Gravedad cuántica canónica

Una formulación de la relatividad general

En física , la gravedad cuántica canónica es un intento de cuantificar la formulación canónica de la relatividad general (o gravedad canónica ). Es una formulación hamiltoniana de la teoría general de la relatividad de Einstein . La teoría básica fue esbozada por Bryce DeWitt ^[1] en un artículo seminal de 1967, y basada en trabajos anteriores de Peter G. Bergmann ^[2] utilizando las llamadas técnicas de cuantificación canónica para sistemas hamiltonianos restringidos inventados por Paul Dirac . ^[3] El enfoque de Dirac permite la cuantificación de sistemas que incluyen simetrías de calibre utilizando técnicas hamiltonianas en una elección de calibre fija . Los enfoques más nuevos basados ​​en parte en el trabajo de DeWitt y Dirac incluyen el estado de Hartle-Hawking , el cálculo de Regge , la ecuación de Wheeler-DeWitt y la gravedad cuántica de bucles .

Cuantización canónica

En la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica ordinaria, el corchete de Poisson es un concepto importante. Un "sistema de coordenadas canónico" consiste en variables de posición y momento canónico que satisfacen relaciones de corchete de Poisson canónicas, donde el corchete de Poisson viene dado por para funciones arbitrarias del espacio de fases y . Con el uso de corchetes de Poisson, las ecuaciones de Hamilton se pueden reescribir como, $${\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$$ $${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$ ${\displaystyle f(q_{i},p_{j})}$ ${\displaystyle g(q_{i},p_{j})}$ $${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=\{q_{i},H\},}$$ $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=\{p_{i},H\}.}$$

Estas ecuaciones describen un "flujo" u órbita en el espacio de fases generado por el hamiltoniano . Dada cualquier función del espacio de fases , tenemos ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F(q,p)}$ $${\displaystyle {d \over dt}F(q_{i},p_{i})=\{F,H\}.}$$

En la cuantificación canónica, las variables del espacio de fase se promueven a operadores cuánticos en un espacio de Hilbert y el corchete de Poisson entre las variables del espacio de fase se reemplaza por la relación de conmutación canónica: $${\displaystyle [{\hat {q}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

En la llamada representación de posición, esta relación de conmutación se realiza mediante la elección: y $${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$$ $${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar {d \over dq}\psi (q)}$$

La dinámica se describe mediante la ecuación de Schrödinger: donde es el operador formado a partir del hamiltoniano con el reemplazo y . $${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}\psi ={\hat {H}}\psi }$$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle H(q,p)}$ ${\displaystyle q\mapsto q}$ ${\displaystyle p\mapsto -i\hbar {d \over dq}}$

Cuantización canónica con restricciones

La relatividad general clásica canónica es un ejemplo de una teoría completamente restringida. En las teorías restringidas hay diferentes tipos de espacio de fases: el espacio de fases sin restricciones (también llamado cinemático) en el que se definen las funciones de restricción y el espacio de fases reducido en el que las restricciones ya se han resuelto. Para la cuantificación canónica en términos generales, el espacio de fases se reemplaza por un espacio de Hilbert apropiado y las variables del espacio de fases se deben promover a operadores cuánticos.

En el enfoque de Dirac para la cuantificación, el espacio de fases sin restricciones se reemplaza por el llamado espacio de Hilbert cinemático y las funciones de restricción se reemplazan por operadores de restricción implementados en el espacio de Hilbert cinemático; luego se buscan soluciones. Estas ecuaciones de restricción cuántica son las ecuaciones centrales de la relatividad general cuántica canónica, al menos en el enfoque de Dirac, que es el enfoque que se adopta habitualmente.

En las teorías con restricciones también existe la cuantificación del espacio de fase reducida, en la que las restricciones se resuelven en el nivel clásico y las variables del espacio de fase del espacio de fase reducido se promueven a operadores cuánticos; sin embargo, se pensaba que este enfoque era imposible en la relatividad general, ya que parecía ser equivalente a encontrar una solución general para las ecuaciones de campo clásicas. Sin embargo, con el desarrollo bastante reciente de un esquema de aproximación sistemática para calcular observables de la relatividad general (por primera vez) por Bianca Dittrich, basado en ideas introducidas por Carlo Rovelli, Thomas Thiemann ha desarrollado un esquema viable para una cuantificación del espacio de fase reducida de la gravedad. Sin embargo, no es completamente equivalente a la cuantificación de Dirac, ya que las "variables de reloj" deben tomarse como clásicas en la cuantificación del espacio de fase reducida, a diferencia del caso de la cuantificación de Dirac.

