Bucle de Wilson

Operador de bucle de campo de calibre

En la teoría cuántica de campos , los bucles de Wilson son operadores invariantes de calibre que surgen del transporte paralelo de variables de calibre alrededor de bucles cerrados . Codifican toda la información de calibre de la teoría, lo que permite la construcción de representaciones de bucles que describen completamente las teorías de calibre en términos de estos bucles. En la teoría de calibre pura desempeñan el papel de operadores de orden para el confinamiento , donde satisfacen lo que se conoce como ley del área. Formulados originalmente por Kenneth G. Wilson en 1974, se utilizaron para construir enlaces y plaquetas que son los parámetros fundamentales en la teoría del calibre de red . ^[1] Los bucles de Wilson pertenecen a la clase más amplia de operadores de bucles , siendo algunos otros ejemplos notables los bucles de 't Hooft , que son duales magnéticos de los bucles de Wilson, y los bucles de Polyakov , que son la versión térmica de los bucles de Wilson.

Definición

Una conexión de un haz principal con el espacio-tiempo separa el espacio tangente en cada punto a lo largo de la fibra en un subespacio vertical y un subespacio horizontal . Las curvas en el espacio-tiempo se elevan a curvas en el paquete principal cuyos vectores tangentes se encuentran en el subespacio horizontal. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle V_{p}}$ ${\displaystyle H_{p}}$

Para definir adecuadamente los bucles de Wilson en la teoría de calibre es necesario considerar la formulación de haces de fibras de las teorías de calibre. ^[2] Aquí, para cada punto en el espacio-tiempo dimensional, hay una copia del grupo calibre que forma lo que se conoce como fibra del haz de fibras . Estos haces de fibras se denominan haces principales . Localmente el espacio resultante parece, aunque globalmente puede tener alguna estructura retorcida dependiendo de cómo se peguen las diferentes fibras. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\times G}$

El problema que resuelven las líneas de Wilson es cómo comparar puntos de fibras en dos puntos espacio-temporales diferentes. Esto es análogo al transporte paralelo en la relatividad general , que compara vectores tangentes que viven en espacios tangentes en diferentes puntos. Para haces principales existe una forma natural de comparar diferentes puntos de fibra mediante la introducción de una conexión , lo que equivale a introducir un campo de calibre. Esto se debe a que una conexión es una forma de separar el espacio tangente del paquete principal en dos subespacios conocidos como subespacios vertical y horizontal. ^[3] El primero consta de todos los vectores que apuntan a lo largo de la fibra, mientras que el segundo consta de vectores que son perpendiculares a la fibra. Esto permite comparar los valores de las fibras en diferentes puntos del espacio-tiempo conectándolos con curvas en el haz principal cuyos vectores tangentes siempre viven en el subespacio horizontal, por lo que la curva siempre es perpendicular a cualquier fibra determinada. ${\displaystyle G}$

Si la fibra inicial está en coordenadas con un punto inicial de la identidad , entonces para ver cómo esto cambia cuando se mueve a otra coordenada espacio-temporal , es necesario considerar alguna curva espacio-temporal entre y . La curva correspondiente en el paquete principal, conocida como elevación horizontal de , es la curva tal que y que sus vectores tangentes siempre se encuentran en el subespacio horizontal. La formulación del haz de fibras de la teoría de calibre revela que el campo de calibre valorado en álgebra de Lie es equivalente a la conexión que define el subespacio horizontal, por lo que esto conduce a una ecuación diferencial para la elevación horizontal. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}=e}$ ${\displaystyle x_{f}}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{f}}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=g_{i}}$ ${\displaystyle A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}$

${\displaystyle i{\frac {dg(t)}{dt}}=A_{\mu }(x){\frac {dx^{\mu }}{dt}}g(t).}$

Esto tiene una solución formal única llamada línea de Wilson entre los dos puntos.

