En la teoría cuántica de campos y la teoría estadística de campos , el teorema de Elitzur establece que en las teorías de calibre , los únicos operadores que pueden tener valores esperados que no desaparecen son los que son invariantes bajo transformaciones de calibre locales. Una implicación importante es que la simetría de calibre no puede romperse espontáneamente . El teorema fue demostrado por primera vez en 1975 por Shmuel Elitzur en la teoría de campos reticulares , [1] aunque se espera que se mantenga el mismo resultado en el límite del continuo . El teorema muestra que la interpretación ingenua del mecanismo de Higgs como la ruptura espontánea de una simetría de calibre es incorrecta, aunque el fenómeno puede reformularse completamente en términos de cantidades invariantes de calibre en lo que se conoce como el mecanismo de Fröhlich-Morchio-Strocchi. [2]
Una teoría de campos admite diferentes tipos de simetrías , siendo las dos más comunes las simetrías globales y locales . Las simetrías globales son transformaciones de campos que actúan de la misma manera en todas partes, mientras que las simetrías locales actúan sobre los campos de manera dependiente de la posición. Estos últimos corresponden a redundancias en la descripción del sistema. Esto es una consecuencia del segundo teorema de Noether que establece que cada grado de libertad de simetría local corresponde a una relación entre las ecuaciones de Euler-Lagrange , lo que hace que el sistema esté subdeterminado . La subdeterminación requiere fijar el calibre de los grados de libertad que no se propagan para que las ecuaciones de movimiento admitan una solución única. [3]
La ruptura espontánea de simetría ocurre cuando la acción de una teoría tiene una simetría pero el estado de vacío viola esta simetría. En ese caso, existirá un operador local que no será invariante bajo la simetría, lo que le dará un valor esperado de vacío distinto de cero. Estos operadores locales no invariantes siempre tienen valores esperados de vacío que desaparecen para sistemas de tamaño finito, lo que prohíbe la ruptura espontánea de la simetría. Esto ocurre porque en grandes escalas de tiempo, los sistemas finitos siempre realizan una transición entre todos los estados fundamentales posibles, promediando el valor esperado del operador. [4]
Si bien puede ocurrir una ruptura espontánea de simetría en el caso de las simetrías globales, el teorema de Elitzur establece que no ocurre lo mismo con las simetrías de calibre; Todos los valores esperados de vacío de los operadores no invariantes de calibre están desapareciendo, incluso en sistemas de tamaño infinito. [5] En la red, esto se deriva del hecho de que la integración de observables no invariantes de calibre sobre una medida de grupo siempre produce cero para grupos de calibre compactos . [6] La positividad de la medida y la invariancia del calibre son suficientes para probar el teorema. [7] Esta es también una explicación de por qué las simetrías de calibre son meras redundancias en las teorías de campos reticulares, donde las ecuaciones de movimiento no necesitan definir un problema bien planteado ya que no necesitan ser resueltas. En cambio, el teorema de Elitzur muestra que cualquier observable que no sea invariante bajo la simetría tiene un valor esperado que desaparece, lo que lo hace inobservable y, por lo tanto, redundante.
Demostrar que un sistema admite una ruptura espontánea de la simetría requiere introducir un campo fuente externo débil que rompa la simetría y dé lugar a un estado fundamental preferido . Luego, el sistema se lleva al límite termodinámico, después del cual se apaga el campo fuente externo. Si el valor esperado de vacío de los operadores no invariantes de simetría es distinto de cero en este límite, entonces hay una ruptura espontánea de la simetría. [8] Físicamente significa que el sistema nunca abandona el estado fundamental original en el que fue colocado por el campo externo. Para las simetrías globales, esto ocurre porque la barrera de energía entre los distintos estados fundamentales es proporcional al volumen, por lo que en el límite termodinámico esto diverge, bloqueando el sistema en el estado fundamental. Las simetrías locales evitan esta construcción porque la barrera de energía entre dos estados fundamentales depende solo de características locales, por lo que las transiciones a estados fundamentales relacionados con diferentes calibres pueden ocurrir localmente y no requieren que el campo cambie en todas partes al mismo tiempo como lo hace para las simetrías globales.
El teorema tiene varias limitaciones. En particular, se permite la ruptura espontánea de una simetría de calibre en un sistema con infinitas dimensiones espaciales o una simetría con un número infinito de variables, ya que en estos casos existen infinitas barreras de energía entre configuraciones relacionadas con calibre. El teorema tampoco se aplica a los grados de libertad de calibre residuales [9] ni a las transformaciones de calibre grandes , [10] que, en principio, pueden romperse espontáneamente. Además, todas las pruebas actuales se basan en una formulación de teoría de campos reticulares, por lo que pueden no ser válidas en una teoría de campos continua genuina. Por lo tanto, en principio es plausible que puedan existir teorías del continuo exóticas para las cuales las simetrías de calibre pueden romperse espontáneamente, aunque tal escenario sigue siendo improbable debido a la ausencia de ejemplos conocidos.
La clasificación de fases de Landau utiliza valores esperados de los operadores locales para determinar la fase del sistema. Sin embargo, el teorema de Elitzur muestra que este enfoque es inadmisible en ciertos sistemas, como las teorías de Yang-Mills , en las que ningún operador local puede actuar como operador de órdenes de confinamiento . En cambio, para eludir el teorema es necesario construir operadores invariantes de calibre no locales, cuyos valores esperados no necesitan ser cero. Los más comunes son los bucles de Wilson y sus equivalentes térmicos, los bucles de Polyakov . Otro operador no local que actúa como operador de órdenes es el bucle 't Hooft .
Dado que las simetrías de calibre no pueden romperse espontáneamente, esto pone en duda la validez del mecanismo de Higgs. En la presentación habitual, el campo de Higgs tiene un potencial que parece darle al campo de Higgs un valor esperado de vacío que no desaparece. Sin embargo, esto es simplemente una consecuencia de imponer una fijación de calibre, normalmente el calibre unitario . Cualquier valor del valor esperado de vacío se puede adquirir mediante una elección adecuada de fijación del calibre. Calcular el valor esperado de forma invariante de calibre siempre da cero, de acuerdo con el teorema de Elitzur. Sin embargo, el mecanismo de Higgs se puede reformular completamente de forma invariante de calibre en lo que se conoce como mecanismo de Fröhlich-Morchio-Strocchi, que no implica la ruptura espontánea de ninguna simetría. [11] Para los grupos de calibre no abelianos que tienen un subgrupo , este mecanismo concuerda con el mecanismo de Higgs, pero para otros grupos de calibre pueden aparecer discrepancias entre los dos enfoques.
El teorema de Elitzur también se puede generalizar a una noción más amplia de simetrías locales donde, en un espacio D-dimensional, puede haber simetrías que actúan uniformemente en un hiperplano d-dimensional . Desde este punto de vista, las simetrías globales actúan en hiperplanos de dimensión D, mientras que las simetrías locales actúan en los de dimensión 0. El teorema de Elitzur generalizado proporciona límites a los valores esperados de vacío de los operadores que no son invariantes bajo tales simetrías d-dimensionales. [12] Este teorema tiene numerosas aplicaciones en sistemas de materia condensada donde aparecen tales simetrías.