Un malentendido común es que las transformaciones de coordenadas son las simetrías de calibración de la relatividad general, cuando en realidad las verdaderas simetrías de calibración son difeomorfismos tal como los define un matemático (ver el argumento de Hole ), que son mucho más radicales. Las restricciones de primera clase de la relatividad general son la restricción de difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana (también conocida como ecuación de Wheeler-De Witt) e imprimen la invariancia de difeomorfismo espacial y temporal de la teoría respectivamente. Imponer estas restricciones de manera clásica son básicamente condiciones de admisibilidad sobre los datos iniciales, también generan las ecuaciones de "evolución" (realmente transformaciones de calibración) a través del corchete de Poisson. Es importante destacar que el álgebra de corchetes de Poisson entre las restricciones determina completamente la teoría clásica; esto es algo que de alguna manera debe reproducirse en el límite semiclásico de la gravedad cuántica canónica para que sea una teoría viable de la gravedad cuántica.

En el enfoque de Dirac resulta que las restricciones cuánticas de primera clase impuestas a una función de onda también generan transformaciones de calibre. Por lo tanto, el proceso de dos pasos en la teoría clásica de resolver las restricciones (equivalente a resolver las condiciones de admisibilidad para los datos iniciales) y buscar las órbitas de calibre (resolver las ecuaciones de "evolución") se reemplaza por un proceso de un solo paso en la teoría cuántica, es decir, buscar soluciones de las ecuaciones cuánticas . Esto se debe a que obviamente resuelve la restricción a nivel cuántico y simultáneamente busca estados que sean invariantes de calibre porque es el generador cuántico de transformaciones de calibre. A nivel clásico, resolver las condiciones de admisibilidad y las ecuaciones de evolución son equivalentes a resolver todas las ecuaciones de campo de Einstein, esto subraya el papel central de las ecuaciones de restricción cuántica en el enfoque de Dirac para la gravedad cuántica canónica. ${\displaystyle C_{I}=0}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$ ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$

Cuantización canónica, invariancia difeomorfista y finitud manifiesta

Se puede pensar que un difeomorfismo "arrastra" simultáneamente los campos métrico (campo gravitacional) y de materia sobre la variedad desnuda mientras permanece en el mismo sistema de coordenadas, y por lo tanto son más radicales que la invariancia bajo una mera transformación de coordenadas. Esta simetría surge del requisito sutil de que las leyes de la relatividad general no pueden depender de ninguna geometría espacio-temporal dada a priori.

Esta invariancia del difeomorfismo tiene una implicación importante: la gravedad cuántica canónica será manifiestamente finita, ya que la capacidad de "arrastrar" la función métrica sobre la variedad desnuda significa que las "distancias" pequeñas y grandes entre puntos de coordenadas definidos de manera abstracta son equivalentes a las de calibración. Lee Smolin ha proporcionado un argumento más riguroso:

“Un operador independiente del fondo siempre debe ser finito. Esto se debe a que la escala del regulador y la métrica del fondo siempre se introducen juntas en el procedimiento de regularización. Esto es necesario porque la escala a la que se refiere el parámetro de regularización debe describirse en términos de una métrica del fondo o un gráfico de coordenadas introducido en la construcción del operador regulado. Debido a esto, la dependencia del operador regulado del límite, o parámetro del regulador, está relacionada con su dependencia de la métrica del fondo. Cuando se toma el límite del parámetro del regulador que va a cero, se aíslan los términos que no se desvanecen. Si estos tienen alguna dependencia del parámetro del regulador (que sería el caso si el término está explotando), entonces también deben tener dependencia de la métrica del fondo. Por el contrario, si los términos que no se desvanecen en el límite que se elimina del regulador no tienen dependencia de la métrica del fondo, debe ser finito”.

