Álgebra de Lie

Algebraic structure used in analysis

En matemáticas , un álgebra de Lie (pronunciado / l iː / LEE ) es un espacio vectorial junto con una operación llamada corchete de Lie , una función bilineal alternada , que satisface la identidad de Jacobi . En otras palabras, un álgebra de Lie es un álgebra sobre un cuerpo para el cual la operación de multiplicación (llamada corchete de Lie) es alternada y satisface la identidad de Jacobi. El corchete de Lie de dos vectores y se denota . Un álgebra de Lie es típicamente un álgebra no asociativa . Sin embargo, cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie, que consiste en el mismo espacio vectorial con el corchete de Lie conmutador , . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

Las álgebras de Lie están estrechamente relacionadas con los grupos de Lie , que son grupos que también son variedades suaves : cada grupo de Lie da lugar a un álgebra de Lie, que es el espacio tangente en la identidad. (En este caso, el corchete de Lie mide la falla de conmutatividad para el grupo de Lie). Por el contrario, para cualquier álgebra de Lie de dimensión finita sobre los números reales o complejos , existe un grupo de Lie conexo correspondiente , único hasta cubrir espacios ( tercer teorema de Lie ). Esta correspondencia permite estudiar la estructura y clasificación de los grupos de Lie en términos de álgebras de Lie, que son objetos más simples del álgebra lineal.

En más detalle: para cualquier grupo de Lie, la operación de multiplicación cerca del elemento identidad 1 es conmutativa de primer orden. En otras palabras, cada grupo de Lie G es (de primer orden) aproximadamente un espacio vectorial real, es decir, el espacio tangente a G en la identidad. De segundo orden, la operación de grupo puede ser no conmutativa, y los términos de segundo orden que describen la no conmutatividad de G cerca de la identidad dan la estructura de un álgebra de Lie. Es un hecho notable que estos términos de segundo orden (el álgebra de Lie) determinan completamente la estructura de grupo de G cerca de la identidad. Incluso determinan a G globalmente, hasta cubrir espacios. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En física, los grupos de Lie aparecen como grupos de simetría de sistemas físicos, y sus álgebras de Lie (vectores tangentes cerca de la identidad) pueden considerarse como movimientos de simetría infinitesimal. Por ello, las álgebras de Lie y sus representaciones se utilizan ampliamente en física, en particular en mecánica cuántica y física de partículas.

Un ejemplo elemental (que no proviene directamente de un álgebra asociativa) es el espacio tridimensional con corchete de Lie definido por el producto vectorial. Este es antisimétrico ya que , y en lugar de asociatividad satisface la identidad de Jacobi: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [x,y]=x\times y.}$ ${\displaystyle x\times y=-y\times x}$

${\displaystyle x\times (y\times z)+\ y\times (z\times x)+\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

Esta es el álgebra de Lie del grupo de Lie de rotaciones del espacio , y cada vector puede representarse como una rotación infinitesimal alrededor del eje , con una velocidad angular igual a la magnitud de . El corchete de Lie es una medida de la no conmutatividad entre dos rotaciones. Dado que una rotación conmuta consigo misma, se tiene la propiedad alternante . ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle [x,x]=x\times x=0}$

Historia

Las álgebras de Lie fueron introducidas para estudiar el concepto de transformaciones infinitesimales por Sophus Lie en la década de 1870, ^[1] y descubiertas independientemente por Wilhelm Killing ^[2] en la década de 1880. El nombre álgebra de Lie fue dado por Hermann Weyl en la década de 1930; en textos más antiguos, se usaba el término grupo infinitesimal .

Definición de álgebra de Lie

Un álgebra de Lie es un espacio vectorial sobre un cuerpo junto con una operación binaria llamada corchete de Lie, que satisface los siguientes axiomas: ^[a] ${\displaystyle \,{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

• Bilinealidad ,

${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],}$

${\displaystyle [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

para todos los escalares en y todos los elementos en . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• La propiedad alternante ,

${\displaystyle [x,x]=0\ }$

para todos en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• La identidad de Jacobi ,

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\ }$

para todos en . ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Dado un grupo de Lie, la identidad de Jacobi para su álgebra de Lie se deduce de la asociatividad de la operación del grupo.

El uso de la bilinealidad para expandir el corchete de Lie y el uso de la propiedad alternante muestran que para todos en . Por lo tanto, la bilinealidad y la propiedad alternante juntas implican ${\displaystyle [x+y,x+y]}$ ${\displaystyle [x,y]+[y,x]=0}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Anticonmutatividad ,

${\displaystyle [x,y]=-[y,x],\ }$

para todo en . Si el campo no tiene característica 2, entonces la anticonmutatividad implica la propiedad alternante, ya que implica ^[3] ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,x]=-[x,x].}$

Se acostumbra a denotar un álgebra de Lie con una letra fraktur minúscula, como . Si un álgebra de Lie está asociada a un grupo de Lie, entonces el álgebra se denota con la versión fraktur del nombre del grupo: por ejemplo, el álgebra de Lie de SU( n ) es . ${\displaystyle {\mathfrak {g,h,b,n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Generadores y dimensión

La dimensión de un álgebra de Lie sobre un cuerpo significa su dimensión como un espacio vectorial . En física, una base de espacio vectorial del álgebra de Lie de un grupo de Lie G puede llamarse un conjunto de generadores para G . (Son "generadores infinitesimales" para G , por así decirlo). En matemáticas, un conjunto S de generadores para un álgebra de Lie significa un subconjunto de tal que cualquier subálgebra de Lie (como se define a continuación) que contenga S debe ser todo de . Equivalentemente, está abarcado (como un espacio vectorial) por todos los corchetes iterados de elementos de S . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ejemplos básicos

