Cuaternión dual

Eight-dimensional algebra over the real numbers

Placa en el puente Broom (Dublín) que conmemora la invención de los cuaterniones por parte de Hamilton

En matemáticas , los cuaterniones duales son un álgebra real de 8 dimensiones isomorfa al producto tensorial de los cuaterniones y los números duales . Por tanto, pueden construirse de la misma manera que los cuaterniones, excepto que utilizan números duales en lugar de números reales como coeficientes. Un cuaternión dual se puede representar en la forma A + ε B , donde A y B son cuaterniones ordinarios y ε es la unidad dual, que satisface ε ² = 0 y conmuta con cada elemento del álgebra. A diferencia de los cuaterniones, los cuaterniones duales no forman un álgebra de división .

En mecánica , los cuaterniones duales se aplican como un sistema numérico para representar transformaciones rígidas en tres dimensiones. ^[1] Dado que el espacio de cuaterniones duales es de 8 dimensiones y una transformación rígida tiene seis grados reales de libertad, tres para traslaciones y tres para rotaciones, en esta aplicación se utilizan cuaterniones duales que obedecen a dos restricciones algebraicas. Dado que los cuaterniones unitarios están sujetos a dos restricciones algebraicas, los cuaterniones unitarios son estándar para representar transformaciones rígidas. ^[2]

De manera similar a la forma en que las rotaciones en el espacio 3D se pueden representar mediante cuaterniones de longitud unitaria, los movimientos rígidos en el espacio 3D se pueden representar mediante cuaterniones duales de longitud unitaria. Este hecho se utiliza en cinemática teórica (ver McCarthy ^[3] ) y en aplicaciones de gráficos por computadora en 3D , ^[4] robótica ^{[5] [6]} y visión por computadora . ^[7] Los polinomios con coeficientes dados por cuaterniones duales (norma real distinta de cero) también se han utilizado en el contexto del diseño de enlaces mecánicos . ^{[8] [9]}

Historia

WR Hamilton introdujo los cuaterniones ^{[10] [11]} en 1843, y hacia 1873 WK Clifford obtuvo una amplia generalización de estos números a la que llamó bicuaterniones , ^{[12] [13]} que es un ejemplo de lo que ahora se llama álgebra de Clifford . ^[3]

En 1898, Alexander McAulay utilizó Ω con Ω ² = 0 para generar el álgebra dual de cuaterniones. ^{[14] Sin embargo, su terminología de "octoniones" no se mantuvo, ya que} los octoniones actuales son otra álgebra.

En Rusia, Aleksandr Kotelnikov ^[15] desarrolló vectores duales y cuaterniones duales para su uso en el estudio de la mecánica.

En 1891 Eduard Estudio se dio cuenta de que este álgebra asociativa era ideal para describir el conjunto de movimientos del espacio tridimensional . Desarrolló aún más la idea en Geometrie der Dynamen en 1901. ^[16] BL van der Waerden llamó a la estructura "Estudio de bicuaterniones", una de las tres álgebras de ocho dimensiones denominadas bicuaterniones .

Fórmulas

Para describir operaciones con cuaterniones duales, es útil considerar primero los cuaterniones . ^[17]

Un cuaternión es una combinación lineal de los elementos básicos 1, i , j y k . La regla del producto de Hamilton para i , j y k a menudo se escribe como

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.}$

Calcule i ( ijk ) = − jk = − i , para obtener jk = i , y ( ijk ) k = − ij = − k o ij = k . Ahora bien, como j ( jk ) = ji = − k , vemos que este producto produce ij = − ji , que vincula los cuaterniones con las propiedades de los determinantes.

Una forma conveniente de trabajar con el producto del cuaternión es escribir un cuaternión como la suma de un escalar y un vector (estrictamente hablando un bivector ), es decir A = a ₀ + A , donde a ₀ es un número real y A = A ₁ i + A ₂ j + A ₃ k es un vector tridimensional. Las operaciones vectoriales de punto y cruz ahora se pueden usar para definir el producto del cuaternión de A = a ₀ + A y C = c ₀ + C como

${\displaystyle G=AC=(a_{0}+\mathbf {A} )(c_{0}+\mathbf {C} )=(a_{0}c_{0}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )+(c_{0}\mathbf {A} +a_{0}\mathbf {C} +\mathbf {A} \times \mathbf {C} ).}$

Un cuaternión dual generalmente se describe como un cuaternión con números duales como coeficientes. Un número dual es un par ordenado â = ( a , b ) . Dos números duales se suman por componentes y se multiplican según la regla â ĉ = ( a , b ) ( c , d ) = ( ac , ad + bc ) . Los números duales a menudo se escriben en la forma â = a + ε b , donde ε es la unidad dual que conmuta con i , j , k y tiene la propiedad ε ² = 0 .