De hecho, como se menciona más adelante, Thomas Thiemann ha demostrado explícitamente que la gravedad cuántica de bucles (una versión bien desarrollada de la gravedad cuántica canónica) es manifiestamente finita incluso en presencia de todas las formas de materia. ^{[ cita requerida ]} Por lo tanto, no hay necesidad de renormalización ni de eliminación de infinitos. Sin embargo, en otro trabajo, Thomas Thiemann admitió la necesidad de la renormalización como una forma de corregir las ambigüedades de cuantificación. ^[1]

En la gravedad cuántica perturbativa (de donde se originan los argumentos de no renormalización), como con cualquier esquema perturbativo, se hace la suposición razonable de que el espacio-tiempo a grandes escalas debería ser bien aproximado por el espacio plano; se dispersan gravitones en este fondo aproximadamente plano y se descubre que su amplitud de dispersión tiene divergencias que no pueden ser absorbidas en la redefinición de la constante de Newton. Los teóricos de la gravedad cuántica canónica no aceptan este argumento; sin embargo, hasta ahora no han proporcionado un cálculo alternativo de la amplitud de dispersión de gravitones que pueda usarse para entender qué sucede con los términos que se encuentran no renormalizables en el tratamiento perturbativo. Una expectativa sostenida desde hace tiempo es que en una teoría de la geometría cuántica como la gravedad cuántica canónica, las cantidades geométricas como el área y el volumen se convierten en observables cuánticos y toman valores discretos distintos de cero, proporcionando un regulador natural que elimina los infinitos de la teoría, incluidos los que provienen de las contribuciones de la materia. Esta "cuantificación" de observables geométricos se realiza de hecho en la gravedad cuántica de bucles (LQG).

Cuantización canónica en variables métricas

La cuantificación se basa en descomponer el tensor métrico de la siguiente manera, donde la suma sobre índices repetidos está implícita , el índice 0 denota tiempo , los índices griegos recorren todos los valores 0, . . . ,3 y los índices latinos recorren los valores espaciales 1, . . ., 3. La función se llama función de lapso y las funciones se llaman funciones de desplazamiento. Los índices espaciales se elevan y bajan utilizando la métrica espacial y su inversa : y , , donde es el delta de Kronecker . Bajo esta descomposición, el lagrangiano de Einstein-Hilbert se convierte, hasta las derivadas totales , donde es la curvatura escalar espacial calculada con respecto a la métrica de Riemann y es la curvatura extrínseca , donde denota diferenciación de Lie, es la unidad normal a superficies de constante y denota diferenciación covariante con respecto a la métrica . Nótese que . DeWitt escribe que la ecuación lagrangiana "tiene la forma clásica 'energía cinética menos energía potencial', en la que la curvatura extrínseca desempeña el papel de energía cinética y el negativo de la curvatura intrínseca el de energía potencial". Si bien esta forma de la ecuación lagrangiana es manifiestamente invariante ante la redefinición de las coordenadas espaciales, hace que la covarianza general sea opaca. $${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})dt^{2}+2\beta _{k}\,dx^{k}\,dt+\gamma _{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}$$ ${\displaystyle \tau =x^{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle \gamma ^{ij}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}\gamma ^{jk}=\delta _{i}{}^{k}}$ ${\displaystyle \beta ^{i}=\gamma ^{ij}\beta _{j}}$ ${\displaystyle \gamma =\det \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle L=\int d^{3}x\,N\gamma ^{1/2}(K_{ij}K^{ij}-K^{2}+{}^{(3)}R)}$$ ${\displaystyle {}^{(3)}R}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle K_{ij}}$ $${\displaystyle K_{ij}=-{\frac {1}{2}}({\mathcal {L}}_{n}\gamma )_{ij}={\frac {1}{2}}N^{-1}\left(\nabla _{j}\beta _{i}+\nabla _{i}\beta _{j}-{\frac {\partial \gamma _{ij}}{\partial t}}\right),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nabla _{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+n_{\mu }n_{\nu }}$