Álgebras de Lie abelianas

Cualquier espacio vectorial dotado del corchete de Lie idéntico a cero se convierte en un álgebra de Lie. Este tipo de álgebra de Lie se denomina abeliana . Toda álgebra de Lie unidimensional es abeliana, por la propiedad alternante del corchete de Lie. ${\displaystyle V}$

El álgebra de Lie de matrices

• En un álgebra asociativa sobre un cuerpo con multiplicación escrita como , se puede definir un corchete de Lie mediante el conmutador . Con este corchete, es un álgebra de Lie. (La identidad de Jacobi se deduce de la asociatividad de la multiplicación sobre .) ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• El anillo de endomorfismo de un espacio vectorial con el corchete de Lie anterior se denota . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$
• Para un cuerpo F y un entero positivo n , el espacio de matrices n × n sobre F , denotado o , es un álgebra de Lie con corchete dado por el conmutador de matrices: . ^[5] Este es un caso especial del ejemplo anterior; es un ejemplo clave de un álgebra de Lie. Se llama álgebra de Lie lineal general . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

Cuando F son los números reales, es el álgebra de Lie del grupo lineal general , el grupo de matrices reales invertibles n x n (o equivalentemente, matrices con determinante distinto de cero ), donde la operación de grupo es la multiplicación de matrices. Asimismo, es el álgebra de Lie del grupo de Lie complejo . El corchete de Lie en describe la falla de la conmutatividad para la multiplicación de matrices, o equivalentemente para la composición de aplicaciones lineales . Para cualquier cuerpo F , puede verse como el álgebra de Lie del grupo algebraico sobre F . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$

Definiciones

Subálgebras, ideales y homomorfismos

No se requiere que el corchete de Lie sea asociativo , lo que significa que no necesita ser igual a . No obstante, gran parte de la terminología para anillos y álgebras asociativas (y también para grupos) tiene análogos para las álgebras de Lie. Una subálgebra de Lie es un subespacio lineal que está cerrado bajo el corchete de Lie. Un ideal es un subespacio lineal que satisface la condición más fuerte: ^[6] ${\displaystyle [[x,y],z]}$ ${\displaystyle [x,[y,z]]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.}$

En la correspondencia entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie, los subgrupos corresponden a las subálgebras de Lie y los subgrupos normales corresponden a los ideales.

Un homomorfismo del álgebra de Lie es una función lineal compatible con los respectivos corchetes de Lie:

${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.}$

Un isomorfismo de las álgebras de Lie es un homomorfismo biyectivo .

Al igual que con los subgrupos normales en grupos, los ideales en las álgebras de Lie son precisamente los núcleos de los homomorfismos. Dada una álgebra de Lie y un ideal en ella, se define el álgebra de Lie cociente , con un homomorfismo sobreyectivo de álgebras de Lie. El primer teorema de isomorfismo se cumple para las álgebras de Lie: para cualquier homomorfismo de álgebras de Lie, la imagen de es una subálgebra de Lie de que es isomorfa a . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\text{ker}}(\phi )}$

Para el álgebra de Lie de un grupo de Lie, el corchete de Lie es una especie de conmutador infinitesimal. Como resultado, para cualquier álgebra de Lie, se dice que dos elementos conmutan si su corchete se anula: . ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,y]=0}$

El subálgebra centralizador de un subconjunto es el conjunto de elementos que conmutan con : es decir, . El centralizador de sí mismo es el centro . De manera similar, para un subespacio S , el subálgebra normalizador de es . ^[7] Si es un subálgebra de Lie, es el subálgebra más grande tal que es un ideal de . ${\displaystyle S\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$

Ejemplo

El subespacio de matrices diagonales en es una subálgebra de Lie abeliana. (Es una subálgebra de Cartan de , análoga a un toro maximalista en la teoría de grupos de Lie compactos ). Aquí no hay un ideal en para . Por ejemplo, cuando , esto se deduce del cálculo: ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(y-x)\\c(x-y)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

(que no siempre está en ). ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{2}}$

Cada subespacio lineal unidimensional de un álgebra de Lie es un subálgebra de Lie abeliana, pero no necesita ser un ideal. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Producto y producto semidirecto

Para dos álgebras de Lie y , el producto del álgebra de Lie es el espacio vectorial que consta de todos los pares ordenados , con corchete de Lie ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle (x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}}$

${\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']).}$

Este es el producto de la categoría de álgebras de Lie. Nótese que las copias de y en conmutan entre sí: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}$

Sea un álgebra de Lie y un ideal de . Si la función canónica se desdobla (es decir, admite una sección , como un homomorfismo de las álgebras de Lie), entonces se dice que es un producto semidirecto de y , . Véase también suma semidirecta de las álgebras de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}}$

Derivaciones

Para un álgebra A sobre un cuerpo F , una derivación de A sobre F es una función lineal que satisface la regla de Leibniz. ${\displaystyle D\colon A\to A}$

${\displaystyle D(xy)=D(x)y+xD(y)}$

para todo . (La definición tiene sentido para un álgebra posiblemente no asociativa .) Dadas dos derivaciones y , su conmutador es nuevamente una derivación. Esta operación convierte el espacio de todas las derivaciones de A sobre F en un álgebra de Lie. ^[9] ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle [D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$

Hablando informalmente, el espacio de derivaciones de A es el álgebra de Lie del grupo de automorfismos de A . (Esto es literalmente cierto cuando el grupo de automorfismos es un grupo de Lie, por ejemplo cuando F son los números reales y A tiene dimensión finita como espacio vectorial). Por esta razón, los espacios de derivaciones son una forma natural de construir álgebras de Lie: son los "automorfismos infinitesimales" de A . De hecho, escribir la condición de que

${\displaystyle (1+\epsilon D)(xy)\equiv (1+\epsilon D)(x)\cdot (1+\epsilon D)(y){\pmod {\epsilon ^{2}}}}$

(donde 1 denota el mapa identidad en A ) da exactamente la definición de D siendo una derivación.

