movimiento racional

En cinemática , el movimiento de un cuerpo rígido se define como un conjunto continuo de desplazamientos. Los movimientos de un parámetro se pueden definir como un desplazamiento continuo de un objeto en movimiento con respecto a un marco fijo en el espacio triple euclidiano ( E ³ ), donde el desplazamiento depende de un parámetro, principalmente identificado como tiempo.

Los movimientos racionales están definidos por funciones racionales (relación de dos funciones polinómicas ) de tiempo. Producen trayectorias racionales y, por lo tanto, se integran bien con los sistemas CAD/CAM estándar de la industria basados ​​en NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) . Son fácilmente adaptables a las aplicaciones de los algoritmos existentes de diseño geométrico asistido por computadora (CAGD). Combinando la cinemática de movimientos de cuerpos rígidos con la geometría NURBS de curvas y superficies , se han desarrollado métodos para el diseño de movimientos racionales asistido por computadora .

Estos métodos CAD para el diseño de movimiento encuentran aplicaciones en animación en gráficos por computadora ( interpolación de fotogramas clave ), planificación de trayectorias en robótica (interpolación de posiciones enseñadas), navegación espacial en realidad virtual , diseño geométrico de movimiento asistido por computadora mediante interpolación interactiva, trayectoria de herramientas CNC planificación y especificación de tareas en la síntesis de mecanismos .

Fondo

Se han realizado muchas investigaciones sobre la aplicación de los principios del diseño geométrico asistido por computadora (CAGD) al problema del diseño de movimiento asistido por computadora. En los últimos años, se ha establecido que los esquemas de representación de curvas basados ​​en Bézier racional y B-spline racional se pueden combinar con la representación dual de cuaterniones ^[1] de desplazamientos espaciales para obtener movimientos Bézier y B-spline racionales. Ge y Ravani, ^{[2] [3]} desarrollaron un nuevo marco para construcciones geométricas de movimientos espaciales combinando los conceptos de cinemática y CAGD. Su trabajo se basó en el artículo fundamental de Shoemake, ^[4] en el que utilizó el concepto de cuaternión ^[5] para la interpolación de rotación . Se puede encontrar una lista detallada de referencias sobre este tema en ^[6] y. ^[7]

Movimientos racionales Bézier y B-spline

Denotemos un cuaternión dual unitario. Un cuaternión dual homogéneo puede escribirse como un par de cuaterniones ; dónde . Esto se obtiene expandiendo usando álgebra de números duales (aquí ). ${\displaystyle {\hat {\textbf {q}}}={\textbf {q}}+\varepsilon {\textbf {q}}^{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\textbf {Q}}}={\textbf {Q}}+\varepsilon {\textbf {Q}}^{0}}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}=w{\textbf {q}},{\textbf {Q}}^{0}=w{\textbf {q}}^{0}+w^{0}{\textbf {q}}}$ ${\displaystyle {\hat {\textbf {Q}}}={\hat {w}}{\hat {\textbf {q}}}}$ ${\displaystyle {\hat {w}}=w+\varepsilon w^{0}}$

En términos de cuaterniones duales y las coordenadas homogéneas de un punto del objeto, la ecuación de transformación en términos de cuaterniones viene dada por ${\displaystyle {\textbf {P}}:(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})}$

${\displaystyle {\tilde {\textbf {P}}}={\textbf {Q}}{\textbf {P}}{\textbf {Q}}^{\ast }+P_{4}[({\textbf {Q}}^{0}){\textbf {Q}}^{\ast }-{\textbf {Q}}({\textbf {Q}}^{0})^{\ast }],}$donde y son conjugados de y , respectivamente y denota coordenadas homogéneas del punto después del desplazamiento. ^[7] ${\displaystyle {\textbf {Q}}^{\ast }}$ ${\displaystyle ({\textbf {Q}}^{0})^{\ast }}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}^{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {\textbf {P}}}}$