Dado que la función de lapso y las funciones de desplazamiento pueden eliminarse mediante una transformación de calibre , no representan grados físicos de libertad. Esto se indica al pasar al formalismo hamiltoniano por el hecho de que sus momentos conjugados, respectivamente y , se desvanecen de manera idéntica ( en la capa y fuera de la capa ). Dirac las llama restricciones primarias . Una opción popular de calibre, llamada calibre sincrónico , es y , aunque, en principio, se pueden elegir para que sean cualquier función de las coordenadas. En este caso, el hamiltoniano toma la forma donde y es el momento conjugado a . Las ecuaciones de Einstein se pueden recuperar tomando corchetes de Poisson con el hamiltoniano. Las restricciones en la capa adicionales, llamadas restricciones secundarias por Dirac, surgen de la consistencia del álgebra de corchetes de Poisson. Estas son y . Esta es la teoría que se está cuantizando en los enfoques de la gravedad cuántica canónica. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi ^{i}}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle \beta _{i}=0}$ $${\displaystyle H=\int d^{3}x{\mathcal {H}},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2}}\gamma ^{-1/2}(\gamma _{ik}\gamma _{jl}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})\pi ^{ij}\pi ^{kl}-\gamma ^{1/2}{}^{(3)}R}$$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=0}$ ${\displaystyle \nabla _{j}\pi ^{ij}=0}$

Se puede demostrar que seis ecuaciones de Einstein que describen la evolución temporal (en realidad, una transformación de norma) se pueden obtener calculando los corchetes de Poisson de la métrica tridimensional y su momento conjugado con una combinación lineal del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana. La desaparición de las restricciones, que da lugar al espacio de fases físicas, son las otras cuatro ecuaciones de Einstein. Es decir, tenemos:

Las restricciones de difeomorfismos espaciales de las cuales hay un número infinito (una para el valor de ) , se pueden difuminar mediante las llamadas funciones de desplazamiento para dar un conjunto equivalente de restricciones de difeomorfismos espaciales difuminados. $${\displaystyle C_{a}(x)=0}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\vec {N}}(x)}$ $${\displaystyle C({\vec {N}})=\int d^{3}x\,C_{a}(x)N^{a}(x).}$$

Estos generan difeomorfismos espaciales a lo largo de órbitas definidas por la función de desplazamiento . ${\displaystyle N^{a}(x)}$

Las restricciones hamiltonianas, de las cuales hay un número infinito, se pueden suavizar mediante las llamadas funciones de lapso para dar un conjunto equivalente de restricciones hamiltonianas suavizadas. $${\displaystyle H(x)=0}$$ ${\displaystyle N(x)}$ $${\displaystyle H(N)=\int d^{3}x\,H(x)N(x).}$$

Como se mencionó anteriormente, la estructura de corchete de Poisson entre las restricciones (manchadas) es importante porque determina completamente la teoría clásica y debe reproducirse en el límite semiclásico de cualquier teoría de la gravedad cuántica.

La ecuación de Wheeler-DeWitt

La ecuación de Wheeler-DeWitt (a veces llamada restricción hamiltoniana, a veces ecuación de Einstein-Schrödinger) es bastante central ya que codifica la dinámica a nivel cuántico. Es análoga a la ecuación de Schrödinger, excepto que la coordenada temporal, , no es física, una función de onda física no puede depender de ella y, por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se reduce a una restricción: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =0.}$

El uso de variables métricas condujo a dificultades matemáticas aparentemente insuperables al intentar promover la expresión clásica a un operador cuántico bien definido, y como tal, pasaron décadas sin que se lograra avanzar mediante este enfoque. Este problema se eludió y la formulación de una ecuación de Wheeler-De-Witt bien definida se logró por primera vez con la introducción de las variables de Ashtekar-Barbero y la representación de bucles , este operador bien definido formulado por Thomas Thiemann ^[4] .

Antes de este desarrollo, la ecuación de Wheeler-De-Witt sólo se había formulado en modelos de simetría reducida, como la cosmología cuántica.

Cuantización canónica en variables Ashtekar-Barbero y LQG

Muchos de los problemas técnicos de la gravedad cuántica canónica giran en torno a las restricciones. La relatividad general canónica se formuló originalmente en términos de variables métricas, pero parecía haber dificultades matemáticas insuperables para promover las restricciones a los operadores cuánticos debido a su dependencia altamente no lineal de las variables canónicas. Las ecuaciones se simplificaron mucho con la introducción de las nuevas variables de Ashtekar. Las variables de Ashtekar describen la relatividad general canónica en términos de un nuevo par de variables canónicas más cercanas a las de las teorías de calibre. Al hacerlo, introdujo una restricción adicional, además del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana, la restricción de calibre de Gauss.