Ejemplo: el álgebra de Lie de los cuerpos vectoriales. Sea A el anillo de funciones suaves sobre una variedad suave X . Entonces una derivación de A sobre es equivalente a un cuerpo vectorial sobre X . (Un cuerpo vectorial v da una derivación del espacio de funciones suaves al derivar funciones en la dirección de v .) Esto convierte al espacio de cuerpos vectoriales en un álgebra de Lie (véase corchete de Lie de cuerpos vectoriales ). ^[10] Hablando informalmente, es el álgebra de Lie del grupo de difeomorfismos de X . Por lo tanto, el corchete de Lie de cuerpos vectoriales describe la no conmutatividad del grupo de difeomorfismos. Una acción de un grupo de Lie G sobre una variedad X determina un homomorfismo de álgebras de Lie . (A continuación se ilustra un ejemplo). ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\text{Vect}}(X)}$

Un álgebra de Lie puede considerarse como un álgebra no asociativa, y por lo tanto cada álgebra de Lie sobre un cuerpo F determina su álgebra de Lie de derivaciones, . Es decir, una derivación de es una función lineal tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)]}$.

La derivación interna asociada a cualquier es la función adjunta definida por . (Esta es una derivación como consecuencia de la identidad de Jacobi). Esto da un homomorfismo de álgebras de Lie, . La imagen es un ideal en , y el álgebra de Lie de derivaciones externas se define como el álgebra de Lie cociente, . (Esto es exactamente análogo al grupo de automorfismos externos de un grupo). Para un álgebra de Lie semisimple (definida a continuación) sobre un cuerpo de característica cero, cada derivación es interna. ^[11] Esto está relacionado con el teorema de que el grupo de automorfismos externos de un grupo de Lie semisimple es finito. ^[12] ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Out}}_{F}({\mathfrak {g}})={\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})/{\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$

Por el contrario, un álgebra de Lie abeliana tiene muchas derivaciones externas. Es decir, para un espacio vectorial con corchete de Lie cero, el álgebra de Lie se puede identificar con . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\text{Out}}_{F}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Ejemplos

Álgebras de Lie matriciales

Un grupo de matrices es un grupo de Lie que consiste en matrices invertibles, , donde la operación de grupo de G es la multiplicación de matrices. El álgebra de Lie correspondiente es el espacio de matrices que son vectores tangentes a G dentro del espacio lineal : esto consiste en derivadas de curvas suaves en G en la matriz identidad : ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {R} ):{\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.}$

El corchete de Lie de está dado por el conmutador de matrices, . Dada un álgebra de Lie , se puede recuperar el grupo de Lie como el subgrupo generado por la matriz exponencial de elementos de . ^[13] (Para ser precisos, esto da el componente identidad de G , si G no está conectado). Aquí la función exponencial está definida por , que converge para cada matriz . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {R} )\to M_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+{\tfrac {1}{3!}}X^{3}+\cdots }$ ${\displaystyle X}$

Los mismos comentarios se aplican a los subgrupos de Lie complejos de y a la matriz compleja exponencial (definida por la misma fórmula). ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )}$

A continuación se presentan algunos grupos de Lie matriciales y sus álgebras de Lie. ^[14]

• Para un entero positivo n , el grupo lineal especial consiste en todas las matrices reales n  ×  n con determinante 1. Este es el grupo de aplicaciones lineales de a sí mismo que preservan el volumen y la orientación . Más abstractamente, es el subgrupo conmutador del grupo lineal general . Su álgebra de Lie consiste en todas las matrices reales n  ×  n con traza 0. De manera similar, se puede definir el grupo de Lie complejo análogo y su álgebra de Lie . ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\rm {SL}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$
• El grupo ortogonal juega un papel básico en geometría: es el grupo de aplicaciones lineales de a sí mismo que preservan la longitud de los vectores. Por ejemplo, las rotaciones y las reflexiones pertenecen a . Equivalentemente, este es el grupo de matrices ortogonales n x n , lo que significa que , donde denota la transpuesta de una matriz. El grupo ortogonal tiene dos componentes conexos; el componente identidad se llama grupo ortogonal especial , que consiste en las matrices ortogonales con determinante 1. Ambos grupos tienen el mismo álgebra de Lie , el subespacio de matrices antisimétricas en ( ). Véase también rotaciones infinitesimales con matrices antisimétricas . ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1}}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X^{\rm {T}}=-X}$

El grupo ortogonal complejo , su componente identidad y el álgebra de Lie se dan mediante las mismas fórmulas aplicadas a matrices complejas de n x n . De manera equivalente, es el subgrupo de que conserva la forma bilineal simétrica estándar en . ${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• El grupo unitario es el subgrupo de que preserva la longitud de los vectores en (con respecto al producto interno hermítico estándar ). Equivalentemente, este es el grupo de matrices unitarias n  ×  n (que satisfacen , donde denota la transpuesta conjugada de una matriz). Su álgebra de Lie consiste en las matrices antihermíticas en ( ). Esta es un álgebra de Lie sobre , no sobre . (De hecho, i veces una matriz antihermítica es hermítica, en lugar de antihermítica). Del mismo modo, el grupo unitario es un subgrupo de Lie real del grupo de Lie complejo . Por ejemplo, es el grupo del círculo , y su álgebra de Lie (desde este punto de vista) es . ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X^{*}=-X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle i\mathbb {R} \subset \mathbb {C} ={\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )}$
• El grupo unitario especial es el subgrupo de matrices con determinante 1 en . Su álgebra de Lie consiste en las matrices antihermíticas con traza cero. ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {su} (n)}$
• El grupo simpléctico es el subgrupo de que conserva la forma bilineal alternada estándar en . Su álgebra de Lie es el álgebra de Lie simpléctica . ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$
• Las álgebras de Lie clásicas son las enumeradas anteriormente, junto con variantes sobre cualquier campo.