${\displaystyle g_{f}(t_{f})=W[x_{i},x_{f}]={\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\int _{x_{i}}^{x_{f}}A_{\mu }dx^{\mu }{\bigg )},}$

¿Dónde está el operador de ordenación de caminos , que es innecesario para las teorías abelianas ? La elevación horizontal que comienza en algún punto de fibra inicial distinto de la identidad simplemente requiere la multiplicación por el elemento inicial de la elevación horizontal original. De manera más general, se sostiene que si entonces para todos . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(0)={\tilde {\gamma }}(0)g}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(t)={\tilde {\gamma }}(t)g}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Bajo una transformación de ancho local, la línea Wilson se transforma como ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle W[x_{i},x_{f}]\rightarrow g(x_{f})W[x_{i},x_{f}]g^{-1}(x_{i}).}$

Esta propiedad de transformación de calibre se usa a menudo para introducir directamente la línea de Wilson en presencia de campos de materia que se transforman en la representación fundamental del grupo de calibre, donde la línea de Wilson es un operador que hace que la combinación de calibre sea invariante. ^[4] Permite la comparación del campo de materia en diferentes puntos de forma invariante de calibre. Alternativamente, las líneas de Wilson también se pueden introducir agregando una partícula de prueba infinitamente pesada cargada debajo del grupo medidor. Su carga forma un espacio de Hilbert interno cuantificado , que puede integrarse, dando como resultado la línea de Wilson como la línea mundial de la partícula de prueba. ^[5] Esto funciona en la teoría cuántica de campos, independientemente de que realmente haya algún contenido de materia en la teoría. Sin embargo, la conjetura del pantano conocida como conjetura de completitud afirma que en una teoría consistente de la gravedad cuántica , cada línea de Wilson y línea de 't Hooft de una carga particular consistente con la condición de cuantificación de Dirac debe tener una partícula correspondiente de esa carga presente en la teoría. ^[6] Desacoplar estas partículas tomando el límite de masa infinito ya no funciona ya que esto formaría agujeros negros . ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x_{i})^{\dagger }W[x_{i},x_{f}]\phi (x_{f})}$

La traza de las líneas cerradas de Wilson es una cantidad invariante de calibre conocida como bucle de Wilson.

${\displaystyle W[\gamma ]={\text{tr}}{\bigg [}{\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\oint _{\gamma }A_{\mu }dx^{\mu }{\bigg )}{\bigg ]}.}$

Matemáticamente, el término dentro de la traza se conoce como holonomía , que describe un mapeo de la fibra dentro de sí misma al elevarla horizontalmente a lo largo de un circuito cerrado. El conjunto de todas las holonomías forma en sí mismo un grupo , que para los paquetes principales debe ser un subgrupo del grupo de calibre. Los bucles de Wilson satisfacen la propiedad de reconstrucción donde conocer el conjunto de bucles de Wilson para todos los bucles posibles permite la reconstrucción de toda la información invariante de calibre sobre la conexión de calibre. ^[7] Formalmente, el conjunto de todos los bucles de Wilson forma una base sobrecompleta de soluciones a la restricción de la ley de Gauss.

El conjunto de todas las líneas de Wilson se corresponde uno a uno con las representaciones del grupo de calibre. Esto se puede reformular en términos del lenguaje de álgebra de Lie utilizando la red de pesos del grupo calibre . En este caso los tipos de bucles de Wilson están en correspondencia uno a uno con donde está el grupo Weyl . ^[8] ${\displaystyle \Lambda _{w}}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}/W}$ ${\displaystyle W}$

Operadores espaciales de Hilbert

Una visión alternativa de los bucles de Wilson es considerarlos como operadores que actúan sobre el espacio de estados de Hilbert en la firma de Minkowski . ^[5] Dado que el espacio de Hilbert vive en una única porción de tiempo, los únicos bucles de Wilson que pueden actuar como operadores en este espacio son los formados utilizando bucles espaciales . Dichos operadores crean un circuito cerrado de flujo eléctrico , que se puede ver al observar que el operador del campo eléctrico es distinto de cero en el circuito pero desaparece en todos los demás. Usando el teorema de Stokes se deduce que el bucle espacial mide el flujo magnético a través del bucle. ^[9] ${\displaystyle W[\gamma ]}$ ${\displaystyle E^{i}}$ ${\displaystyle E^{i}W[\gamma ]|0\rangle \neq 0}$

Operador de pedidos

Dado que las líneas temporales de Wilson corresponden a la configuración creada por quarks estacionarios infinitamente pesados, el bucle de Wilson asociado con un bucle rectangular con dos componentes temporales de longitud y dos componentes espaciales de longitud , puede interpretarse como un par quark -antiquark con una separación fija. Durante períodos prolongados, el valor esperado de vacío del bucle de Wilson proyecta el estado con la energía mínima , que es el potencial entre los quarks. ^[10] Los estados excitados con energía se suprimen exponencialmente con el tiempo, por lo que el valor esperado es el siguiente: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle V(r)+\Delta E}$