El resultado es que un cuaternión dual puede escribirse como un par ordenado de cuaterniones ( A , B ) . Dos cuaterniones duales se suman por componentes y se multiplican por la regla,

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=(A,B)(C,D)=(AC,AD+BC).}$

Es conveniente escribir un cuaternión dual como la suma de un escalar dual y un vector dual, Â = â ₀ + A , donde â ₀ = ( a , b ) y A = ( A , B ) es el vector dual que define un tornillo . Esta notación nos permite escribir el producto de dos cuaterniones duales como

${\displaystyle {\hat {G}}={\hat {A}}{\hat {C}}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\hat {c}}_{0}+{\mathsf {C}})=({\hat {a}}_{0}{\hat {c}}_{0}-{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {C}})+({\hat {c}}_{0}{\mathsf {A}}+{\hat {a}}_{0}{\mathsf {C}}+{\mathsf {A}}\times {\mathsf {C}}).}$

Suma

La adición de cuaterniones duales se define componente a componente de modo que dado,

${\displaystyle {\hat {A}}=(A,B)=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k+b_{0}\varepsilon +b_{1}\varepsilon i+b_{2}\varepsilon j+b_{3}\varepsilon k,}$

y

${\displaystyle {\hat {C}}=(C,D)=c_{0}+c_{1}i+c_{2}j+c_{3}k+d_{0}\varepsilon +d_{1}\varepsilon i+d_{2}\varepsilon j+d_{3}\varepsilon k,}$

entonces

${\displaystyle {\hat {A}}+{\hat {C}}=(A+C,B+D)=(a_{0}+c_{0})+(a_{1}+c_{1})i+(a_{2}+c_{2})j+(a_{3}+c_{3})k+(b_{0}+d_{0})\varepsilon +(b_{1}+d_{1})\varepsilon i+(b_{2}+d_{2})\varepsilon j+(b_{3}+d_{3})\varepsilon k,}$

Multiplicación

La multiplicación de dos cuaterniones duales se deriva de las reglas de multiplicación para las unidades de cuaterniones i, j, k y de la multiplicación conmutativa por la unidad dual ε. En particular, dado

${\displaystyle {\hat {A}}=(A,B)=A+\varepsilon B,}$

y

${\displaystyle {\hat {C}}=(C,D)=C+\varepsilon D,}$

entonces

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=(A+\varepsilon B)(C+\varepsilon D)=AC+\varepsilon (AD+BC).}$

Observe que no existe un término BD , porque la definición de números duales requiere que ε ² = 0 .

Esto nos da la tabla de multiplicar (tenga en cuenta que el orden de multiplicación es fila por columna):

Conjugado

El conjugado de un cuaternión dual es la extensión del conjugado de un cuaternión, es decir

${\displaystyle {\hat {A}}^{*}=(A^{*},B^{*})=A^{*}+\varepsilon B^{*}.\!}$

Al igual que con los cuaterniones, el conjugado del producto de cuaterniones duales, Ĝ = ÂĈ , es el producto de sus conjugados en orden inverso,

${\displaystyle {\hat {G}}^{*}=({\hat {A}}{\hat {C}})^{*}={\hat {C}}^{*}{\hat {A}}^{*}.}$

Es útil introducir las funciones Sc(∗) y Vec(∗) que seleccionan las partes escalar y vectorial de un cuaternión, o las partes escalar dual y vectorial dual de un cuaternión dual. En particular, si  = â ₀ + A , entonces

${\displaystyle {\mbox{Sc}}({\hat {A}})={\hat {a}}_{0},{\mbox{Vec}}({\hat {A}})={\mathsf {A}}.}$

Esto permite la definición del conjugado de  como

${\displaystyle {\hat {A}}^{*}={\mbox{Sc}}({\hat {A}})-{\mbox{Vec}}({\hat {A}}).}$

o,

${\displaystyle ({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})^{*}={\hat {a}}_{0}-{\mathsf {A}}.}$

El producto de un cuaternión dual con su conjugado produce

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{*}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\hat {a}}_{0}-{\mathsf {A}})={\hat {a}}_{0}^{2}+{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {A}}.}$

Este es un escalar dual que es la magnitud al cuadrado del cuaternión dual.