Dado un conjunto de cuaterniones duales unitarios y pesos duales respectivamente, lo siguiente representa una curva de Bézier racional en el espacio de cuaterniones duales. ${\displaystyle {\hat {\textbf {q}}}_{i},{\hat {w}}_{i};i=0...n}$

${\displaystyle {\hat {\textbf {Q}}}(t)=\sum \limits _{i=0}^{n}{B_{i}^{n}(t){\hat {\textbf {Q}}}_{i}}=\sum \limits _{i=0}^{n}{B_{i}^{n}(t){\hat {w}}_{i}{\hat {\textbf {q}}}_{i}}}$

¿Dónde están los polinomios de Bernstein? La curva de cuaternión dual de Bézier dada por la ecuación anterior define un movimiento de grado racional de Bézier . ${\displaystyle B_{i}^{n}(t)}$ ${\displaystyle 2n}$

De manera similar, una curva de cuaternión dual B-spline, que define un movimiento NURBS de grado 2 p , viene dada por,

${\displaystyle {\hat {\textbf {Q}}}(t)=\sum \limits _{i=0}^{n}{N_{i,p}(t){\hat {\textbf {Q}}}_{i}}=\sum \limits _{i=0}^{n}{N_{i,p}(t){\hat {w}}_{i}{\hat {\textbf {q}}}_{i}}}$

¿Dónde están las funciones de base B-spline de grado p ? ${\displaystyle N_{i,p}(t)}$

Se puede obtener una representación del movimiento racional de Bézier y del movimiento racional B-spline en el espacio cartesiano sustituyendo cualquiera de las dos expresiones anteriores anteriores en la ecuación de la transformada puntual. A continuación nos ocuparemos del caso del movimiento racional de Bézier. La trayectoria de un punto que sufre un movimiento racional de Bézier está dada por, ${\displaystyle {\hat {\textbf {Q}}}(t)}$

${\displaystyle {\tilde {\textbf {P}}}^{2n}(t)=[H^{2n}(t)]{\textbf {P}},}$

${\displaystyle H^{2n}(t)]=\sum \limits _{k=0}^{2n}{B_{k}^{2n}(t)[H_{k}]},}$

donde está la representación matricial del movimiento racional de grado de Bézier en el espacio cartesiano. Las siguientes matrices (también denominadas matrices de control de Bézier) definen la estructura de control afín del movimiento: ${\displaystyle [H^{2n}(t)]}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle [H_{k}]}$

${\displaystyle [H_{k}]={\frac {1}{C_{k}^{2n}}}\sum \limits _{i+j=k}{C_{i}^{n}C_{j}^{n}w_{i}w_{j}[H_{ij}^{\ast }]},}$

dónde . ${\displaystyle [H_{ij}^{\ast }]=[H_{i}^{+}][H_{j}^{-}]+[H_{j}^{-}][H_{i}^{0+}]-[H_{i}^{+}][H_{j}^{0-}]+(\alpha _{i}-\alpha _{j})[H_{j}^{-}][Q_{i}^{+}]}$

En las ecuaciones anteriores, y son coeficientes binomiales y son las relaciones de peso y ${\displaystyle C_{i}^{n}}$ ${\displaystyle C_{j}^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=w_{i}^{0}/w_{i},\alpha _{j}=w_{j}^{0}/w_{j}}$

${\displaystyle [H_{j}^{-}]=\left[{\begin{array}{rrrr}q_{j,4}&-q_{j,3}&q_{j,2}&-q_{j,1}\\q_{j,3}&q_{j,4}&-q_{j,1}&-q_{j,2}\\-q_{j,2}&q_{j,1}&q_{j,4}&-q_{j,3}\\q_{j,1}&q_{j,2}&q_{j,3}&q_{j,4}\\\end{array}}\right],}$

${\displaystyle [Q_{i}^{+}]=\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&q_{i,1}\\0&0&0&q_{i,2}\\0&0&0&q_{i,3}\\0&0&0&q_{i,4}\\\end{array}}\right],}$