La representación de bucles es una representación hamiltoniana cuántica de las teorías de calibración en términos de bucles. El objetivo de la representación de bucles, en el contexto de las teorías de Yang-Mills, es evitar la redundancia introducida por las simetrías de calibración de Gauss, lo que permite trabajar directamente en el espacio de estados invariantes de calibración de Gauss. El uso de esta representación surgió naturalmente de la representación de Ashtekar-Barbero, ya que proporciona una descripción no perturbativa exacta y también porque la restricción del difeomorfismo espacial se maneja fácilmente dentro de esta representación.

Dentro de la representación de bucles, Thiemann ha proporcionado una teoría canónica bien definida en presencia de todas las formas de materia y ha demostrado explícitamente que es manifiestamente finita. Por lo tanto, no hay necesidad de renormalización . Sin embargo, como el enfoque LQG es adecuado para describir la física en la escala de Planck, existen dificultades para establecer contacto con la física de baja energía familiar y establecer que tiene el límite semiclásico correcto.

El problema del tiempo

Todas las teorías canónicas de la relatividad general tienen que lidiar con el problema del tiempo . En la gravedad cuántica, el problema del tiempo es un conflicto conceptual entre la relatividad general y la mecánica cuántica. En la relatividad general canónica, el tiempo es solo otra coordenada como resultado de la covarianza general . En las teorías cuánticas de campos, especialmente en la formulación hamiltoniana, la formulación se divide entre tres dimensiones de espacio y una dimensión de tiempo. En términos generales, el problema del tiempo es que no hay ninguno en la relatividad general. Esto se debe a que en la relatividad general el hamiltoniano es una restricción que debe desaparecer. Sin embargo, en cualquier teoría canónica, el hamiltoniano genera traslaciones de tiempo. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que "nada se mueve" ("no hay tiempo") en la relatividad general. Dado que "no hay tiempo", la interpretación habitual de las mediciones de la mecánica cuántica en momentos dados del tiempo se desmorona. Este problema del tiempo es el estandarte amplio de todos los problemas de interpretación del formalismo.

Charles Wang desarrolló un formalismo canónico de la descomposición conforme de la geometrodinámica de James York , ^[2] que condujo al "tiempo de York" ^[3] de la relatividad general . ^{[4] [5]} Posteriormente, él y sus colaboradores desarrollaron aún más este trabajo hasta llegar a un enfoque de identificación y cuantificación del tiempo que se adapta a una gran clase de teorías de gravedad-materia de dilatón invariantes en escala . ^{[6] [7]}

El problema de la cosmología cuántica

El problema de la cosmología cuántica es que los estados físicos que resuelven las restricciones de la gravedad cuántica canónica representan estados cuánticos de todo el universo y, como tales, excluyen a un observador externo; sin embargo, un observador externo es un elemento crucial en la mayoría de las interpretaciones de la mecánica cuántica. ^{[ aclaración necesaria ]}

Véase también

• Formalismo ADM
• Variables de Ashtekar
• Cuantización canónica
• Coordenadas canónicas
• Difeomorfismo
• Argumento del agujero
• Cálculo Regge
• La gravedad cuántica de bucles es una de esta familia de teorías.
• La cosmología cuántica de bucles (LQC) es un modelo finito y de simetría reducida de la gravedad cuántica de bucles.
• Problema del tiempo