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-TV(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-T\Delta E})),}$

haciendo que el bucle de Wilson sea útil para calcular el potencial entre pares de quarks. Este potencial debe ser necesariamente una función cóncava y monótonamente creciente de la separación de quarks. ^{[11] [12]} Dado que los bucles de Wilson espaciales no son fundamentalmente diferentes de los temporales, el potencial de los quarks en realidad está directamente relacionado con la estructura pura de la teoría de Yang-Mills y es un fenómeno independiente del contenido de materia. ^[13]

El teorema de Elitzur asegura que los operadores locales invariantes sin calibre no pueden tener valores esperados distintos de cero. En su lugar, se deben utilizar operadores invariantes de calibre no locales como parámetros de orden para el confinamiento. El bucle de Wilson es exactamente un parámetro de orden en la teoría pura de Yang-Mills , donde en la fase de confinamiento su valor esperado sigue la ley del área ^[14]

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-aA[\gamma ]}}$

para un bucle que encierra un área . Esto se debe al potencial entre quarks de prueba infinitamente pesados, que en la fase de confinamiento se espera que crezca linealmente, lo que se conoce como tensión de la cuerda. Mientras tanto, en la fase de Higgs el valor esperado sigue la ley del perímetro. ${\displaystyle A[\gamma ]}$ ${\displaystyle V(r)\sim \sigma r}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-bL[\gamma ]},}$

donde es la longitud del perímetro del bucle y es una constante. La ley del área de los bucles de Wilson se puede utilizar para demostrar directamente el confinamiento en ciertas teorías de baja dimensión, como el modelo de Schwinger , cuyo confinamiento está impulsado por instantones . ^[15] ${\displaystyle L[\gamma ]}$ ${\displaystyle b}$

formulación de celosía

En la teoría de campos reticulares , las líneas y bucles de Wilson desempeñan un papel fundamental en la formulación de campos de calibre en la red . Las líneas de Wilson más pequeñas en la red, aquellas entre dos puntos de la red adyacentes, se conocen como enlaces, con un solo enlace que comienza desde un punto de la red y va en la dirección indicada por . Cuatro eslabones alrededor de un solo cuadrado se conocen como plaqueta y su traza forma el bucle de Wilson más pequeño. ^[16] Son estas plaquetas las que se utilizan para construir la acción de calibre de celosía conocida como acción de Wilson . Los bucles de Wilson más grandes se expresan como productos de variables de enlace a lo largo de algún bucle , indicado por ^[17] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U_{\mu }(n)}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L[U]={\text{tr}}{\bigg [}\prod _{n\in \gamma }U_{\mu }(n){\bigg ]}.}$

Estos bucles de Wilson se utilizan para estudiar numéricamente los potenciales de confinamiento y quarks . Las combinaciones lineales de bucles de Wilson también se utilizan como operadores de interpolación que dan lugar a estados de bola de pegamento . ^[18] Las masas de las bolas de pegamento se pueden extraer de la función de correlación entre estos interpoladores. ^[19]

La formulación reticular de los bucles de Wilson también permite una demostración analítica del confinamiento en la fase fuertemente acoplada , asumiendo la aproximación apagada donde se desprecian los bucles de quarks. ^[20] Esto se hace expandiendo la acción de Wilson como una serie de potencias de trazas de plaquetas, donde el primer término que no desaparece en el valor esperado del bucle de Wilson en una teoría de calibre da lugar a una ley de área con una tensión de cuerda. de la forma ^{[21] [22]} ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$

${\displaystyle \sigma =-{\frac {1}{a^{2}}}\ln {\bigg (}{\frac {\beta }{18}}{\bigg )}(1+{\mathcal {O}}(\beta )),}$

donde es la constante de acoplamiento inverso y es el espaciamiento de la red. Si bien este argumento es válido tanto para el caso abeliano como para el no abeliano, la electrodinámica compacta solo muestra confinamiento en un acoplamiento fuerte, existiendo una transición de fase a la fase de Coulomb en , dejando la teoría desconfinada en un acoplamiento débil. ^{[23] [24]} No se cree que exista tal transición de fase para las teorías de calibre a temperatura cero ; en cambio, exhiben confinamiento en todos los valores de la constante de acoplamiento. ${\displaystyle \beta =6/g^{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \beta \sim 1.01}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