Dos dimensiones

Aquí se describen algunas álgebras de Lie de baja dimensión. Véase la clasificación de álgebras de Lie reales de baja dimensión para obtener más ejemplos.

• Existe una única álgebra de Lie no abeliana de dimensión 2 sobre cualquier cuerpo F , hasta isomorfismo. ^[15] Aquí tiene una base para la cual el corchete está dado por . (Esto determina completamente el corchete de Lie, porque los axiomas implican que y .) Sobre los números reales, puede verse como el álgebra de Lie del grupo de Lie de transformaciones afines de la línea real, . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \left[X,Y\right]=Y}$ ${\displaystyle [X,X]=0}$ ${\displaystyle [Y,Y]=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Aff} (1,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$

El grupo afín G puede identificarse con el grupo de matrices

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)}$

bajo la multiplicación de matrices, con , . Su álgebra de Lie es la subálgebra de Lie de que consta de todas las matrices ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}c&d\\0&0\end{array}}\right).}$

En estos términos, la base anterior viene dada por las matrices ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad Y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).}$

Para cualquier cuerpo , el subespacio unidimensional es un ideal en el álgebra de Lie bidimensional , por la fórmula . Ambas álgebras de Lie y son abelianas (porque son unidimensionales). En este sentido, se puede dividir en "partes" abelianas, lo que significa que es resoluble (aunque no nilpotente), en la terminología que se describe a continuación. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\cdot Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=Y\in F\cdot Y}$ ${\displaystyle F\cdot Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/(F\cdot Y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Tres dimensiones

• El álgebra de Heisenberg sobre un cuerpo F es el álgebra de Lie tridimensional con una base tal que ^[16] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

${\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0}$.

Puede verse como el álgebra de Lie de matrices estrictamente triangulares superiores de 3 × 3 , con el corchete de Lie del conmutador y la base

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Sobre los números reales, está el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg , es decir, el grupo de matrices ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)}$

bajo la multiplicación de matrices.

Para cualquier cuerpo F , el centro de es el ideal unidimensional , y el cociente es abeliano, isomorfo a . En la terminología que sigue, se deduce que es nilpotente (aunque no abeliano). ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$ ${\displaystyle F\cdot Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)/(F\cdot Z)}$ ${\displaystyle F^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$

• El álgebra de Lie del grupo de rotación SO(3) es el espacio de matrices antisimétricas de 3 x 3 sobre . Las tres matrices dan una base ^[17] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Las relaciones de conmutación entre estos generadores son

${\displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},}$

${\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},}$

${\displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.}$

El producto vectorial de los vectores en se obtiene con la misma fórmula en términos de la base estándar, de modo que el álgebra de Lie es isomorfa a . Además, es equivalente a los operadores de componentes de momento angular de Spin (física) para partículas de espín 1 en mecánica cuántica . ^[18] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

El álgebra de Lie no se puede dividir en pedazos como en los ejemplos anteriores: es simple , lo que significa que no es abeliana y sus únicos ideales son 0 y todos los . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

• Otra álgebra de Lie sencilla de dimensión 3, en este caso sobre , es el espacio de matrices 2 x 2 de traza cero. Una base viene dada por las tres matrices ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right),\ E=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right),\ F=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right).}$

La acción de sobre la esfera de Riemann . En particular, los corchetes de Lie de los campos vectoriales mostrados son: , , . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle [H,E]=2E}$ ${\displaystyle [H,F]=-2F}$ ${\displaystyle [E,F]=H}$

El corchete de Lie viene dado por:

${\displaystyle [H,E]=2E,}$

${\displaystyle [H,F]=-2F,}$

${\displaystyle [E,F]=H.}$

Usando estas fórmulas, se puede demostrar que el álgebra de Lie es simple y clasificar sus representaciones de dimensión finita (definidas a continuación). ^[19] En la terminología de la mecánica cuántica, se puede pensar en E y F como operadores de elevación y descenso . De hecho, para cualquier representación de , las relaciones anteriores implican que E mapea el c - espacio propio de H (para un número complejo c ) en el - espacio propio, mientras que F mapea el c - espacio propio en el - espacio propio. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle (c+2)}$ ${\displaystyle (c-2)}$

El álgebra de Lie es isomorfa a la complejización de , es decir, al producto tensorial . Las fórmulas para el corchete de Lie son más fáciles de analizar en el caso de . Como resultado, es común analizar representaciones complejas del grupo relacionándolas con representaciones del álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Dimensiones infinitas

• El álgebra de Lie de campos vectoriales en una variedad suave de dimensión positiva es un álgebra de Lie de dimensión infinita sobre . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Las álgebras de Kac-Moody son una clase grande de álgebras de Lie de dimensión infinita, digamos sobre , con una estructura muy similar a la de las álgebras de Lie simples de dimensión finita (como ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$
• El álgebra de Moyal es un álgebra de Lie de dimensión infinita que contiene todas las álgebras de Lie clásicas como subálgebras.
• El álgebra de Virasoro es importante en la teoría de cuerdas .
• El funtor que lleva un álgebra de Lie sobre un cuerpo F al espacio vectorial subyacente tiene un adjunto izquierdo , llamado álgebra de Lie libre sobre un espacio vectorial V. Está abarcado por todos los corchetes de Lie iterados de elementos de V , módulo solamente las relaciones que provienen de la definición de un álgebra de Lie. El álgebra de Lie libre es de dimensión infinita para V de dimensión al menos 2. ^[20] ${\displaystyle V\mapsto L(V)}$ ${\displaystyle L(V)}$