Conjugado de números duales

Un segundo tipo de conjugado de un cuaternión dual se obtiene tomando el conjugado de número dual, dado por

${\displaystyle {\overline {\hat {A}}}=(A,-B)=A-\varepsilon B.\!}$

Los conjugados de cuaternión y número dual se pueden combinar en una tercera forma de conjugado dada por

${\displaystyle {\overline {{\hat {A}}^{*}}}=(A^{*},-B^{*})=A^{*}-\varepsilon B^{*}.\!}$

En el contexto de los cuaterniones duales, el término "conjugado" puede usarse para referirse al conjugado de cuaternión, al conjugado de número dual o ambos.

Norma

La norma de un cuaternión dual | | ​se calcula usando el conjugado para calcular | | ​= √ Â Â ^* . Este es un número dual llamado magnitud del cuaternión dual. Cuaterniones duales con | | ​= 1 son cuaterniones duales unitarios .

Se utilizan cuaterniones duales de magnitud 1 para representar desplazamientos espaciales euclidianos. Observe que el requisito de que   ^* = 1 , introduce dos restricciones algebraicas en los componentes de  , es decir

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{*}=(A,B)(A^{*},B^{*})=(AA^{*},AB^{*}+BA^{*})=(1,0).}$

Inverso

Si p + ε q es un cuaternión dual y p no es cero, entonces el cuaternión dual inverso viene dado por

p ⁻¹ (1 − ε q p ⁻¹ ).

Así, los elementos del subespacio { ε q : q ∈ H } no tienen inversas. Este subespacio se llama ideal en la teoría de anillos. Resulta ser el único ideal máximo del anillo de números duales.

El grupo de unidades del anillo numérico dual se compone entonces de números que no se encuentran en el ideal. Los números duales forman un anillo local ya que existe un ideal máximo único. El grupo de unidades es un grupo de Lie y se puede estudiar mediante el mapeo exponencial . Se han utilizado cuaterniones duales para exhibir transformaciones en el grupo euclidiano . Un elemento típico se puede escribir como una transformación de tornillo .

Cuaterniones duales y desplazamientos espaciales.

Un beneficio de la formulación del cuaternión dual de la composición de dos desplazamientos espaciales D _B  = ([ R _B ], b ) y D _A  = ([ R _A ], a ) es que el cuaternión dual resultante produce directamente el eje del tornillo y el doble ángulo del desplazamiento compuesto D _C  =  D _B D _A .

En general, el cuaternión dual asociado con un desplazamiento espacial D  = ([ A ],  d ) se construye a partir de su eje de tornillo S  = ( S ,  V ) y el ángulo dual ( φ ,  d ) donde φ es la rotación alrededor y d el deslizamiento a lo largo de este eje, que define el desplazamiento  D . El cuaternión dual asociado viene dado por,

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\phi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\phi }}{2}}{\mathsf {S}}.}$

Sea la composición del desplazamiento D _B con D _A el desplazamiento D _C  =  D _B D _A . El eje del tornillo y el ángulo dual de D _C se obtienen del producto de los cuaterniones duales de D _A y D _B , dado por

${\displaystyle {\hat {A}}=\cos({\hat {\alpha }}/2)+\sin({\hat {\alpha }}/2){\mathsf {A}}\quad {\text{and}}\quad {\hat {B}}=\cos({\hat {\beta }}/2)+\sin({\hat {\beta }}/2){\mathsf {B}}.}$

Es decir, el desplazamiento compuesto D _C =D _B D _A tiene el cuaternión dual asociado dado por

${\displaystyle {\hat {C}}=\cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}=\left(\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}\right)\left(\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}\right).}$

Ampliar este producto para obtener

${\displaystyle \cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}=\left(\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}\right)+\left(\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {A}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}\right).}$

Divida ambos lados de esta ecuación por la identidad

${\displaystyle \cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}=\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}}$

para obtener

${\displaystyle \tan {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}={\frac {\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}+\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}+\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}}{1-\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}}}.}$

Esta es la fórmula de Rodrigues para el eje del tornillo de un desplazamiento compuesto definido en términos de los ejes del tornillo de los dos desplazamientos. Derivó esta fórmula en 1840. ^[18]

Los tres ejes de los tornillos A, B y C forman un triángulo espacial y los ángulos duales en estos vértices entre las normales comunes que forman los lados de este triángulo están directamente relacionados con los ángulos duales de los tres desplazamientos espaciales.