Propiedades

Ecuación del bucle Makeenko-Migdal

De manera similar a la derivada funcional que actúa sobre funciones de funciones , las funciones de bucles admiten dos tipos de derivadas llamadas derivada de área y derivada de perímetro. Para definir el primero, considere un contorno y otro contorno que sea el mismo contorno pero con un bucle extra pequeño en el plano con área . Entonces la derivada de área del funcional de bucle se define mediante la misma idea que la derivada habitual, como la diferencia normalizada entre los funcionales de los dos bucles ^[25] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \delta \sigma _{\mu \nu }=dx_{\mu }\wedge dx_{\nu }}$ ${\displaystyle F[\gamma ]}$

${\displaystyle {\frac {\delta F[\gamma ]}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}={\frac {1}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}[F[\gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}]-F[\gamma ]].}$

La derivada del perímetro se define de manera similar por lo que ahora hay una ligera deformación del contorno que en la posición tiene un pequeño bucle de extrusión de longitud en la dirección y de área cero. La derivada del perímetro del bucle funcional se define entonces como ${\displaystyle \gamma _{\delta x_{\mu }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta x_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}F[\gamma ]={\frac {1}{\delta x_{\mu }}}[F[\gamma _{\delta x_{\mu }}]-F[\gamma ]].}$

En el límite N grande , el valor esperado de vacío del bucle de Wilson satisface una ecuación de forma funcional cerrada llamada ecuación de Makeenko-Migdal ^[26]

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}{\frac {\delta }{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}\langle W[\gamma ]\rangle =g^{2}N\oint _{\gamma }dy_{\nu }\delta ^{(D)}(x-y)\langle W[\gamma _{yx}]\rangle \langle W[\gamma _{xy}]\rangle .}$

Aquí hay una línea que no se cierra desde a , pero los dos puntos están cerca uno del otro. La ecuación también se puede escribir para finito , pero en este caso no factoriza y, en cambio, conduce a valores esperados de productos de bucles de Wilson, en lugar del producto de sus valores esperados. ^[27] Esto da lugar a una cadena infinita de ecuaciones acopladas para diferentes valores esperados del bucle de Wilson, análogas a las ecuaciones de Schwinger-Dyson . La ecuación de Makeenko-Migdal se ha resuelto exactamente en teoría bidimensional . ^[28] ${\displaystyle \gamma =\gamma _{xy}\cup \gamma _{yx}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\text{U}}(\infty )}$

Identidades de Mandelstam

Los grupos de calibre que admiten representaciones fundamentales en términos de matrices tienen bucles de Wilson que satisfacen un conjunto de identidades llamadas identidades de Mandelstam, y estas identidades reflejan las propiedades particulares del grupo de calibre subyacente. ^[29] Las identidades se aplican a bucles formados a partir de dos o más subbucles, siendo un bucle formado dando primero vueltas y luego vueltas . ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{2}\circ \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$

La identidad de Mandelstam del primer tipo establece que , siendo válido para cualquier grupo de calibre en cualquier dimensión. Las identidades de Mandelstam del segundo tipo se adquieren al observar que en las dimensiones, cualquier objeto con índices totalmente antisimétricos desaparece, lo que significa que . En la representación fundamental, las holonomías utilizadas para formar los bucles de Wilson son representaciones matriciales de los grupos de calibre. La contratación de holonomías con las funciones delta produce un conjunto de identidades entre bucles de Wilson. Estos se pueden escribir en términos de los objetos definidos iterativamente de modo que y ${\displaystyle W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]=W[\gamma _{2}\circ \gamma _{1}]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \delta _{[b_{1}}^{a_{1}}\delta _{b_{2}}^{a_{2}}\cdots \delta _{b_{N+1}]}^{a_{N+1}}=0}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle M_{K}}$ ${\displaystyle M_{1}[\gamma ]=W[\gamma ]}$

${\displaystyle (K+1)M_{K+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K+1}]=W[\gamma _{K+1}]M_{K}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K}]-M_{K}[\gamma _{1}\circ \gamma _{K+1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}]-\cdots -M_{K}[\gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}\circ \gamma _{K+1}].}$

En esta notación, las identidades de Mandelstam del segundo tipo son ^[30]

${\displaystyle M_{N+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{N+1}]=0.}$

Por ejemplo, para un grupo de calibres esto da . ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]}$

Si la representación fundamental son matrices de determinante unitario , entonces también se cumple . Por ejemplo, aplicar esta identidad a da ${\displaystyle M_{N}(\gamma ,\dots ,\gamma )=1}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$