Representaciones

Definiciones

Dado un espacio vectorial V , denotemos el álgebra de Lie que consiste en todas las funciones lineales de V sobre sí misma, con el corchete dado por . Una representación de un álgebra de Lie sobre V es un homomorfismo de álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

Es decir, envía cada elemento de una función lineal de V a sí mismo, de tal manera que el corchete de Lie en corresponde al conmutador de funciones lineales. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Se dice que una representación es fiel si su núcleo es cero. El teorema de Ado establece que toda álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero tiene una representación fiel en un espacio vectorial de dimensión finita. Kenkichi Iwasawa extendió este resultado a álgebras de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de cualquier característica. ^[21] De manera equivalente, toda álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo F es isomorfa a una subálgebra de Lie de para algún entero positivo n . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$

Representación adjunta

Para cualquier álgebra de Lie , la representación adjunta es la representación ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

dada por . (Esta es una representación de por la identidad de Jacobi.) ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Objetivos de la teoría de la representación

Un aspecto importante del estudio de las álgebras de Lie (especialmente las álgebras de Lie semisimples, como se definen a continuación) es el estudio de sus representaciones. Aunque el teorema de Ado es un resultado importante, el objetivo principal de la teoría de la representación no es encontrar una representación fiel de un álgebra de Lie dada . De hecho, en el caso semisimple, la representación adjunta ya es fiel. Más bien, el objetivo es comprender todas las representaciones posibles de . Para un álgebra de Lie semisimple sobre un cuerpo de característica cero, el teorema de Weyl ^[22] dice que cada representación de dimensión finita es una suma directa de representaciones irreducibles (aquellas sin subespacios invariantes no triviales). Las representaciones irreducibles de dimensión finita se entienden bien desde varios puntos de vista; consulte la teoría de la representación de las álgebras de Lie semisimples y la fórmula de caracteres de Weyl . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Álgebra envolvente universal

El funtor que toma un álgebra asociativa A sobre un cuerpo F a A como un álgebra de Lie (por ) tiene un adjunto izquierdo , llamado álgebra envolvente universal . Para construir esto: dada un álgebra de Lie sobre F , sea ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=F\oplus {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus \cdots }$

sea ​​el álgebra tensorial en , también llamada álgebra asociativa libre en el espacio vectorial . Aquí denota el producto tensorial de F -espacios vectoriales. Sea I el ideal bilateral en generado por los elementos para ; entonces el álgebra envolvente universal es el anillo cociente . Satisface el teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt : si es una base para como un F -espacio vectorial, entonces una base para está dada por todos los productos ordenados con números naturales. En particular, la función es inyectiva . ^[23] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle XY-YX-[X,Y]}$ ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}}$ ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

Las representaciones de son equivalentes a módulos sobre el álgebra envolvente universal. El hecho de que sea inyectiva implica que toda álgebra de Lie (posiblemente de dimensión infinita) tiene una representación fiel (de dimensión infinita), a saber, su representación en . Esto también muestra que toda álgebra de Lie está contenida en el álgebra de Lie asociada a algún álgebra asociativa. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Teoría de la representación en física

La teoría de la representación de las álgebras de Lie desempeña un papel importante en varias partes de la física teórica. Allí, se consideran operadores en el espacio de estados que satisfacen ciertas relaciones de conmutación naturales. Estas relaciones de conmutación suelen provenir de una simetría del problema; específicamente, son las relaciones del álgebra de Lie del grupo de simetría relevante. Un ejemplo son los operadores de momento angular , cuyas relaciones de conmutación son las del álgebra de Lie del grupo de rotación . Típicamente, el espacio de estados está lejos de ser irreducible bajo los operadores pertinentes, pero se puede intentar descomponerlo en partes irreducibles. Al hacerlo, es necesario conocer las representaciones irreducibles del álgebra de Lie dada. En el estudio del átomo de hidrógeno , por ejemplo, los libros de texto de mecánica cuántica clasifican (más o menos explícitamente) las representaciones irreducibles de dimensión finita del álgebra de Lie . ^[18] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Teoría de la estructura y clasificación

Las álgebras de Lie se pueden clasificar hasta cierto punto. Este es un método eficaz para la clasificación de los grupos de Lie.

Abeliano, nilpotente y solucionable

De manera análoga a los grupos abelianos , nilpotentes y resolubles , se pueden definir álgebras de Lie abelianas, nilpotentes y resolubles.