${\displaystyle [H_{i}^{0+}]=\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&q_{i,1}^{0}\\0&0&0&q_{i,2}^{0}\\0&0&0&q_{i,3}^{0}\\0&0&0&q_{i,4}^{0}\\\end{array}}\right],}$

${\displaystyle [H_{j}^{0-}]=\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-q_{j,1}^{0}\\0&0&0&-q_{j,2}^{0}\\0&0&0&-q_{j,3}^{0}\\0&0&0&q_{j,4}^{0}\\\end{array}}\right],}$

${\displaystyle [H_{i}^{+}]=\left[{\begin{array}{rrrr}q_{i,4}&-q_{i,3}&q_{i,2}&q_{i,1}\\q_{i,3}&q_{i,4}&-q_{i,1}&q_{i,2}\\-q_{i,2}&q_{i,1}&q_{i,4}&q_{i,3}\\-q_{i,1}&-q_{i,2}&-q_{i,3}&q_{i,4}\\\end{array}}\right].}$

En las matrices anteriores, hay cuatro componentes de la parte real y cuatro componentes de la parte dual del cuaternión dual unitario . ${\displaystyle (q_{i,1},q_{i,2},q_{i,3},q_{i,4})}$ ${\displaystyle ({\textbf {q}}_{i})}$ ${\displaystyle (q_{i,1}^{0},q_{i,2}^{0},q_{i,3}^{0},q_{i,4}^{0})}$ ${\displaystyle ({\textbf {q}}_{i}^{0})}$ ${\displaystyle ({\hat {\textbf {q}}}_{i})}$

Ejemplo

Una tetera bajo movimiento Racional de Bézier de grado 6 con (a la izquierda) pesos reales unitarios ( ) (a la derecha) pesos reales no unitarios ( y ); También se muestran las posiciones afines (distorsionadas), así como las posiciones de control dadas (en color azul). ${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=1+\epsilon 0;i=0..3}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=1+\epsilon 0;i=0,3}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=4+\epsilon 0;i=1,2}$

Ver también

• Cuaternión y cuaternión dual
• NURBS
• Animación por computadora
• Robótica
• Cinemática del robot
• Geometría Computacional
• Mecanizado CNC
• Diseño de mecanismos

Referencias

1. McCarthy, JM (1990). Introducción a la cinemática teórica . MIT Press Cambridge, MA, EE.UU. ISBN 978-0-262-13252-7.
2. Ge, QJ; Ravani, B. (1994). "Diseño geométrico de interpoladores de movimiento asistido por computadora". Revista de diseño mecánico . 116 (3): 756–762. doi :10.1115/1.2919447.
3. Ge, QJ; Ravani, B. (1994). "Construcción geométrica de movimientos de Bézier". Revista de diseño mecánico . 116 (3): 749–755. doi :10.1115/1.2919446.
4. Zapatero, K. (1985). "Animación de rotación con curvas de cuaterniones". Actas de la duodécima conferencia anual sobre gráficos por computadora y técnicas interactivas: SIGGRAPH '85 . vol. 19. págs. 245-254. doi : 10.1145/325334.325242 . ISBN 978-0897911665.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
5. Bottema, O.; Roth, B. (1990). Cinemática teórica (Cinemática teórica). Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-66346-3.
6. Röschel, O. (1998). "Diseño de movimiento racional: una encuesta". Diseño asistido por ordenador . 30 (3): 169-178. doi :10.1016/S0010-4485(97)00056-0.
7. Purwar, A.; Ge, QJ (2005). "Sobre el efecto de pesos duales en el diseño de movimientos racionales asistido por computadora". Revista de diseño mecánico . 127 (5): 967–972. doi :10.1115/1.1906263.

enlaces externos

• Laboratorio de Cinemática de Diseño Computacional
• Laboratorio de Robótica y Sistemas Espaciales (RASSL)
• Laboratorio de Robótica y Automatización