De manera más general, para un objeto de alguna categoría , un automorfismo es un morfismo del objeto respecto de sí mismo que tiene un morfismo inverso; es decir, un morfismo es un automorfismo si existe un morfismo tal que donde está el morfismo de identidad de X. Para estructuras algebraicas, las dos definiciones son equivalentes; En este caso, el morfismo de identidad es simplemente la función de identidad y, a menudo, se denomina automorfismo trivial.
Grupo de automorfismo
Los automorfismos de un objeto X forman un grupo bajo composición de morfismos , que se denomina grupo de automorfismos de X. Esto resulta directamente de la definición de una categoría.
El grupo de automorfismo de un objeto X en una categoría C a menudo se denota como Aut C ( X ), o simplemente Aut( X ) si la categoría se desprende del contexto.
Ejemplos
En teoría de conjuntos , una permutación arbitraria de los elementos de un conjunto X es un automorfismo. El grupo de automorfismo de X también se llama grupo simétrico en X.
En aritmética elemental , el conjunto de números enteros , Z , considerados como un grupo bajo suma, tiene un automorfismo no trivial único: la negación. Sin embargo, considerado como un anillo, sólo tiene un automorfismo trivial. En términos generales, la negación es un automorfismo de cualquier grupo abeliano , pero no de un anillo o campo.
Un automorfismo de grupo es un isomorfismo de grupo de un grupo a sí mismo. Informalmente, es una permutación de los elementos del grupo de modo que la estructura permanece sin cambios. Para cada grupo G existe un homomorfismo de grupo natural G → Aut( G ) cuya imagen es el grupo Inn( G ) de automorfismos internos y cuyo núcleo es el centro de G . Por tanto, si G tiene un centro trivial , puede incluirse en su propio grupo de automorfismos. [1]
El cuerpo de los números racionales no tiene otro automorfismo que el de identidad, ya que un automorfismo debe fijar la identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 ; la suma de un número finito de 1 debe ser fija, así como los inversos aditivos de estas sumas (es decir, el automorfismo fija todos los números enteros ); finalmente, dado que todo número racional es el cociente de dos números enteros, todos los números racionales deben fijarse mediante cualquier automorfismo.
El campo de los números reales no tiene otro automorfismo que el de la identidad. De hecho, los números racionales deben fijarse mediante cada automorfismo, como se indicó anteriormente; un automorfismo debe preservar las desigualdades ya que es equivalente y esta última propiedad es preservada por todo automorfismo; finalmente todo número real debe ser fijo ya que es el límite superior mínimo de una secuencia de números racionales.
El grupo de automorfismos de los cuaterniones ( H ) como anillo son los automorfismos internos, según el teorema de Skolem-Noether : mapas de la forma a ↦ bab −1 . [4] Este grupo es isomorfo a SO(3) , el grupo de rotaciones en el espacio tridimensional.
En teoría de grafos, un automorfismo de un gráfico es una permutación de los nodos que preserva los bordes y los no bordes. En particular, si dos nodos están unidos por una arista, también lo están sus imágenes bajo la permutación.
En geometría , un automorfismo puede denominarse movimiento del espacio. También se utiliza terminología especializada:
Un automorfismo de una variedad diferenciable M es un difeomorfismo de M hacia sí mismo. El grupo de automorfismo a veces se denomina Diff( M ).
En topología , los morfismos entre espacios topológicos se denominan mapas continuos , y un automorfismo de un espacio topológico es un homeomorfismo del espacio respecto de sí mismo, o autohomeomorfismo (ver grupo de homeomorfismos ). En este ejemplo no basta con que un morfismo sea biyectivo para ser isomorfismo.
Historia
Uno de los primeros automorfismos de grupo (automorfismo de un grupo, no simplemente un grupo de automorfismos de puntos) fue dado por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856, en su cálculo icosiano , donde descubrió un automorfismo de orden dos, [5] escribiendo :
de modo que se trata de una nueva raíz quinta de unidad, conectada con la raíz quinta anterior por relaciones de perfecta reciprocidad.
Automorfismos internos y externos.
En algunas categorías, en particular grupos , anillos y álgebras de Lie , es posible separar los automorfismos en dos tipos, llamados automorfismos "internos" y "externos".
En el caso de grupos, los automorfismos internos son las conjugaciones de los elementos del propio grupo. Para cada elemento a de un grupo G , la conjugación por a es la operación φ a : G → G dada por φ a ( g ) = aga −1 (o a −1 ga ; el uso varía). Se puede comprobar fácilmente que la conjugación por a es un automorfismo de grupo. Los automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut( G ), denotado por Inn( G ); esto se llama lema de Goursat .
Los demás automorfismos se denominan automorfismos externos . El grupo cociente Aut( G ) / Inn( G ) normalmente se denota por Out( G ); los elementos no triviales son las clases laterales que contienen los automorfismos externos.
^ PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorfismos". Fundamentos matemáticos de la ingeniería computacional (edición de traducción de Felix Pahl). Saltador. pag. 376.ISBN 3-540-67995-2.
^ Yale, Paul B. (mayo de 1966). «Automorfismos de los Números Complejos» (PDF) . Revista Matemáticas . 39 (3): 135-141. doi :10.2307/2689301. JSTOR 2689301.
^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2ª ed.), Cambridge University Press, págs. 22-23, ISBN0-521-00551-5
^ Señor William Rowan Hamilton (1856). «Memorando respecto de un nuevo Sistema de Raíces de Unidad» (PDF) . Revista Filosófica . 12 : 446. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.