Un álgebra de Lie es abeliana ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$si el corchete de Lie se desvanece; es decir, [ x , y ] = 0 para todo x e y en . En particular, el álgebra de Lie de un grupo de Lie abeliano (como el grupo bajo adición o el grupo del toro ) es abeliano. Toda álgebra de Lie abeliana de dimensión finita sobre un cuerpo es isomorfa a para algún , es decir, un espacio vectorial de dimensión n con corchete de Lie cero. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Una clase más general de álgebras de Lie se define por la desaparición de todos los conmutadores de longitud dada. En primer lugar, la subálgebra de conmutadores (o subálgebra derivada ) de un álgebra de Lie es , es decir, el subespacio lineal abarcado por todos los corchetes con . La subálgebra de conmutadores es un ideal en , de hecho, el ideal más pequeño tal que el álgebra de Lie cociente es abeliano. Es análoga al subgrupo de conmutadores de un grupo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Un álgebra de Lie es nilpotente si la serie central inferior ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq \cdots }$

se vuelve cero después de un número finito de pasos. De manera equivalente, es nilpotente si hay una secuencia finita de ideales en , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0={\mathfrak {a}}_{0}\subseteq {\mathfrak {a}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {a}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

tal que es central en para cada j . Por el teorema de Engel , un álgebra de Lie sobre cualquier cuerpo es nilpotente si y solo si para cada u en el endomorfismo adjunto ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{j}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}$

es nilpotente . ^[24]

De manera más general, se dice que un álgebra de Lie es resoluble si la serie derivada : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq \cdots }$

se vuelve cero después de un número finito de pasos. De manera equivalente, es solucionable si existe una secuencia finita de subálgebras de Lie, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0={\mathfrak {m}}_{0}\subseteq {\mathfrak {m}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {m}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

tal que es un ideal en con abeliano para cada j . ^[25] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}/{\mathfrak {m}}_{j-1}}$

Cada álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo tiene un ideal resoluble máximo único, llamado su radical . ^[26] Según la correspondencia de Lie , los grupos de Lie nilpotentes (respectivamente, resolubles) corresponden a álgebras de Lie nilpotentes (respectivamente, resolubles) sobre . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Por ejemplo, para un entero positivo n y un cuerpo F de característica cero, el radical de es su centro, el subespacio unidimensional generado por la matriz identidad. Un ejemplo de un álgebra de Lie resoluble es el espacio de matrices triangulares superiores en ; este no es nilpotente cuando . Un ejemplo de un álgebra de Lie nilpotente es el espacio de matrices estrictamente triangulares superiores en ; este no es abeliano cuando . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Simple y semisimple

Un álgebra de Lie se llama simple si no es abeliana y los únicos ideales en son 0 y . (En particular, un álgebra de Lie unidimensional —necesariamente abeliana— no es simple por definición, aunque sus únicos ideales sean 0 y .) Un álgebra de Lie de dimensión finita se llama semisimple si el único ideal resoluble en es 0. En el cero característico, un álgebra de Lie es semisimple si y solo si es isomorfa a un producto de álgebras de Lie simples, . ^[27] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {g}}_{1}\times \cdots \times {\mathfrak {g}}_{r}}$

Por ejemplo, el álgebra de Lie es simple para todos y cada uno de los cuerpos F de característica cero (o simplemente de característica no divisoria de n ). El álgebra de Lie sobre es simple para cada . El álgebra de Lie sobre es simple si o . ^[28] (Existen "isomorfismos excepcionales" y .) ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\times {\mathfrak {su}}(2)}$

El concepto de semisimplicidad para las álgebras de Lie está estrechamente relacionado con la reducibilidad completa (semisimplicidad) de sus representaciones. Cuando el cuerpo fundamental F tiene característica cero, toda representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple es semisimple (es decir, una suma directa de representaciones irreducibles). ^[22]

Un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero se denomina reductiva si su representación adjunta es semisimple. Toda álgebra de Lie reductiva es isomorfa al producto de un álgebra de Lie abeliana y un álgebra de Lie semisimple. ^[29]

Por ejemplo, es reductivo para F de característica cero: para , es isomorfo al producto ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)\cong F\times {\mathfrak {sl}}(n,F),}$

donde F denota el centro de , el subespacio unidimensional generado por la matriz identidad. Como el álgebra de Lie lineal especial es simple, contiene pocos ideales: solo 0, el centro F , y todos los . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$

El criterio de Cartan

El criterio de Cartan (por Élie Cartan ) da condiciones para que un álgebra de Lie de dimensión finita de característica cero sea resoluble o semisimple. Se expresa en términos de la forma de Killing , la forma bilineal simétrica definida por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

donde tr denota la traza de un operador lineal. Es decir: un álgebra de Lie es semisimple si y solo si la forma de Killing no es degenerada . Un álgebra de Lie es resoluble si y solo si ^[30] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.}$

Clasificación

La descomposición de Levi afirma que toda álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero es un producto semidirecto de su radical resoluble y un álgebra de Lie semisimple. ^[31] Además, un álgebra de Lie semisimple en característica cero es un producto de álgebras de Lie simples, como se mencionó anteriormente. Esto centra la atención en el problema de la clasificación de las álgebras de Lie simples.

Las álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F de característica cero fueron clasificadas por Killing y Cartan en las décadas de 1880 y 1890, utilizando sistemas de raíces . Es decir, cada álgebra de Lie simple es de tipo A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ o G ₂ . ^[32] Aquí, el álgebra de Lie simple de tipo A _n es , B _n es , C _n es y D _n es . Las otras cinco se conocen como las álgebras de Lie excepcionales . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,F)}$

La clasificación de las álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre es más complicada, pero Cartan también la resolvió (véase el grupo de Lie simple para una clasificación equivalente). Se puede analizar un álgebra de Lie sobre considerando su complejización . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

En los años previos a 2004, las álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de características fueron clasificadas por Richard Earl Block , Robert Lee Wilson, Alexander Premet y Helmut Strade. (Véase álgebra de Lie restringida#Clasificación de álgebras de Lie simples ). Resulta que hay muchas más álgebras de Lie simples en característica positiva que en característica cero. ${\displaystyle p>3}$

Relación con los grupos de Lie

El espacio tangente de una esfera en un punto . Si fuera el elemento identidad de un grupo de Lie, el espacio tangente sería un álgebra de Lie. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Aunque las álgebras de Lie pueden estudiarse por sí mismas, históricamente surgieron como un medio para estudiar los grupos de Lie .

La relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie se puede resumir de la siguiente manera. Cada grupo de Lie determina un álgebra de Lie sobre (concretamente, el espacio tangente en la identidad). A la inversa, para cada álgebra de Lie de dimensión finita , existe un grupo de Lie conexo con álgebra de Lie . Este es el tercer teorema de Lie ; véase la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff . Este grupo de Lie no está determinado de forma única; sin embargo, dos grupos de Lie cualesquiera con la misma álgebra de Lie son localmente isomorfos , y más fuertemente, tienen la misma cobertura universal . Por ejemplo, el grupo ortogonal especial SO(3) y el grupo unitario especial SU(2) tienen álgebras de Lie isomorfas, pero SU(2) es una cobertura doble simplemente conexa de SO(3). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para los grupos de Lie simplemente conexos , existe una correspondencia completa: tomar el álgebra de Lie da una equivalencia de categorías de grupos de Lie simplemente conexos a álgebras de Lie de dimensión finita sobre . ^[33] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La correspondencia entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie se utiliza de varias maneras, entre ellas, en la clasificación de los grupos de Lie y en la teoría de representación de los grupos de Lie. En el caso de las representaciones de dimensión finita, existe una equivalencia de categorías entre las representaciones de un álgebra de Lie real y las representaciones del grupo de Lie simplemente conexo correspondiente. Esto simplifica la teoría de representación de los grupos de Lie: a menudo es más fácil clasificar las representaciones de un álgebra de Lie utilizando el álgebra lineal.

Todo grupo de Lie conexo es isomorfo a su cobertor universal módulo un subgrupo central discreto . ^[34] Por lo tanto, clasificar los grupos de Lie se convierte simplemente en una cuestión de contar los subgrupos discretos del centro , una vez que se conoce el álgebra de Lie. Por ejemplo, las álgebras de Lie semisimples reales fueron clasificadas por Cartan, por lo que la clasificación de los grupos de Lie semisimples se entiende bien.

En el caso de las álgebras de Lie de dimensión infinita, la teoría de Lie no funciona tan bien. La función exponencial no tiene por qué ser un homeomorfismo local (por ejemplo, en el grupo de difeomorfismos del círculo, hay difeomorfismos arbitrariamente cercanos a la identidad que no están en la imagen de la función exponencial). Además, en términos de las nociones existentes de grupos de Lie de dimensión infinita, algunas álgebras de Lie de dimensión infinita no provienen de ningún grupo. ^[35]

La teoría de Lie tampoco funciona tan bien para representaciones de dimensión infinita de un grupo de dimensión finita. Incluso para el grupo aditivo , una representación de dimensión infinita de por lo general no se puede diferenciar para producir una representación de su álgebra de Lie en el mismo espacio, o viceversa. ^[36] La teoría de los módulos de Harish-Chandra es una relación más sutil entre las representaciones de dimensión infinita para grupos y las álgebras de Lie. ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$

Forma real y complejización

Dada una álgebra de Lie compleja , se dice que una álgebra de Lie real es una forma real de si la complejización es isomorfa a . Una forma real no necesita ser única; por ejemplo, tiene dos formas reales hasta el isomorfismo, y . ^[37] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Dada una álgebra de Lie compleja semisimple , una forma dividida de la misma es una forma real que se divide; es decir, tiene un subálgebra de Cartan que actúa a través de una representación adjunta con valores propios reales. Una forma dividida existe y es única (salvo isomorfismo). Una forma compacta es una forma real que es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto. Una forma compacta existe y también es única salvo isomorfismo. ^[37] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Álgebra de Lie con estructuras adicionales

Un álgebra de Lie puede estar equipada con estructuras adicionales que sean compatibles con el corchete de Lie. Por ejemplo, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie (o, más generalmente, una superálgebra de Lie ) con una graduación compatible. Un álgebra de Lie graduada diferencial también viene con una diferencial, lo que hace que el espacio vectorial subyacente sea un complejo de cadena .

Por ejemplo, los grupos de homotopía de un espacio topológico simplemente conexo forman un álgebra de Lie graduada, utilizando el producto de Whitehead . En una construcción relacionada, Daniel Quillen utilizó álgebras de Lie graduadas diferenciales sobre los números racionales para describir la teoría de homotopía racional en términos algebraicos. ^[38] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Anillo de mentira

La definición de un álgebra de Lie sobre un cuerpo se extiende para definir un álgebra de Lie sobre cualquier anillo conmutativo R . Es decir, un álgebra de Lie sobre R es un módulo R con una función R -bilineal alternada que satisface la identidad de Jacobi. Un álgebra de Lie sobre el anillo de números enteros a veces se denomina anillo de Lie . (Esto no está directamente relacionado con la noción de grupo de Lie). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\ ,\ ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los anillos de Lie se utilizan en el estudio de p-grupos finitos (para un número primo p ) a través de la correspondencia de Lazard . ^[39] Los factores centrales inferiores de un p -grupo finito son p -grupos abelianos finitos . A la suma directa de los factores centrales inferiores se le da la estructura de un anillo de Lie definiendo el corchete como el conmutador de dos representantes de clases laterales; vea el ejemplo a continuación.

