}$ ${\displaystyle Eq\;3}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$

o

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$

donde nos referimos al operador pero con el orden de los factores inverso (recuerde de la mecánica cuántica simple donde el producto de los operadores se invierte bajo conjugación). Evaluamos la acción de este operador en el bucle de Wilson como un cálculo en la representación de la conexión y reordenamos el resultado como una manipulación puramente en términos de bucles (hay que recordar que al considerar la acción en el bucle de Wilson uno debe elegir el operador que desea transformar con el orden de factor opuesto al elegido para su acción sobre las funciones de onda ). ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$

La representación en bucle de la gravedad cuántica.

Variables Ashtekar-Barbero de la gravedad cuántica canónica

La introducción de las variables de Ashtekar utilizó la relatividad general en el mismo lenguaje que las teorías de calibre. Fue en particular la incapacidad de tener un buen control sobre el espacio de soluciones a la ley de Gauss y las restricciones del difeomorfismo espacial lo que llevó a Rovelli y Smolin a considerar una nueva representación: la representación en bucle. ^[3]

Para manejar la restricción del difeomorfismo espacial, debemos pasar a la representación del bucle. El razonamiento anterior da el significado físico del operador . Por ejemplo, si corresponde a un difeomorfismo espacial, entonces se puede considerar que esto mantiene el campo de conexión de dónde está mientras se realiza un difeomorfismo espacial . Por tanto, el significado de es un difeomorfismo espacial sobre el argumento de . ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

En la representación del bucle podemos resolver la restricción del difeomorfismo espacial considerando funciones de bucles que son invariantes bajo difeomorfismos espaciales del bucle . Es decir, construimos lo que los matemáticos llaman invariantes de nudo . Esto abrió una conexión inesperada entre la teoría de nudos y la gravedad cuántica. ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ ${\displaystyle \gamma }$

La representación de bucle y las funciones propias de los operadores cuánticos geométricos.

La cantidad geométrica más sencilla es el área. Elijamos coordenadas para que la superficie se caracterice por . El área del paralelogramo pequeño de la superficie es el producto de la longitud de cada lado por donde es el ángulo entre los lados. Digamos que una arista está dada por el vector y la otra por entonces, ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle x^{3}=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}\\[6pt]&={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}\end{aligned}}}$

De esto obtenemos que el área de la superficie estará dada por ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {\det \;q^{(2)}}}}$

donde y es el determinante de la métrica inducida en . Esto se puede reescribir como ${\displaystyle \det q^{(2)}=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \det \;q^{(2)}={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$

La fórmula estándar para una matriz inversa es

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}}$

Note la similitud entre esto y la expresión para . Pero en Ashtekar tenemos variables . Por lo tanto, ${\displaystyle \det q^{(2)}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$

Según las reglas de la cuantificación canónica deberíamos promover las tríadas a operadores cuánticos, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$

Resulta que el área se puede promover a un operador cuántico bien definido a pesar de que estamos tratando con el producto de dos derivadas funcionales y, lo que es peor, también tenemos que lidiar con una raíz cuadrada. ^[4] Poniendo , hablamos de estar en la J -ésima representación. Lo notamos . Esta cantidad es importante en la fórmula final para el espectro de área. Simplemente indicamos el resultado a continuación, ${\displaystyle A_{\Sigma }}$ ${\displaystyle N=2J}$ ${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{Planck}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

donde la suma abarca todos los bordes del bucle de Wilson que perforan la superficie . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Sigma }$

La fórmula para el volumen de una región está dada por ${\displaystyle R}$

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int _{R}dx^{3}{\sqrt {\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

La cuantización del volumen se realiza del mismo modo que con el área. A medida que tomamos la derivada, y cada vez que lo hacemos bajamos el vector tangente , cuando el operador de volumen actúa sobre bucles de Wilson que no se cruzan, el resultado desaparece. Por tanto, los estados cuánticos con volumen distinto de cero deben implicar intersecciones. Dado que la suma antisimétrica se toma en la fórmula del volumen, necesitaríamos al menos intersecciones con tres líneas no coplanares . En realidad, resulta que se necesitan al menos cuatro vértices valentes para que el operador de volumen no desaparezca. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$

Identidades de Mandelstam: su(2) Yang-Mills

Consideremos ahora los bucles de Wilson con intersecciones. Asumimos la representación real donde está el grupo de calibre . Los bucles de Wilson son una base demasiado completa ya que existen identidades que relacionan diferentes bucles de Wilson. Estos surgen del hecho de que los bucles de Wilson se basan en matrices (la holonomía) y estas matrices satisfacen identidades, las llamadas identidades de Mandelstam. Dadas dos matrices cualesquiera y es fácil comprobar que, ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$

Esto implica que dados dos bucles y que se cruzan, tendremos, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

donde por nos referimos al bucle recorrido en la dirección opuesta y significa el bucle obtenido al rodear el bucle y luego a lo largo . Vea la figura a continuación. A esto se le llama identidad Mandelstam del segundo tipo. Existe la identidad Mandelstam del primer tipo . Las redes de espín son ciertas combinaciones lineales de bucles de Wilson que se cruzan diseñados para abordar la completitud excesiva introducida por las identidades de Mandelstam. ${\displaystyle \eta ^{-1}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma \circ \eta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle W(\gamma _{1}\circ \gamma _{2})=W(\gamma _{2}\circ \gamma _{1})}$

Representación gráfica de la identidad de Mandestam relacionando diferentes bucles de Wilson .

Estados de la red giratoria

De hecho, las redes de espín constituyen una base para todas las funciones invariantes de calibre que minimizan el grado de completitud excesiva de la base del bucle y, para las intersecciones trivalentes, lo eliminan por completo.