Forma matricial de multiplicación de cuaterniones duales

La representación matricial del producto de cuaterniones es conveniente para programar cálculos de cuaterniones usando álgebra matricial, lo cual también es válido para operaciones de cuaterniones duales.

El producto del cuaternión AC es una transformación lineal realizada por el operador A de los componentes del cuaternión C, por lo tanto hay una representación matricial de A operando sobre el vector formado a partir de los componentes de C.

Reúna los componentes del cuaternión C = c ₀ + C en la matriz C = (C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ ) . Observe que los componentes de la parte vectorial del cuaternión se enumeran primero y el escalar se enumera al final. Esta es una elección arbitraria, pero una vez seleccionada esta convención debemos respetarla.

El producto del cuaternión AC ahora se puede representar como el producto de la matriz.

${\displaystyle AC=[A^{+}]C={\begin{bmatrix}a_{0}&A_{3}&-A_{2}&A_{1}\\-A_{3}&a_{0}&A_{1}&A_{2}\\A_{2}&-A_{1}&a_{0}&A_{3}\\-A_{1}&-A_{2}&-A_{3}&a_{0}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\\c_{0}\end{Bmatrix}}.}$

El producto AC también puede verse como una operación de C sobre los componentes de A, en cuyo caso tenemos

${\displaystyle AC=[C^{-}]A={\begin{bmatrix}c_{0}&-C_{3}&C_{2}&C_{1}\\C_{3}&c_{0}&-C_{1}&C_{2}\\-C_{2}&C_{1}&c_{0}&C_{3}\\-C_{1}&-C_{2}&-C_{3}&c_{0}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\a_{0}\end{Bmatrix}}.}$

El producto dual del cuaternión ÂĈ = (A, B)(C, D) = (AC, AD+BC) se puede formular como una operación matricial de la siguiente manera. Reúna los componentes de Ĉ en la matriz de ocho dimensiones Ĉ = (C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ , D ₁ , D ₂ , D ₃ , d ₀ ), luego ÂĈ está dado por el producto matricial de 8x8

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {A}}^{+}]{\hat {C}}={\begin{bmatrix}A^{+}&0\\B^{+}&A^{+}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C\\D\end{Bmatrix}}.}$

Como vimos para los cuaterniones, el producto Ĉ puede verse como la operación de Ĉ en el vector de coordenadas Â, lo que significa que ÂĈ también se puede formular como,

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {C}}^{-}]{\hat {A}}={\begin{bmatrix}C^{-}&0\\D^{-}&C^{-}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A\\B\end{Bmatrix}}.}$

Más sobre desplazamientos espaciales

El cuaternión dual de un desplazamiento D=([A], d ) se puede construir a partir del cuaternión S=cos(φ/2) + sin(φ/2) S que define la rotación [A] y el cuaternión vectorial construido a partir de el vector de traducción d , dado por D = d ₁ i + d ₂ j + d ₃ k. Usando esta notación, el cuaternión dual para el desplazamiento D=([A], d ) viene dado por

${\displaystyle {\hat {S}}=S+\varepsilon {\frac {1}{2}}DS.}$

Sean las coordenadas de Plücker de una línea en la dirección x que pasa por un punto p en un cuerpo en movimiento y sus coordenadas en el marco fijo que está en la dirección X que pasa por el punto P están dadas por,

${\displaystyle {\hat {x}}=\mathbf {x} +\varepsilon \mathbf {p} \times \mathbf {x} \quad {\text{and}}\quad {\hat {X}}=\mathbf {X} +\varepsilon \mathbf {P} \times \mathbf {X} .}$

Luego, el cuaternión dual del desplazamiento de este cuerpo transforma las coordenadas de Plücker en el marco móvil en coordenadas de Plücker en el marco fijo mediante la fórmula

${\displaystyle {\hat {X}}={\hat {S}}{\hat {x}}{\overline {{\hat {S}}^{*}}}.}$

Usando la forma matricial del producto del cuaternión dual, esto se convierte en,

${\displaystyle {\hat {X}}=[{\hat {S}}^{+}][{\hat {S}}^{-}]^{*}{\hat {x}}.}$

Este cálculo se gestiona fácilmente mediante operaciones matriciales.