Notas

1. ^ Bergmann, P. (1966). "Teoría de Hamilton-Jacobi y de Schrödinger en teorías con restricciones hamiltonianas de primera clase". Physical Review . 144 (4): 1078–1080. Bibcode :1966PhRv..144.1078B. doi :10.1103/PhysRev.144.1078.
2. ^ Dewitt, B. (1967). "Teoría cuántica de la gravedad. I. La teoría canónica". Physical Review . 160 (5): 1113–1148. Código Bibliográfico :1967PhRv..160.1113D. doi :10.1103/PhysRev.160.1113.
3. ^ Dirac, PAM (1958). "Dinámica hamiltoniana generalizada". Actas de la Royal Society of London A . 246 (1246): 326–332. Bibcode :1958RSPSA.246..326D. doi :10.1098/rspa.1958.0141. JSTOR  100496.
4. ^ Thiemann, T. (1996). "Formulación libre de anomalías de la gravedad cuántica lorentziana no perturbativa y cuatridimensional". Physics Letters B . 380 (3–4): 257–264. arXiv : gr-qc/9606088 . Código Bibliográfico :1996PhLB..380..257T. doi :10.1016/0370-2693(96)00532-1. S2CID  8691449.

Referencias

1. Thiemann, Thomas (30 de marzo de 2020). "Gravedad cuántica canónica, QFT constructiva y renormalización". Frontiers in Physics . 8 : 457. arXiv : 2003.13622 . Bibcode :2020FrP.....8..457T. doi : 10.3389/fphy.2020.548232 .
2. York, James W. (28 de junio de 1971). "Grados de libertad gravitacionales y el problema del valor inicial". Physical Review Letters . 26 (26): 1656–1658. Código Bibliográfico :1971PhRvL..26.1656Y. doi :10.1103/PhysRevLett.26.1656.
3. Choquet-Bruhat, Y.; York, JW (1980). Held, A. (ed.). Relatividad general y gravitación . Nueva York: Plenum Press. doi :10.1002/asna.2103020310.
4. Wang, Charles H.-T. (15 de junio de 2005). "Geometrodinámica conforme: grados de libertad verdaderos en una estructura verdaderamente canónica". Physical Review D . 71 (12): 124026. arXiv : gr-qc/0501024 . Código Bibliográfico :2005PhRvD..71l4026W. doi :10.1103/PhysRevD.71.124026. S2CID  118968025.
5. Wang, Charles H.-T. (6 de octubre de 2005). "Formulación inequívoca de calibre de espín de la relatividad general canónica con invariancia de conformorfismo". Physical Review D . 72 (8): 087501. arXiv : gr-qc/0507044 . Código Bibliográfico :2005PhRvD..72h7501W. doi :10.1103/PhysRevD.72.087501. S2CID  34995566.
6. Wang, Charles; Stankiewicz, Marcin (10 de enero de 2020). "Cuantización del tiempo y el Big Bang a través de la gravedad de bucles invariante en escala". Physics Letters B . 800 : 135106. arXiv : 1910.03300 . Bibcode :2020PhLB..80035106W. doi : 10.1016/j.physletb.2019.135106 . ISSN  0370-2693.
7. Wang, Charles H.-T.; Rodrigues, Daniel PF (28 de diciembre de 2018). "Cerrando las brechas en el espacio y el tiempo cuánticos: Estructura de calibración de la gravitación aumentada conformemente". Physical Review D . 98 (12): 124041. arXiv : 1810.01232 . Bibcode :2018PhRvD..98l4041W. doi :10.1103/PhysRevD.98.124041. hdl : 2164/11713 . S2CID  118961037.

Fuentes

• Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, CW (2008). "La dinámica de la relatividad general". Relatividad general y gravitación . 40 (9): 1997–2027. arXiv : gr-qc/0405109 . Código Bibliográfico :2008GReGr..40.1997A. doi :10.1007/s10714-008-0661-1. S2CID  14054267.
• Witten, L. (1962). Gravitación: Introducción a la investigación actual . John Wiley & Sons . Págs. 227–265.
• Dirac, PAM (1958). "La teoría de la gravitación en forma hamiltoniana". Actas de la Royal Society of London A . 246 (1246): 333–343. Bibcode :1958RSPSA.246..333D. doi :10.1098/rspa.1958.0142. JSTOR  100497. S2CID  122053391.
• Dirac, PAM (1959). "Fijación de coordenadas en la teoría hamiltoniana de la gravitación". Physical Review . 114 (3): 924–930. Bibcode :1959PhRv..114..924D. doi :10.1103/PhysRev.114.924.
• Dirac, PAM (1964). Lecciones sobre mecánica cuántica . Universidad Yeshiva . ISBN. 0-387-51916-5.