${\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}^{-1}]+W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}].}$

Las representaciones fundamentales que constan de matrices unitarias satisfacen . Además, si bien la igualdad es válida para todos los grupos de calibre en las representaciones fundamentales, para los grupos unitarios también es válida . ${\displaystyle W[\gamma ]=W^{*}[\gamma ^{-1}]}$ ${\displaystyle W[I]=N}$ ${\displaystyle |W[\gamma ]|\leq N}$

Renormalización

Dado que los bucles de Wilson son operadores de los campos de calibre, la regularización y renormalización de los campos y acoplamientos de la teoría de Yang-Mills subyacentes no impide que los bucles de Wilson requieran correcciones de renormalización adicionales. En una teoría de Yang-Mills renormalizada, la forma particular en que se renormalizan los bucles de Wilson depende de la geometría del bucle bajo consideración. Las características principales son ^{[31] [32] [33] [34]}

• Curva suave que no se cruza: solo puede tener divergencias lineales proporcionales al contorno que se pueden eliminar mediante renormalización multiplicativa.
• Curva que no se cruza con cúspides : cada cúspide da como resultado un factor de renormalización multiplicativo local adicional que depende del ángulo de la cúspide . ${\displaystyle Z[\phi ]}$ ${\displaystyle \phi }$
• Autointersecciones: esto lleva a que el operador mezcle los bucles de Wilson asociados con el bucle completo y los subbucles.
• Segmentos en forma de luz: dan lugar a divergencias logarítmicas adicionales.

Aplicaciones adicionales

Amplitudes de dispersión

Los bucles de Wilson desempeñan un papel en la teoría de las amplitudes de dispersión, donde se ha encontrado un conjunto de dualidades entre ellos y tipos especiales de amplitudes de dispersión. ^[35] Estos se han sugerido por primera vez en un fuerte acoplamiento utilizando la correspondencia AdS/CFT . ^[36] Por ejemplo, en la teoría supersimétrica de Yang-Mills, las amplitudes que violan la helicidad máxima se factorizan en un componente a nivel de árbol y una corrección a nivel de bucle. ^[37] Esta corrección de nivel de bucle no depende de las helicidades de las partículas, pero se encontró que es dual a ciertos bucles poligonales de Wilson en el límite grande, hasta términos finitos. Si bien esta dualidad inicialmente solo se sugirió en el caso de violación de la helicidad máxima, existen argumentos de que puede extenderse a todas las configuraciones de helicidad definiendo generalizaciones supersimétricas apropiadas del bucle de Wilson. ^[38] ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ ${\displaystyle N}$

Compactificaciones de la teoría de cuerdas

En las teorías compactadas , los estados de campo de calibre en modo cero que son configuraciones de calibre localmente puras pero que globalmente no son equivalentes al vacío están parametrizados por líneas cerradas de Wilson en la dirección compacta. La presencia de estos en una teoría de cuerdas abiertas compactada es equivalente bajo T-dualidad a una teoría con D-branas no coincidentes , cuyas separaciones están determinadas por las líneas de Wilson. ^[39] Las líneas de Wilson también desempeñan un papel en las compactaciones orbifold donde su presencia conduce a un mayor control de la ruptura de la simetría del calibre, brindando un mejor manejo del grupo de calibre final ininterrumpido y también proporcionando un mecanismo para controlar el número de multipletes de materia que quedan después de la compactación. ^[40] Estas propiedades hacen que las líneas de Wilson sean importantes en la compactificación de las teorías de supercuerdas. ^{[41] [42]}

Teoría de campos topológicos

En una teoría de campo topológica , el valor esperado de los bucles de Wilson no cambia bajo deformaciones suaves del bucle ya que la teoría de campo no depende de la métrica . ^{[43] Por esta razón, los bucles de Wilson son} observables clave en estas teorías y se utilizan para calcular las propiedades globales de la variedad . En dimensiones, están estrechamente relacionados con la teoría de nudos, y el valor esperado de un producto de bucles depende únicamente de la estructura múltiple y de cómo se unen los bucles. Esto llevó a la famosa conexión hecha por Edward Witten donde utilizó bucles de Wilson en la teoría de Chern-Simons para relacionar su función de partición con los polinomios de Jones de la teoría de nudos. ^[44] ${\displaystyle 2+1}$

Ver también

• Número de bobinado

Referencias

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