Cuaterniones duales y transformaciones homogéneas 4×4

Podría resultar útil, especialmente en el movimiento de cuerpos rígidos, representar cuaterniones duales unitarios como matrices homogéneas . Como se indicó anteriormente, un cuaternión dual se puede escribir como: donde r y d son ambos cuaterniones. El cuaternión r se conoce como parte real o rotacional y el cuaternión se conoce como parte dual o de desplazamiento. ${\displaystyle {\hat {q}}=r+d\varepsilon r}$ ${\displaystyle d}$

La parte de rotación puede estar dada por

${\displaystyle r=r_{w}+r_{x}i+r_{y}j+r_{z}k=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left({\vec {a}}\cdot (i,j,k)\right)}$

donde es el ángulo de rotación alrededor de la dirección dada por el vector unitario . La parte de desplazamiento se puede escribir como ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

${\displaystyle d=0+{\frac {\Delta x}{2}}i+{\frac {\Delta y}{2}}j+{\frac {\Delta z}{2}}k}$.

El equivalente de cuaternión dual de un vector 3D es

${\displaystyle {\hat {v}}:=1+\varepsilon (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}$

y su transformación por está dada por ^[19] ${\displaystyle {\hat {q}}}$

${\displaystyle {\hat {v}}'={\hat {q}}\cdot {\hat {v}}\cdot {\overline {{\hat {q}}^{*}}}}$.

Estos cuaterniones duales (o en realidad sus transformaciones en vectores 3D) se pueden representar mediante la matriz de transformación homogénea

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\\\Delta x&&&\\\Delta y&&R&\\\Delta z&&&\\\end{pmatrix}}}$

donde la matriz ortogonal de 3×3 está dada por

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}r_{w}^{2}+r_{x}^{2}-r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{x}r_{y}-2r_{w}r_{z}&2r_{x}r_{z}+2r_{w}r_{y}\\2r_{x}r_{y}+2r_{w}r_{z}&r_{w}^{2}-r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{y}r_{z}-2r_{w}r_{x}\\2r_{x}r_{z}-2r_{w}r_{y}&2r_{y}r_{z}+2r_{w}r_{x}&r_{w}^{2}-r_{x}^{2}-r_{y}^{2}+r_{z}^{2}\\\end{pmatrix}}.}$

Para el vector 3D

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}1\\v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\\end{pmatrix}}}$

la transformación por T viene dada por

${\displaystyle {\vec {v}}'=T\cdot {\vec {v}}}$

Conexión con las álgebras de Clifford

Además de ser el producto tensorial de dos álgebras de Clifford, los cuaterniones y los números duales , los cuaterniones duales tienen otras dos formulaciones en términos de álgebras de Clifford.

Primero, los cuaterniones duales son isomorfos al álgebra de Clifford generada por 3 elementos anticonmutantes , con y . Si definimos y , entonces las relaciones que definen los cuaterniones duales están implícitas en estos y viceversa. En segundo lugar, los cuaterniones duales son isomorfos a la parte par del álgebra de Clifford generada por 4 elementos anticonmutantes con ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=-1}$ ${\displaystyle e^{2}=0}$ ${\displaystyle k=ij}$ ${\displaystyle \varepsilon =ek}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$

Para más detalles, consulte Álgebras de Clifford: cuaterniones duales .

Epónimos

Dado que tanto Eduard Study como William Kingdon Clifford usaron y escribieron sobre cuaterniones duales, en ocasiones los autores se refieren a los cuaterniones duales como "bicuaterniones de estudio" o "bicuaterniones de Clifford". Este último epónimo también se ha utilizado para referirse a bicuaterniones divididos . Lea el artículo de Joe Rooney vinculado a continuación para conocer la opinión de un partidario de la afirmación de WK Clifford. Dado que las afirmaciones de Clifford y Study están en desacuerdo, es conveniente utilizar la designación actual de cuaternión dual para evitar conflictos.

Ver también

• teoría del tornillo
• movimiento racional
• Cuaterniones y rotación espacial.
• Conversión entre cuaterniones y ángulos de Euler
• Olinde Rodrigues
• Número dual complejo