Los grupos de Lie p-ádicos están relacionados con las álgebras de Lie sobre el cuerpo de números p-ádicos así como sobre el anillo de enteros p-ádicos . ^[40] Parte de la construcción de Claude Chevalley de los grupos finitos de tipo Lie implica mostrar que un álgebra de Lie simple sobre los números complejos proviene de un álgebra de Lie sobre los enteros, y luego (con más cuidado) un esquema de grupo sobre los enteros. ^[41] ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Ejemplos

• Aquí se presenta una construcción de anillos de Lie que surge del estudio de grupos abstractos. Para los elementos de un grupo, defina el conmutador . Sea una filtración de un grupo , es decir, una cadena de subgrupos tal que está contenida en para todo . (Para la correspondencia de Lazard, se toma la filtración como la serie central inferior de G .) Entonces ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy}$ ${\displaystyle G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq G_{3}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G_{i},G_{j}]}$ ${\displaystyle G_{i+j}}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle L=\bigoplus _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$

es un anillo de Lie, con adición dada por la multiplicación de grupos (que es abeliana en cada grupo de cocientes ), y con corchete de Lie dado por conmutadores en el grupo: ^[42] ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$ ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\times G_{j}/G_{j+1}\to G_{i+j}/G_{i+j+1}}$

${\displaystyle [xG_{i+1},yG_{j+1}]:=[x,y]G_{i+j+1}.}$

Por ejemplo, el anillo de Lie asociado a la serie central inferior del grupo diedro de orden 8 es el álgebra de Lie de Heisenberg de dimensión 3 sobre el cuerpo . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Definición utilizando notación de teoría de categorías

La definición de un álgebra de Lie se puede reformular de manera más abstracta en el lenguaje de la teoría de categorías . Es decir, se puede definir un álgebra de Lie en términos de aplicaciones lineales (es decir, morfismos en la categoría de espacios vectoriales ) sin considerar elementos individuales. (En esta sección, se supone que el campo sobre el que se define el álgebra tiene una característica diferente de 2.)

Para la definición de teoría de categorías de las álgebras de Lie, se necesitan dos isomorfismos de entrelazamiento . Si A es un espacio vectorial, el isomorfismo de intercambio se define por ${\displaystyle \tau :A\otimes A\to A\otimes A}$

${\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x.}$

El trenzado de permutación cíclica se define como ${\displaystyle \sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$

${\displaystyle \sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id} ),}$

donde es el morfismo identidad. Equivalentemente, se define por ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.}$

Con esta notación, un álgebra de Lie puede definirse como un objeto en la categoría de espacios vectoriales junto con un morfismo. ${\displaystyle A}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon A\otimes A\rightarrow A}$

que satisface las dos igualdades de morfismo

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,}$

y

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.}$

Véase también

• Álgebra de Lie afín
• Automorfismo de un álgebra de Lie
• Teorema de integrabilidad de Frobenius (la integrabilidad es lo mismo que ser una subálgebra de Lie)
• Cohomología de Gelfand-Fuks
• Álgebra de Hopf
• Índice de un álgebra de Lie
• Álgebra de Leibniz
• Cohomología del álgebra de Lie
• Extensión del álgebra de Lie
• Representación del álgebra de Lie
• Biálgebra de Lie
• Lie coalgebra
• mentira operada
• Física de partículas y teoría de la representación
• Superálgebra de Lie
• Álgebra de Lie simétrica ortogonal
• Álgebra de Poisson
• Álgebra pre-Lie
• Grupos cuánticos
• Álgebra de Moyal
• Álgebra de Lie cuasi-Frobenius
• Álgebra de cuasi-Lie
• Álgebra de Lie restringida
• Relaciones serre

Observaciones

1. De manera más general, se tiene la noción de un álgebra de Lie sobre cualquier anillo conmutativo R : un R -módulo con una función R -bilineal alternada que satisface la identidad de Jacobi (Bourbaki (1989, Sección 2)).

Referencias

1. O'Connor y Robertson 2000.
2. O'Connor y Robertson 2005.
3. Humphreys 1978, pág. 1.
4. Bourbaki 1989, §1.2. Ejemplo 1.
5. Bourbaki 1989, §1.2. Ejemplo 2.
6. Por la anticomutatividad del conmutador, las nociones de ideal izquierdo y derecho en un álgebra de Lie coinciden.
7. Jacobson 1979, pág. 28.
8. Bourbaki 1989, sección I.1.1.
9. Humphreys 1978, pág. 4.
10. Varadarajan 1984, pág. 49.
11. Serre 2006, Parte I, sección VI.3.
12. Fulton y Harris 1991, Proposición D.40.
13. Varadarajan 1984, sección 2.10, Observación 2.
14. Hall 2015, §3.4.
15. Erdmann y Wildon 2006, Teorema 3.1.
16. Erdmann y Wildon 2006, sección 3.2.1.
17. Hall 2015, Ejemplo 3.27.
18. Wigner 1959, Capítulos 17 y 20.
19. Erdmann y Wildon 2006, Capítulo 8.
20. Serre 2006, Parte I, Capítulo IV.
21. Jacobson 1979, Cap. VI.
22. Hall 2015, Teorema 10.9.
23. Humphreys 1978, sección 17.3.
24. Jacobson 1979, sección II.3.
25. Jacobson 1979, sección I.7.
26. Jacobson 1979, pág. 24.
27. Jacobson 1979, Cap. III, § 5.
28. Erdmann y Wildon 2006, Teorema 12.1.
29. Varadarajan 1984, Teorema 3.16.3.
30. Varadarajan 1984, sección 3.9.
31. Jacobson 1979, Cap. III, § 9.
32. Jacobson 1979, sección IV.6.
33. Varadarajan 1984, Teoremas 2.7.5 y 3.15.1.
34. Varadarajan 1984, sección 2.6.
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Fuentes

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Enlaces externos

• Kac, Victor G. ; et al. Notas del curso MIT 18.745: Introducción a las álgebras de Lie. Archivado desde el original el 20 de abril de 2010.
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• McKenzie, Douglas (2015). "Una introducción elemental a las álgebras de Lie para físicos".