Como se mencionó anteriormente, la holonomía le indica cómo propagar las medias partículas de espín de prueba. El estado de una red de espín asigna una amplitud a un conjunto de semipartículas de espín que trazan un camino en el espacio, fusionándose y dividiéndose. Estos se describen mediante redes de espines : los bordes están etiquetados por espines junto con "entrelazadores" en los vértices que son una receta sobre cómo sumar las diferentes formas en que se redireccionan los espines. La suma del redireccionamiento se elige como tal para hacer que la forma del entrelazador sea invariante bajo las transformaciones de calibre de Gauss. ${\displaystyle \gamma }$

Unicidad de la representación del bucle en LQG.

Teoremas que establecen la unicidad de la representación del bucle según lo definido por Ashtekar et al. (es decir, una cierta realización concreta de un espacio de Hilbert y operadores asociados que reproducen el álgebra de bucles correcta – la realización que todo el mundo estaba usando) han sido dadas por dos grupos (Lewandowski, Okolow, Sahlmann y Thiemann) ^[5] y (Christian Fleischhack). ^[6] Antes de que se estableciera este resultado, no se sabía si podría haber otros ejemplos de espacios de Hilbert con operadores que invocaran el mismo álgebra de bucles, otras realizaciones, no equivalentes a la que se había utilizado hasta ahora.

Teoría de nudos y bucles en la teoría de campos topológicos.

Un método común para describir un nudo (o eslabón , que son nudos de varios componentes entrelazados entre sí) es considerar su imagen proyectada en un plano llamado diagrama de nudos. Cualquier nudo (o eslabón) se puede dibujar de muchas maneras diferentes utilizando un diagrama de nudos. Por tanto, un problema fundamental en la teoría de nudos es determinar cuándo dos descripciones representan el mismo nudo. Dado un diagrama de nudos, se intenta encontrar una manera de asignarle una invariante de nudos, a veces un polinomio, llamado polinomio de nudos. Dos diagramas de nudos con diferentes polinomios generados por el mismo procedimiento corresponden necesariamente a nudos diferentes. Sin embargo, si los polinomios son iguales, puede que no signifique que correspondan al mismo nudo. Cuanto mejor sea un polinomio para distinguir nudos, más poderoso será.

En 1984, Jones ^[7] anunció el descubrimiento de una nueva invariante de enlace, que pronto condujo a una desconcertante profusión de generalizaciones. Había encontrado un nuevo polinomio de nudos, el polinomio de Jones . En concreto, es una invariante de un nudo o vínculo orientado que asigna a cada nudo o vínculo orientado un polinomio con coeficientes enteros.

A finales de la década de 1980, Witten acuñó el término teoría cuántica de campos topológica para un cierto tipo de teoría física en la que los valores esperados de las cantidades observables son invariantes bajo difeomorfismos.

Witten ^[8] dio una derivación heurística del polinomio de Jones y sus generalizaciones a partir de la teoría de Chern-Simons . La idea básica es simplemente que los valores esperados de vacío de los bucles de Wilson en la teoría de Chern-Simons son invariantes de enlace debido a la invariancia del difeomorfismo de la teoría. Sin embargo, para calcular estos valores esperados, Witten necesitaba utilizar la relación entre la teoría de Chern-Simons y una teoría de campo conforme conocida como modelo de Wess-Zumino-Witten (o modelo WZW).

Referencias

1. Witten, Edward (1989). "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones". Comunicaciones en Física Matemática . 121 (3): 351–399. Código bibliográfico : 1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/bf01217730. ISSN  0010-3616. S2CID  14951363.
2. Giles, R. (15 de octubre de 1981). "Reconstrucción de potenciales de calibre a partir de bucles de Wilson". Revisión física D. 24 (8): 2160–2168. Código bibliográfico : 1981PhRvD..24.2160G. doi :10.1103/physrevd.24.2160. ISSN  0556-2821.
3. Rovelli, Carlo; Smolin, Lee (5 de septiembre de 1988). "Teoría de nudos y gravedad cuántica". Cartas de revisión física . 61 (10): 1155-1158. Código bibliográfico : 1988PhRvL..61.1155R. doi :10.1103/physrevlett.61.1155. ISSN  0031-9007. PMID  10038716.
4. Por ejemplo, consulte la sección 8.2 de Un primer curso sobre gravedad cuántica de bucles , Gambini, R y Pullin, J. Publicado por Oxford University Press 2011.
5. Lewandowski, Jerzy; Okołów, Andrzej; Sahlmann, Hanno; Thiemann, Thomas (22 de agosto de 2006). "Singularidad de los estados invariantes del difeomorfismo en álgebras de flujo-holonomía". Comunicaciones en Física Matemática . 267 (3): 703–733. arXiv : gr-qc/0504147 . Código Bib : 2006CMaPh.267..703L. doi :10.1007/s00220-006-0100-7. ISSN  0010-3616. S2CID  14866220.
6. Fleischhack, cristiano (11 de agosto de 2006). "Irreductibilidad del álgebra de Weyl en gravedad cuántica de bucles". Cartas de revisión física . 97 (6): 061302. Código bibliográfico : 2006PhRvL..97f1302F. doi : 10.1103/physrevlett.97.061302. ISSN  0031-9007. PMID  17026156.
7. V. Jones, Un invariante polinómico para nudos mediante álgebras de von Neumann, reimpreso en ``New Developments in the Theory of Knots , ed. T. Kohno, World Scientific, Singapur, 1989.
8. Witten, E. (1989). "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones". Comunicaciones en Física Matemática . 121 (3): 351–399. Código bibliográfico : 1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. SEÑOR  0990772. S2CID  14951363.