Referencias

Notas

1. AT Yang, Aplicación del álgebra de cuaterniones y números duales al análisis de mecanismos espaciales , tesis doctoral, Universidad de Columbia, 1963.
2. Valverde, Alfredo; Tsiotras, Panagiotis (2018). "Marco de cuaternión dual para el modelado de sistemas robóticos multicuerpo montados en naves espaciales". Fronteras en robótica e inteligencia artificial . 5 : 128. doi : 10.3389/frobt.2018.00128 . ISSN  2296-9144. PMC  7805728 . PMID  33501006.
3. McCarthy, JM (1990). Introducción a la cinemática teórica. Prensa del MIT. págs. 62–5. ISBN 9780262132527.
4. Kenwright, Ben. "Cuaterniones duales: de la mecánica clásica a los gráficos por computadora y más" (PDF) . Consultado el 24 de diciembre de 2022 .
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6. Vilhena Adorno, Bruno (2017). Modelado y control cinemático de robots basado en el álgebra de cuaterniones duales - Parte I: Fundamentos.
7. A. Torsello, E. Rodolà y A. Albarelli, Registro multivista mediante difusión gráfica de cuaterniones duales, Proc. de la XXIV Conferencia IEEE sobre visión por computadora y reconocimiento de patrones, págs. 2441-2448, junio de 2011.
8. Li, Zijia; Schröcker, Hans-Peter; Scharler, Daniel F. (7 de septiembre de 2022). "Una caracterización completa de polinomios de movimiento acotado que admiten una factorización con factores lineales". arXiv : 2209.02306 [matemáticas.RA].
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12. WK Clifford, "Bosquejo preliminar de bicuaterniones, Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) págs. 381–395
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14. Alexander McAulay (1898) Octonions: un desarrollo de los Biquaternions de Clifford, enlace de Internet Archive
15. AP Kotelnikov (1895) Cálculo de tornillos y algunas aplicaciones a geometría y mecánica , Annal. Diablillo. Univ. Kazán
16. Estudio de Eduard (1901) Geometrie der Dynamen , Teubner, Leipzig
17. O. Bottema y B. Roth, Cinemática teórica, Publ. de Holanda Septentrional. Co., 1979
18. Rodrigues, O. (1840), Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et la variación des coordonnées provenant de ses déplacements considérés indépendamment des cause qui peuvent les produire, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées de Liouville 5, 380–440.
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Fuentes

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• JM McCarthy (1990) Introducción a la cinemática teórica , págs. 62–5, MIT Press ISBN 0-262-13252-4 . 
• L. Kavan, S. Collins, C. O'Sullivan, J. Zara (2006) Cuaterniones duales para la combinación de transformaciones rígidas, Informe técnico, Trinity College Dublin.
• Joe Rooney William Kingdon Clifford, Departamento de Diseño e Innovación, Open University, Londres.
• Joe Rooney (2007) "William Kingdon Clifford", en Marco Ceccarelli, Figuras distinguidas en ciencia de mecanismos y máquinas , Springer.
• Estudio de Eduard (1891) "Von Bewegungen und Umlegung", Mathematische Annalen 39:520.

Otras lecturas

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• Fischer, Ian (1998). Métodos de números duales en cinemática, estática y dinámica . Prensa CRC. ISBN 978-0-8493-9115-6.
• E. Pennestri y R. Stefanelli (2007) Álgebra lineal y algoritmos numéricos que utilizan números duales, publicado en Multibody System Dynamics 18(3):323–349.
• E. Pennestri y PP Valentini, Cuaterniones duales como herramienta para el análisis del movimiento del cuerpo rígido: un tutorial con aplicación a la biomecánica, ARCHIWUM BUDOWY MASZYN , vol. 57, págs. 187-205, 2010
• E. Pennestri y PP Valentini, Algoritmos de álgebra dual lineal y su aplicación a la cinemática, dinámica multicuerpo , octubre de 2008, págs. 207–229, doi :10.1007/978-1-4020-8829-2_11
• Kenwright, Ben (2012). Una guía para principiantes sobre cuaterniones duales: qué son, cómo funcionan y cómo usarlos para jerarquías de personajes en 3D (PDF) . Congreso Internacional sobre Gráficos por Computadora, Visualización y Visión por Computadora. págs. 1-13.
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• MA Gungor (2009) "Movimientos esféricos duales de Lorentz y fórmulas duales de Euler-Savary", European Journal of Mechanics A Solids 28(4):820–6.
• Blaschke, Wilhelm (1958). "Anwendung dualer Quaternionen auf Kinematik". Annales Academiae Scientiarum Fennicae . Gesammelte Werke. 2 : 1–13.Traducción al inglés por DH Delphenich.
• Blaschke, Wilhelm . Cinemática y cuaterniones . Berlín: Deutscher Verlag der Wissenschaften.Traducción al inglés por DH Delphenich.

enlaces externos

• Caja de herramientas de doble cuaternión, una caja de herramientas de Matlab.
• DQrobotics: una biblioteca independiente de código abierto para utilizar cuaterniones duales en el modelado y control de robots.